Slides - Aula 1

Prévia do material em texto

Probabilidade
Probabilidade
Modelos Probabil´ısticos para a Computac¸a˜o
Professora: Andre´a Rocha
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA
Agosto, 2011
Probabilidade
Modelos Matema´ticos
Modelos Matema´ticos
I Modelo Determin´ıstico: Por esta expressa˜o nos referimos a
um modelo que estipule que as condic¸o˜es sob as quais um
experimento seja executado determinem o resultado do
experimento.
I Modelo Probabil´ıstico: Servem para modelar experimentos
em que, mesmo mantendo as mesmas condic¸o˜es, seus
resultados podem ser diferentes, pois existe algum fator casual
que na˜o se consegue controlar.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Experimento Aleato´rio
E´ o processo de observar um fenoˆmeno que mesmo sob certas
condic¸o˜es fixas, ha´ variac¸a˜o em seus resultados. Por exemplo:
I E1: Jogar um dado e observar um nu´mero da face superior;
I E2: Jogar duas moedas e observar o resultado;
I E3: Selecionar um habitante da cidade de Joa˜o Pessoa e
medir a sua altura em metros.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Espac¸o Amostral
E´ o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um experimento.
Denotado por Ω. Exemplo:
I E1: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
I E2: Ω = {(c, c), (c,k), (k, c), (k,k)}, onde c =cara e
k =coroa;
I E3: Ω = (0,∞), Ω = (0, 3), Ω = [1/10, 3], Ω = R.
Obs.: O importante e´ que Ω contenha todo o resultado poss´ıvel.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Evento
Seja Ω o espac¸o amostral do experimento. Todo subconjunto,
A ⊂ Ω, sera´ chamado evento.
I Ω e´ o evento certo;
I ∅ e´ o evento imposs´ıvel;
I Se ω ∈ Ω, o evento {ω} e´ dito elementar ou simples.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Eventos
E´ bom saber traduzir a notac¸a˜o de conjunto para a linguagem de
eventos:
I A ∪ B − e´ o evento “A ou B”;
I A ∩ B − e´ o evento “A e B”;
I Ac − e´ o evento “na˜o A”;
I A ⊂ B − significa que a ocorreˆncia do evento A implica a
ocorreˆncia do evento B;
I A ∩ B = ∅ − significa que A e B sa˜o eventos mutuamente
exclusivos, mutuamente excludentes, ou incompat´ıveis.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Partic¸a˜o
Dado um espac¸o amostral Ω, uma partic¸a˜o, P = {Ai, i ∈ I}, de Ω
e´ uma colec¸a˜o de eventos, neste caso, indexados por i que toma
valores no conjunto do ı´ndices I e satisfaz:
I ∀i 6= j,Ai ∩Aj = ∅;
I ∪i∈IAi = Ω.
Desse modo os eventos de uma partic¸a˜o sa˜o mutuamente
excludentes e sua unia˜o cobre todo o espac¸o amostral. Portanto,
cada elemento ω ∈ Ω pertence a um, e somente um, dos eventos
Ai de uma partic¸a˜o.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Partic¸a˜o
Exemplo: Se Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enta˜o,
A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}
fomam uma partic¸a˜o de Ω. Pois,
A ∩ B = ∅
e
A ∪ B = Ω.
Probabilidade
Conceitos de Probabilidade
Frequeˆncia Relativa
Suponha que repetimos n vezes o experimento E, e sejam A e B
dois eventos associados a E. Sejam, respectivamente, nA e nB o
nu´mero de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas n
repetic¸o˜es.
Definic¸a˜o: fA = nA/n e´ denominada a frequeˆncia relativa do
evento A nas n repetic¸o˜es de E. A frequeˆncia relativa fA
apresenta as seguintes propriedades:
i) 0 6 fA 6 1;
ii) fA = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetic¸o˜es;
iii) fA = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetic¸o˜es;
iv) Se A e B forem eventos mutualmente excludentes, e se fA∪B
for a frequancia relativa associada ao evento A ∪ B, enta˜o,
fA∪B = fA + fB.
Probabilidade
Medida de Probabilidade
Medida de Probabilidade
Definic¸a˜o: Seja E um experimento. Seja Ω um espac¸o amostral
associado a E. A cada evento A associaremos um nu´mero real
representado por P(A) e denomidado probabilidade de A, que
satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
i) 0 6 P(A) 6 1;
ii) P(Ω) = 1;
iii) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, enta˜o
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
iv) Se Ai, i = 1, 2, . . . forem eventos, dois a dois, mutuamente
excludentes, enta˜o P(∪∞i=1Ai) =∑∞i=1 P(Ai).
Probabilidade
Medida de Probabilidade
Algumas consegueˆncias da definic¸a˜o de P(A) sera˜o relacionadas a
seguir:
I Teorema 1: Seja ∅ o conjunto vazio, enta˜o P(∅) = 0.
I Teorema 2: Seja Ac o evento complementar de A, enta˜o
P(A) = 1 − P(Ac).
I Teorema 3: Sejam A ⊂ B, enta˜o P(A) 6 P(B).
Probabilidade
Medida de Probabilidade
I Teorema 4: Sejam A e B dois eventos quaisquer, enta˜o
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
I Teorema 5: Sejam A,B e C treˆs eventos quaisquer, enta˜o
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C)
−P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).
I Teorema 6 (Princ´ıpio da Inclusa˜o e Exclusa˜o): Sejam
A1, . . . ,An quaisquer n eventos. Enta˜o,
P(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An) =
∑n
i=1 P(Ai) −
∑
i<j P(Ai ∩Aj) +∑
i<j<k P(Ai∩Aj∩Ak)+· · ·+(−1)n−1P(A1∩A2∩· · ·∩An).
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Espac¸os Amostrais Finitos
Seja Ω um espac¸o amostral associado a um experimento E com
um nu´mero finito de resultados poss´ıveis. Enta˜o Ω pode ser
escrito na seguinte forma:
Ω = {ω1, . . . ,ωn}.
A cada evento simples {ωi}, i = 1, . . . ,n, associaremos um
nu´mero pi, i = 1, . . . ,n, denominado probabilidade de {ωi}, que
satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
I pi > 0, i = 1, . . . ,n.
I p1 + p2 + · · ·+ pn = 1
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Espac¸os Amostrais Finitos
Suponha que um evento A seja constitu´ıdo por k resultados,
1 6 k 6 n, a saber
A = {ωj1 ,ωj2 , . . . ,ωjk},
onde j1, j2, . . . , jk representam os k ı´ndices, de 1 ate´ n.
Conseguentemente, conclui-se que
P(A) = pj1 + pj2 + · · ·+ pjk .
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Espac¸os Amostrais Finitos
Exemplo: Suponha que somente treˆs resultados sejam poss´ıveis
em um experimento, a saber, a1,a2 e a3. Ale´m disso, suponha
que a1 seja duas vezes mais prova´vel de ocorrer do que a2, o qual,
por sua vez, e´ duas vezes mais prova´vel de ocorrer do que a3.
Portanto, p1 = 2p2 e p2 = 2p3, logo p1 = 4p3. Ja´ que
p1 + p2 + p3 = 1, teremos 4p3 + 2p3 + p3 = 1, o que da´
p3 =
1
7
, p2 =
2
7
e p1 =
4
7
.
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Se todos os resultados forem igualmente prova´veis, condic¸a˜o
p1 + p2 + · · ·+ pn = 1 torna-se
npi = 1,∀i = 1, . . . ,n.
Assim, cada probabilidade sera´
pi =
1
n
.
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Neste caso, para qualquer evento A formado por k resultados,
teremos
P(A) =
k
n
.
Este me´todo de avaliar P(A) e´ frequentemente enunciado da
seguinte maneira:
P(A) =
nu´mero de casos favora´veis a A
nu´mero de casos poss´ıveis
=
#A
#Ω
.
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
Exemplo: Um dado e´ lanc¸ado e todos os resultados sa˜o
igualmente prova´veis. O evento A ocorrera´ se, e somente se,
um nu´mero maior do que 4 aparecer, isto e´,
A = {5, 6}.
Da´ı,
P(A) =
#A
#Ω
=
2
6
=
1
3
.
Probabilidade
Espac¸os Amostrais Finitos
FIM
	Modelos Matemáticos
	Conceitos de Probabilidade
	Medida de Probabilidade
	Espaços Amostrais Finitos