Lista de Exercícios 3

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Geometria Anal´ıtica - Prof. Paulo Ce´sar R. C. Mello
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 4 e 5 23/09/2013
Exerc´ıcios do cap´ıtulo 4
1. Uma elipse e´ o lugar geome´trico dos pontos P (x, y) do plano cuja soma de suas
distaˆncias aos focos F1(-2,0) e F2(2,0) e´ igual a 6. Encontre (a) a equac¸a˜o dessa
elipse e (b) As coordenadas de seus ve´rtices principais.
2. Uma para´bola e´ o lugar geome´trico dos pontos P (x, y) do plano equidistantes do seu
foco F (0,−3) e de sua diretriz y = 3. Encontre sua equac¸a˜o e esboc¸e seu gra´fico.
3. Para a curva de equac¸a˜o 2x2−4y2 = 12, encontre (a) As equac¸o˜es de suas ass´ıntotas,
(b) O aˆngulo que essas ass´ıntotas formam com o eixo x, (c) a distaˆncia entre os
pontos das ass´ıntotas para os quais x = 5.
4. Para as equac¸o˜es abaixo identifique o tipo de curva e se e´ poss´ıvel sua resoluc¸a˜o
para nu´meros reais.
(a) x2 − y = 0
(b) 2x2 + 6y2 − 4 = 0
(c) 8x2 − 8y2 − 4 = 0
(d)
2
5
x2 +
4
3
y2 + 11 = 0
(e) 5x2 − 3y2 = 15
(f)
√
3x− y2 = 0
5. Para as equac¸o˜es abaixo identifique os valores do raio ou de a2, b2 e c2.
(a)
x2
3
− y
2
2
= 1
(b) 5x2 + 5y2 − 3 = 0
(c)
2
3
x2 +
1
5
y2 = 7
(d) −5
7
x2 +
3
4
y2 =
√
3
2
6. Encontre a equac¸a˜o da elipse da figura 1.
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Figura 1:
7. Um ponto P possui abscissa 2 e ordenada 12/5 e pertence a uma elipse com centro
na origem e um de seus focos possui coordenadas (3,0). Encontre (a) a equac¸a˜o da
elipse e (b) as coordenadas dos ve´rtices (c) a excentridade da elipse.
8. Esboce as curvas abaixo, indicando seus principais pontos.
(a) x2 − y = 0
(b) x2 + y2 − 4 = 0
(c) 2x2 − 4y − 12 = 0
(d)
2
5
x2 − 3
5
y2 + 6 = 0
9. Encontre a equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice na origem e que intercepta a curva de
equac¸a˜o 4x2 + 4y2 − 64 = 0.
10. Encontre a equac¸a˜o da el´ıpse com centro na origem, eixo focal coincidente com o
eixo y, excentricidade 0.8 e cujos ve´rtices coincidem com os pontos de intersec¸a˜o da
curva 4x2 + 4y2 − 64 = 0 com o eixo focal da elipse.
11. As equac¸o˜es das ass´ıntotas de uma hipe´rbole com eixo focal coincidente com o eixo
y sa˜o y = ±(6/5)x. Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole sabendo que a distaˆncia entre
seu centro e ve´rtice e´ igual a 3.
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12. Verifique se a reta 2x − 4y − 6 = 0 e´ secante, tangente ou na˜o intercepta a curva
que possui centro coincidente com a origem, eixo focal horizontal, distaˆncia entre
seu centro e foco igual a 3 e distaˆncia entre seu centro e ve´rtice igual a 5.
13. Um oscilador massa-mola ideal e´ formado por uma massa m, uma mola de contante
ela´stica K e oscila sem atrito. Nessa situac¸a˜o a energia mecaˆnica e´ constante e
calculada por E = Ec + Ep ou
E =
1
2
mv2 +
1
2
Kx2 (1)
Considerando m, x e E como constantes, e x e v como varia´veis, a equac¸a˜o 1 e´ a
equac¸a˜o de uma el´ıpse. Encontre as coordenadas dos ve´rtices, considerando o eixo
x como eixo focal.
14. Encontre as coordenadas dos ve´rtices e focos da elipse para m = 1kg e K = 100N/m
15. Encontre a equac¸a˜o das treˆs elipses considerando que a/b e´ constante para todas.
Figura 2:
Exerc´ıcios do cap´ıtulo 5
1. Calcule a distaˆncia do ponto P (1, 5) a`s retas ass´ıntotas da curva de equac¸a˜o 4x2 −
3y2 + 8x− 12y + 4 = 0.
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2. A curva de equac¸a˜o 4x2 + 6y2 + 16x− 12y + k = 0 tem a distaˆncia entre seu centro
e um de seus focos igual a 1√
12
. Com essas informac¸o˜es encontre (a) o valor de k (b)
as coordenadas dos focos e ve´rtices.
3. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro em (2,3) e que tangencia a reta
que intercepta os eixos em (5,0) e (0,8).
4. Para a curva de equac¸a˜o 5x2−4y2−30x+16y+9 = 0, (a) encontre a equac¸a˜o de suas
retas ass´ıntotas expressas na forma reduzida e (b) a excentridade dessa curva. (c)
Fac¸a um esboc¸o dessa curva localizando seus ve´rtices e focos com suas coordenadas
respectivas.
5. Para a curva de equac¸a˜o 2x2 + 4y2 − 8 = 0, encontre as equac¸o˜es das para´bolas
que possuem foco no centro da curva e ve´rtices sobre os pontos de intersec¸a˜o dessa
curva com os eixos x e y.
6. Para a curva de equac¸a˜o 2x2 + 3y2 + k1x− k2y + 8 = 0 (a) encontre as coordenadas
dos ve´rtices e focos, sabendo que o centro dessa curva possui abscissa igual a -2 e
ordenada igual a 2. (b) Fac¸a um esboc¸o dessa curva indicando as coordenadas do
centro, ve´rtices e focos.
7. Encontre a equac¸a˜o da el´ıpse cujos focos e ve´rtices sa˜o os ve´rtices e focos da curva
de equac¸a˜o 9x2 − 4y2 − 36x + 40y − 100 = 0
8. Uma curva possui equac¸a˜o 4x2 + 16y2 − 24x + 64y + 36 = 0. Encontre (a) as
coordenadas de seu centro (b) as coordenadas de seus ve´rtices (c) as coordenadas de
seus focos (d) Fac¸a um desenho da curva mostrando a localizac¸a˜o do centro, ve´rtices
e focos.
9. (a) Encontre os valores de a e b para que a equac¸a˜o 4x2 + 5y2 − ax+ by + 64 = 0
represente uma curva com centro no ponto C(4,-2).
(b) Encontre as coordenadas do ve´rtice e dos focos.
10. Um piloto quer voar sob uma grande ponte suportada por um arco que tem o
formato de para´bola. A altura do arco e´ 100 metros e seu comprimento no cha˜o e´
de 40 metros. Se o avia˜o tem 20 metros de uma ponta da asa a outra e na˜o pode
voar a menos de 15 metros do cha˜o por causa de uma pequeno morro em frente ao
arco, ache a altura ma´xima acima do morro que ele pode voar sem se acidentar e
ainda passar sob o arco.
11. Esboce o gra´fico da curva de equac¸a˜o 4x2 − 5y2 − 16x + 30y − 9 = 0. Indique no
esboc¸o as coordenadas do centro, dos ve´rtices e focos dessa curva.
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12. (a) (a) Encontre as coordenadas do foco e do ve´rtice da para´bola de equac¸a˜o
x2 − 6x− 5y − 1 = 0.
(b) (b) Encontre a equac¸a˜o geral (na forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + F = 0) da
circunfereˆncia com centro coincidente com o ve´rtice e que tangencia a diretriz
dessa para´bola.