Lista 4 Estatística Geral II (com gabarito)

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA GERAL II 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 
PROFESSOR: EDUARDO CAMPOS 
(eduardolimacampos@yahoo.com.br) 
 
 
Questão 1 - Uma AAS de tamanho n = 25 é obtida de uma 
população normal com média 10 e desvio padrão 3. Calcule a 
probabilidade de que a média desta amostra esteja entre 9,4 e 10,3. 
R: 0,5328. 
 
Questão 2 - Seja uma população normal com média e variância 
iguais a 100. Se X é a média de uma AAS de tamanho 16, calcule: 
 
a) O erro padrão de X . R: 2,5. 
b) P(99< X <101). R: 0,3108. 
 
Questão 3 - Seja uma AAS a ser retirada de uma população 
N(150,169). Qual o tamanho de amostra necessário para que 
)5,6X(p <µ− = 0,95? R: 15,36 → 16. 
 
Questão 4 - O retorno diário percentual de ações do setor de 
infra-estrutura tem distribuição normal com média 1% e desvio 
padrão 2%. Qual a probabilidade de que uma AAS de 16 ações 
possua retorno médio positivo em um determinado dia? R: 
0,9772. 
 
Questão 5 - Seja uma AAS de tamanho n de uma população cuja 
média é µ e cuja variância é σ2. O parâmetro de interesse é θ = 
µ2. Verifique se 2Xˆ =θ é viciado para θ, e calcule o seu vício. 
R: sim, e o vício é σ2/n. 
Questão 6 – Seja uma AAS de tamanho n de uma população 
normal com média 0 e variância σ2. Verifique se 
n
X
ˆ
n
1i
2
i
2
∑
=
=σ é 
viciado para estimar σ2 e, em caso positivo, calcule seu vício. 
R: o estimador é não viciado, portanto o vício é zero. 
 
Questão 7 - Seja uma AAS de tamanho n de uma população cuja 
média = variância = k. Verifique se 
n
X
ˆ
n
1i
2
i
2
∑
=
=σ é viciado para k e, 
em caso positivo, determine o vício deste estimador. 
 
Questão 8 - Seja uma AAS de tamanho n de uma população normal 
com média µ e variância σ2. Sejam os seguintes estimadores para σ2: 
 
n
)XX(
ˆ
n
1i
2
i
2
*
∑
=
−
=σ e 
1n
)XX(
S
n
1i
2
i
2
−
−
=
∑
=
. 
 
a) Calcule o EQM de 2
*
σˆ , sabendo que V(S2) = 
1n
2 4
−
σ
. 
R: 2
44
n
)1n(2 σ+σ−
. 
b) Calcule a eficiência de 2
*
σˆ em relação à S2. 
Qual dos estimadores é mais eficiente? 
R: )1n2)(1n(
n2 2
−−
. 
2
*
σˆ , para qualquer n>1. 
 
Questão 9 - Seja X uma v.a. com distribuição f(x) = 2x/θ2, 0<x<θ. 
 
a) Calcule E(X) e V(X) (ficarão em função de θ). R: 2θ/3 e 
θ2/18. 
 
b) Seja (X1, X2, ..., Xn) uma AAS da população f(x). 
 
b1) verifique se X é não-viciado para θ, e calcule B( X ). R: é 
viciado, e seu vício é negativo, igual a -θ/3. 
b2) obtenha o erro padrão de X (ficará em função de θ e n). R: 
.
n18
)X(EP θ= 
b3) obtenha o EQM de X (ficará em função de θ e n). 
R: .
n18
)1n2()X(EQM
2θ+
= 
Questão 10 - Sejam 2 AAS`s de tamanhos n1 e n2 de populações 
com mesma média µ e desvios padrão σ1 e σ2, respectivamente. 
Propõe-se estimar o parâmetro µ por uma combinação linear (do 
tipo convexa, na qual os pesos somam 1) das médias das duas 
amostras: 
 
.X)k1(Xkˆ 21 −+=µ 
 
a) Verifique para que valores de k o estimador será não viciado. 
b) Qual valor de k faz com que µˆ seja o mais eficiente possível? 
 
R: a) µˆ é não viciado para qualquer valor de k. 
 b) 
2
2
2
1
2
1
2
2
2
nn
nk
σ
+
σ
σ
= . 
 
Questão 11 - Sejam 2 estimadores para um parâmetro θ. O 
primeiro, 1ˆθ , com valor esperado θ e com variância θ
2/2n. O 
segundo, com valor esperado 
1n
n
+
θ e variância θ2/n. Ache a 
eficiência relativa entre os dois estimadores quando n = 5. 
R: 18/41. 
 
Questão 12 - Seja uma AAS de tamanho 2 de uma população e 
dois possíveis estimadores para a média populacional 
θ: 211 XX2ˆ −=θ e 3
X2X
ˆ 21
2
+
=θ . Ache a eficiência de 1ˆθ em relação 
à 2ˆθ , se θ é igual à 1.