Apostila de Equacoes Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Prof. Ruy Piehowiak
Editora UNIASSELVI
2012
Caderno de Estudos
NEAD
Educação a Distância
GRUPO
Copyright  Editora UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof. Ruy Piehowiak
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
Grupo UNIASSELVI – Indaial.
 
515.35
P613e Piehowiak, Ruy
 Equações diferenciais / Ruy Piehowiak. Indaial : Uniasselvi, 2012.
 211 p. : il 
 
 
 ISBN 978-85-7830-603-8
 1. Equações diferenciais.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
 
 
APRESENTAÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)! Seja bem-vindo(a) à disciplina de Equações Diferenciais.
Para estudar Equações Diferenciais não há como desvincular o estudo do Cálculo 
Diferencial e Integral, pois as palavras equação e diferencial sugerem que estudemos equações 
que envolvam derivadas. As derivadas são estudadas no segmento da matemática chamado 
de cálculo diferencial, que, consequentemente, nos leva ao cálculo integral. O cálculo utiliza 
ideias da matemática elementar e as estende para situações mais gerais, ou seja, o cálculo 
consiste na matemática elementar (álgebra, geometria, trigonometria) aperfeiçoada pelo 
processo do limite.
Nesta disciplina, você irá aprimorar seus conhecimentos sobre o Cálculo Diferencial e 
Integral. Se você já se interessou pelo que foi estudado no cálculo, vai ver que neste caderno 
terá tópicos mais abrangentes e, também, interessantes.
A disciplina fornece uma série de ferramental necessária a outras disciplinas, como, 
por exemplo, a Física. 
O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano. Espero que, além de 
perceber a utilidade, também perceba a beleza matemática. O entendimento do conteúdo e das 
nuances que circundam este estudo é apenas a ponta do iceberg, principalmente para aqueles 
acadêmicos que pretendem avançar seus estudos, como em especialização, mestrado etc.
Prof. Ruy Piehowiak
iii
UNI
Quero enfatizar a postura que um(a) acadêmico(a) de matemática 
deve ter ao estudar. Inicialmente, para ler um texto de matemática, 
principalmente na modalidade de ensino a distância, é bastante 
diferente de ler uma revista ou um jornal. Assim, não desanime 
se precisar ler um conceito ou a resolução de um exemplo mais 
de uma vez para entendê-lo. Sugiro que possua um papel, lápis 
e computador com software matemático (por exemplo, o winplot) 
à sua mão para entender o conteúdo trabalhado no Caderno de 
Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algébrica.
iv
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
v
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS .................................................... 1
TÓPICO 1 – FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS .............................................. 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 RECORDANDO A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEl ........................................................ 3
3 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ................................................................................. 5
3.1 grÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VArIÁVEIS .................................................. 13
4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ...................................................................... 15
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 18
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 19
TÓPICO 2 – CURVAS DE NÍVEl ................................................................................... 21
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 21
2 CURVAS DE NÍVEl ..................................................................................................... 22
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 28
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 29
TÓPICO 3 – lIMITE E CONTINUIDADE ........................................................................ 31
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 31
2 DEFINIÇÕES BÁSICAS .............................................................................................. 31
3 lIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS .................................................... 34
4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS .................................... 38
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 41
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 42
TÓPICO 4 – DERIVADAS PARCIAIS ............................................................................. 43
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 43
2 RElEMBRANDO AlGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO ......................................... 43
3 DERIVADAS PARCIAIS ............................................................................................... 44
3.1 DErIVADAS PArCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VArIÁVEIS ......................... 44
3.2 INTErPrETAÇÃO gEOMÉTrICA ........................................................................... 50
4 GENERAlIZAÇÃO ...................................................................................................... 52
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ...................................................... 54
lEITURA COMPlEMENTAR .......................................................................................... 58
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................. 62
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 63
AVAlIAÇÃO .................................................................................................................... 64
UNIDADE 2 – DIFERENCIABIlIDADE E INTEGRAIS MÚlTIPlAS ............................. 65
vi
TÓPICO 1 – REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPlÍCITA ...................................... 67
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 67
2 REGRA DA CADEIA .................................................................................................... 67
3 DERIVAÇÃO IMPlÍCITA .............................................................................................. 75
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 79
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 80
TÓPICO 2 – DIFERENCIABIBlIDADE E GRADIENTE ................................................. 81
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 81
2 DIFERENCIABIBlIDADE ............................................................................................81
3 DIFERENCIAl ............................................................................................................. 85
4 GRADIENTE ................................................................................................................ 89
5 DERIVADAS DIRECIONAIS ........................................................................................ 95
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 99
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 100
TÓPICO 3 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ........... 103
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 103
2 EXTREMOS lOCAIS ................................................................................................. 103
3 PROBlEMAS ENVOlVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE 
DUAS VARIÁVEIS ...................................................................................................... 111
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................ 117
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................... 118
TÓPICO 4 – INTEGRAIS MÚlTIPlAS .......................................................................... 119
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 119
2 INTEGRAl DUPlA ..................................................................................................... 119
2.1 INTEgrAL DUPLA SOBrE rETÂNgULO .............................................................. 119
2.2 INTEgrAIS ITErADAS .......................................................................................... 120
2.3 INTEgrAL DUPLA SOBrE rEgIÕES gENÉrICAS ............................................. 124
lEITURA COMPlEMENTAR ........................................................................................ 133
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 136
AVAlIAÇÃO .................................................................................................................. 137
UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ................................................................ 139
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ............................ 141
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 141
2 DEFINIÇÕES E TERMINOlOGIAS ........................................................................... 141
2.1 TIPOS DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL ........................................................... 142
2.2 OrDEM DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL ......................................................... 142
2.3 LINEArIDADE DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .............................................. 143
vii
2.4 SOLUÇÃO DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................................... 143
2.4.1 Solução geral ........................................................................................................ 145
2.4.2 Solução particular ................................................................................................. 145
3 EQUAÇÃO DIFERENCIAl SEPARÁVEl ................................................................. 148
3.1 MÉTODO DE rESOLUÇÃO DA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................. 149
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS lINEARES DE 1ª ORDEM ......................................... 158
4.1 MÉTODO DE rESOLUÇÃO DA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................. 159
5 EQUAÇÕES EXATAS ................................................................................................ 168
5.1 MÉTODO DE rESOLUÇÃO DA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................. 169
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 175
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 176
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS lINEARES DE PRIMEIRA 
 ORDEM – SUBSTITUIÇÕES ................................................................... 177
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 177
2 EQUAÇÕES DE BERNOUllI ................................................................................... 177
2.1 MÉTODO DE rESOLUÇÃO DA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................. 177
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS ......................................................... 184
3.1 FUNÇÕES HOMOgÊNEAS .................................................................................... 184
3.2 EqUAÇÕES HOMOgÊNEAS ................................................................................. 186
3.2.1 Método de resolução da equação diferencial ....................................................... 187
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 193
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 194
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS lINEARES DE SEGUNDA ORDEM ........ 195
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 195
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS lINEARES DE SEGUNDA ORDEM .......................... 195
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS lINEARES DE 2ª ORDEM COM 
COEFICIENTES CONSTANTES ............................................................................... 199
3.1 MÉTODO DE rESOLUÇÃO DA EqUAÇÃO DIFErENCIAL .................................. 200
lEITURA COMPlEMENTAR ........................................................................................ 204
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 208
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 209
AVAlIAÇÃO .................................................................................................................. 210
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 211
viii
UNIDADE 1
FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
ObjEtIVOS DE ApRENDIzAgEm
Ao final desta unidade você deverá ser capaz de:
	conhecer os principais conceitos que envolvem funções de diversas 
variáveis;
	identificar o domínio de funções de diversas variáveis;
	reconhecer as curvas de níveis de forma algébrica;
	reconhecer as curvas de níveis geometricamente;
	calcular os limites de funções de diversas variáveis;
	identificar a continuidade de funções de diversas variáveis;
	calcular as derivadas parciais;
	interpretar geometricamente as derivadas parciais.
TÓPICO 1 – FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
TÓPICO 2 – CURVAS DE NÍVEl
TÓPICO 3 – lIMITES E CONTINUIDADE
TÓPICO 4 – DERIVADAS PARCIAIS
pLANO DE EStUDOS
Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os 
conceitos e a utilização das funções de diversas variáveis. No Tópico 1 
é apresentado o estudo do domínio de uma função de diversas variáveis 
e as curvas de nível, seguido de vários exemplos para auxiliá-lo(a) na 
compreensão e resolução dos exercícios propostos no final de cada 
tópico. No Tópico 2 daremosuma atenção especial às curvas de nível, 
tanto na representação gráfica como no seu reconhecimento algébrico. 
No Tópico 3 serão estendidos os conceitos de limite e continuidade 
estudados para as funções de uma variável. No Tópico 4 aprenderemos 
como derivar funções de diversas variáveis e, sobretudo, entender o 
significado geométrico das derivadas parciais. Finalizamos a unidade 
com um texto complementar onde será dada ênfase às personalidades 
matemáticas que contribuíram no desenvolvimento do cálculo diferencial 
e integral e, consequentemente, das equações diferenciais.
FUNÇÕES DE DUAS 
VARIÁVEIS OU MAIS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 1
Você já estudou limites, derivadas e integrais: conceitos vistos em funções de uma 
variável. Nesta unidade estudaremos as funções de duas ou mais variáveis, e veremos que as 
regras do cálculo para funções de uma variável permanecem essencialmente as mesmas. 
Funções com mais de uma variável independente se apresentam mais costumeiramente 
em modelos matemáticos aplicados à engenharia, por exemplo, do que funções de uma variável. 
Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica dos fluidos e trabalho são exemplos que 
conduzem, de uma maneira natural, a funções de mais de uma variável; daí a importância do 
seu estudo.
2 RECORDANDO A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEl
representamos a função de uma variável por duas variáveis x e y, sendo que chamamos 
de x a variável independente da função e de y a variável dependente da função. Assim, 
denotamos a relação entre as variáveis por y = f (x), deixando explícito que y depende de x.
Exemplo 1 y = 2x + 1.
Exemplo 2 f (x) = 3 + 
Habitualmente, ao trabalharmos com funções, um dos primeiros cuidados que devemos 
ter é em relação ao conjunto domínio das funções, isto é, para que valores reais às funções 
estão definidas. Então, dada uma função f(x), devemos encontrar valores para os quais a 
x
2 - x
UNIDADE 1TÓPICO 14
função tenha imagem.
Exemplo 3
Encontre o domínio da função f(x) = 
Resolução
A função f(x) é uma função racional, pois temos a variável x no denominador.
Esta função tem dois cuidados a serem tomados em relação ao domínio.
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com frações, sabemos que não é possível ter 
zero no denominador das frações.
(ii) Temos a variável x no radicando da raiz quadrada. Como estamos considerando 
f(x) uma função real, o radicando não pode assumir valores negativos.
x² – 16 > 0
Assim, juntando as condições (i) e (ii), teremos x² – 16 > 0.
Observe que temos que resolver uma inequação do 2º grau. Para isso, consideramos 
inicialmente apenas a equação (igualdade) a fim de obtermos as raízes.
x² - 16 = 0.
Determinando as raízes desta equação do segundo grau incompleta:
x² = 16
x = 
x = 
Analisando a função quadrática f(x) = x² - 16, sabemos que seu gráfico corresponde a 
uma parábola com concavidade voltada para cima e zeros de função em x = - 4 e x = 4. Logo, 
os valores de x que satisfazem a inequação são x < - 4 ou x > 4.
Assim, D(f) = {x ∈ R | x < - 4 ou x > 4}.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 5
FIgUrA 1 – ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f (x) = x² - 16, 
ATrAVÉS DE SEU ESBOÇO grÁFICO
FONTE: O autor
3 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Definição 1.3.1 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais 
(x,y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real 
z = f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D(f) é o domínio de f(x,y).
Os números x, y e z são denominados variáveis. Como os valores da função f(x,y) 
dependem de x e de y, e os valores de z dependem da escolha de x e de y, então x e y são 
denominadas variáveis independentes e z é denominada variável dependente.
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto do R2 e 
cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualizá-la é através de um diagrama 
de flechas, conforme a seguir: 
FIgUrA 2 – DIAgrAMA DE FLECHAS rEPrESENTANDO O DOMÍNIO E A IMAgEM DE UMA 
FUNÇÃO DE DUAS VArIÁVEIS
FONTE: O autor
UNIDADE 1TÓPICO 16
Exemplo 4
Dada a função que calcula o perímetro de um retângulo 
f(x,y) = 2(x + y), calcule o valor de f (2,5).
Resolução
Basta substituir, em f(x,y), o x por 2, o y por 5 e calcular.
Então:
f(2,5) = 2(2 + 5)
f(2,5) = 2 · 7
f(2,5) = 14
Exemplo 5
A função T (x,y) = 60 - 2x² - 3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma 
chapa. A temperatura oscila em relação à distância percorrida no sentido dos eixos positivos x 
e y. Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3, 1) em graus Celsius.
Resolução
T (3,1) = 60 - 2 · 3² - 3 · 1²
T (3,1) = 60 - 2 · 9 - 3 · 1
T (3,1) = 39° C
x
y
FIgUrA 3 – AqUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE: O autor
Exemplo 6
Dada a função f(x,y) = x² + y² , calcule f(1, - 2). . 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 7
Resolução
f(x,y) = x² + y² 
f(1, – 2) = 1² + (–2)²
f(1, – 2) = 1 + 4
f(1, – 2) = 5
NO
TA! �
No estudo do domínio de uma função devemos avaliar quais 
números reais são possíveis atribuir para as variáveis x e y para 
obtermos valores reais para z = f(x,y) . Vamos relembrar algumas 
restrições!
Consideremos os casos a seguir em que A e B são expressões em 
função de x e y.
Se f(x,y) = AB então, necessariamente, B ≠ 0 .
Se f(x,y) = , onde n é par, então, necessariamente, A ≥ 0.
Se f(x,y) = logc A com c > 0 e c ≠ 1 então, necessariamente, A > 0.
Exemplo 7
Encontre o conjunto domínio da função f (x,y) = 3x² – y² .
Resolução
Esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x e y.
Portanto, D(f) = {(x, y) ∈ R2} ou D( f ) = R2.
Exemplo 8
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente grafi camente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x – 2y não 
pode ser negativo.
3x – 2y ≥ 0 
– 2y ≥ – 3x 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (–1) e alterando a relação de 
ordem:
2y ≤ 3x 
y ≤ x3
2
UNIDADE 1TÓPICO 18
Portanto, 
Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x y) do exemplo anterior, primeiro 
trace o gráfico de y = 32 x e depois determine qual a região correspondente à desigualdade 
y ≤ 3
2
 x .
O gráfico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que contém a origem. Note 
que esta reta divide o plano em duas regiões. Para identificar qual região expressa o domínio 
de f (x,y), atente para a desigualdade estabelecida. Neste exemplo, como se trata de uma reta 
e a relação de ordem é dada pelo sinal “≤”, então isto implica que o domínio é expresso pelos 
infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela.
FIgUrA 4 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO DOMÍNIO DE f.
FONTE: O autor
Exemplo 9
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = 5xy – x² .
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o denominador y – x² 
não pode tornar-se nulo.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 9
Então,
y – x² ≠ 0 
y ≠ x²
Portanto, 
Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x,y) = 5xy – x² procedemos do 
mesmo modo que no exemplo anterior. A função que expressa o domínio é dada por y ≠ x² , cuja 
representação no plano é uma parábola com concavidade voltada para cima e que possui seu 
vértice na origem. A relação de diferença, porém, implica que pertencem ao domínio todos os 
pontos do plano, exceto os que se encontram sobre a parábola expressa pela relação y = x². 
FIgUrA 5 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
Exemplo 10
Determine o conjunto domínio de f(x,y) = e o represente graficamente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x² + y² – 18 
não pode ser negativo.
3x² + y² – 18 ≥ 0
3x² + y² ≥ 18
UNIDADE 1TÓPICO 110
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18: 
 
3x² y ² 18
18 18 18
+ ≥
 
A função x² y²
6 18 
+ = 1representa uma elipse centrada na origem do plano cartesiano, 
cujo eixo maior, definido sobre o eixo das ordenadas, é igual a 2 8,48 e cujo eixo menor, 
definido sobre os eixos das abscissas, é igual a 2 4,90.
Atribuídas as características geométricas da função que define o domínio, traçamos 
o seu gráfico. A relação de desigualdade estabelecida é “≥”. Isto implica que os pontos que 
pertencem ao domínio se encontram sobre a elipse e fora dela.
x² y²
6 18 
+ ≥ 1
ATEN
ÇÃO
!
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funções quanto à sua 
representação geométrica, retome os estudos realizados na 
disciplina de Geometria Analítica. 
FIgUrA 6 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
UNIDADE 1 TÓPICO 1 11
Exemplo 11
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = h (x − 3y + 1) e o represente graficamente.
Resolução
Como In (x − 3y + 1) é definido somente quando x − 3y + 1 > 0 , então, 
x − 3y + 1 > 0
x − 3y > − 1
− 3y > − x − 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de 
ordem:
3y < x + 1
y < x + 1 
3
Neste exemplo a função domínio, expressa pela desigualdade y < x + 1 
3
, representa, 
no plano, uma região que se encontra abaixo da reta y = x + 1 
3
. Observe que os pontos sobre 
a reta não pertencem ao conjunto domínio.
FIgUrA 7 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
UNIDADE 1TÓPICO 112
Exemplo 12
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente graficamente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y. A expressão que representa 
o radicando, 4 – x² – y², não pode ser negativa.
4 – x² – y² ≥ 0 
– x² – y² ≥ – 4 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de 
ordem:
x² + y² ≤ 4
O conjunto domínio da função f (x,y) = , expresso pela desigualdade 
x² + y² ≤ 4, compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos 
pertencentes à circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio 2.
FIgUrA 8 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
UNIDADE 1 TÓPICO 1 13
3.1 grÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VArIÁVEIS
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto 
de todos os pontos (x,y,z) em R3 tal que z = f (x,y) e (x,y) ∈ D .
Fazer a representação gráfica das funções de duas variáveis é normalmente complicado 
e requer habilidade manual. Assim, vamos recorrer ao uso de programas computacionais 
matemáticos que fazem os gráficos de superfícies. O objetivo aqui é apenas mostrar os gráficos 
das funções de duas variáveis e não a construção manual dos gráficos.
Os gráficos, que você encontrará ao longo do Caderno de Estudos, foram construídos 
através do Winplot, que é um software livre disponível na internet, e do Maple 11, um software 
comercial que possui inúmeros recursos matemáticos.
DIC
AS!
Caro(a) acadêmico(a)! Você pode baixar o software Winplot 
diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA.
Exemplo 13
Represente graficamente a função f (x,y) = 2 – 3x – 4y.
Resolução
FIgUrA 9 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 2 – 3x – 4y 
FONTE: O autor
UNIDADE 1TÓPICO 114
Exemplo 14
Represente graficamente a função f (x,y) = 3x² – y².
Resolução
FIgUrA 10 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 3x² – y²
FONTE: O autor
Exemplo 15
Represente graficamente a função f (x,y) .
Resolução 
FIgUrA 11 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 
FONTE: O autor
UNIDADE 1 TÓPICO 1 15
Exemplo 16
Represente graficamente a função f (x,y) = sen x · sen y
Resolução
FIgUrA 12 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = sen x · sen y
FONTE: O autor
4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Definição 1.4.1 Seja D um subconjunto de Rn. Uma função real f de n variáveis reais 
definida em D é uma relação entre D e R, que associa a cada ponto (x1, x2,..., xn) ∈ D um único 
valor real z, denotado por z = f (x1, x2,..., xn).
Notação: 
As variáveis (x1, x2,..., xn) são as variáveis independentes, e z é a variável dependente. 
O conjunto de todos os valores possíveis de f é chamado imagem de f, e é denotado por lm(f). 
Assim, 
 
UNIDADE 1TÓPICO 116
Definição 1.4.2 Seja f uma função de n variáveis. O gráfico de f é o conjunto de todos 
os pontos do espaço Rn+1 dado por:
No caso em que n = 1 , f será uma função de uma variável e seu gráfico será uma curva 
C com equação y = f (x1) .
quando n = 2, f será uma função de duas variáveis e seu gráfico será uma superfície 
S com equação z = f (x1,x2) .
quando n = 3, não podemos esboçar o gráfico da função f, pois ele está no espaço de 
dimensão 4.
Exemplo 17
Esboce o gráfico da função f (x,y) = 6 – 2x + 3y.
Resolução
Para esboçar o gráfico de uma função, temos que conhecer o domínio desta função. 
O domínio desta função f é D(f) = R² e o gráfico da função f é o conjunto:
graf (f) = {(x,y,z) ∈ R³ | z = 6 – 2x + 3y}
Geometricamente, o gráfico de f representa um plano.
Vamos fazer algumas considerações sobre a função e os eixos, como se fôssemos traçar 
o gráfico manualmente. Então começamos encontrando os pontos onde o plano intercepta 
cada um dos três eixos coordenados.
Se na equação z = 3 – 2x – 3y fizermos:
x = 0 e y = 0, vem z = 6
x = 0 e z = 0, vem y = 2
y = 0 e z = 0, vem x = 3 .
Obtemos assim os pontos A1 = (0, 0, 6), A2 = (0, 2, 0) e A3 = (3, 0, 0), nos quais o plano 
intercepta os eixos coordenados. A porção do gráfico que está no primeiro octante está 
esboçada na figura a seguir.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 17
FIgUrA 13 – PLANO COM EIXOS COOrDENADOS
FONTE: O autor
Exemplo 18
Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função f (x, y, z) = 
Resolução
Esta função não apresenta restrição para os valores de x, y e z.
Assim, D(f) = R ³ (todo o espaço).
Já para o conjunto imagem, teremos apenas os reais não negativos.
Logo, Im (f) = R+ .
UNIDADE 1TÓPICO 118
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, os principais assuntos estudados foram:
● Definição de função de diversas variáveis.
● Conjunto domínio e conjunto imagem de função.
● Representação gráfica do domínio.
● Representação gráfica das superfícies z = f (x,y) usando recurso computacional.
● Listamos algumas situações envolvendo o estudo do domínio para funções de diversas 
variáveis que impõem restrições ao conjunto domínio.
● Consideremos os casos a seguir, em que A e B são expressos em função de x e y.
ü	Se f (x,y) = então devemos considerar B ≠ 0.
ü	Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar A ≥ 0. 
ü	Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar A ≥ 0 e B ≠ 0.
ü	Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar B > 0.
ü	Se f (x,y) = logc com c > 0 e c ≠ 1 então devemos considerar A > 0.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 19
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções 
de diversas variáveis.
1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos específi cos:
a) f (x,y) = (x ‒ 1)² + 2xy³ ; f (2, ‒ 1); f (1,2)
b) f (x,y) = 
3x + 2y
2x + 3y ; f (1,2) ; f ( ‒ 4,6)
c) g (x,y) = ; g (4,5); g (‒ 1,2)
d) g (u,v) = 10u ½ v ⅔; g (16,27); g (4 ‒ 1331)
e) f (x,y) = y xx y+ ; f (1,2); f(2, ‒3)
2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e represente-o grafi camente:
a) f (x,y) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (x,y) = √36 ‒ x² + y²
c) f (x,y) = √x + y ‒ 2
d) f (x,y) = 
3x + 5y
x² + 2y² ‒ 4
e) f (x,y) = In (x + y ‒ 4)
f) g (x,y) = e
xy
√x ‒ 2y
UNIDADE 1TÓPICO 120
CURVAS DE NÍVEl
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
Neste tópico veremos como representar uma superfície (figura tridimensional) em um 
gráfico bidimensional.Talvez você já tenha visto algum gráfico nesta situação: na prática, são 
chamados mapas topográficos. 
Nestes mapas, uma paisagem tridimensional, como a extensão de uma montanha, 
por exemplo, está representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação 
constante, conforme pode ser visto na figura a seguir.
FIgUrA 14 – MAPA DE CONTOrNO DE UMA MONTANHA
FONTE: Disponível em: <http://arqaulas.wordpress.com/category/
topografia>. Acesso em: 11 jul. 2011.
UNIDADE 1TÓPICO 222
O objetivo deste tópico é mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente 
as curvas de nível. Muitas das curvas que encontraremos correspondem a gráficos de funções 
já conhecidas, as quais você estudou na disciplina de geometria Analítica, tais como: reta, 
parábola, cúbica, circunferência, elipse e hipérbole.
2 CURVAS DE NÍVEl
O conjunto de todos os pontos onde uma função f (x,y) tem um valor constante c ∈ R 
é chamado de curva de nível de f.
Assim, as curvas de nível são obtidas a partir de funções de duas variáveis z = f (x,y) 
interceptadas por planos paralelos ao plano xy. 
Definição 2.3.1 Seja c um número real. O conjunto de pontos no plano onde uma função 
f (x,y) tem um valor constante f (x,y) = c é chamado de curva de nível de f.
Exemplo 1
Identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6. represente 
graficamente.
Resolução
g (x,y) = c para c = 0
g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ x
y = ‒ x + 4
Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular –1) que intercepta 
o eixo y em 4.
g (x,y) = c para c = 6
g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ 6 ‒ x
y = ‒ x ‒ 2
Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular –1) que intercepta 
o eixo y em –2.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 23
FIgUrA 15 – CUrVAS DE NÍVEL DE g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
FONTE: O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de nível é o que muitos autores chamam de mapa 
de contorno, conforme figura a seguir.
FIgUrA 16 – MAPA DE CONTOrNO DE g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
FONTE: O autor
IMP
OR
TAN
TE! �
Considerando diferentes valores para a constante c, igualmente 
espaçados, obtemos um conjunto de curvas de nível chamado mapa 
de contorno, representadas no mesmo plano cartesiano.
UNIDADE 1TÓPICO 224
Exemplo 2
Identifique as curvas de nível para f (x,y) = x² ‒ y² em c = 0, c = -3 e c = 4. represente 
graficamente.
Resolução
f (x,y) = c para c = 0
x² – y² = 0
y² = x²
y = ± { y = xy = ‒ x
Estas duas equações representam duas retas (Figura 17). A reta de equação y = x 
representa, no plano, a bissetriz dos quadrantes ímpares, enquanto que a reta de equação y 
= - x representa a bissetriz dos quadrantes pares.
f (x,y) = c para c = ‒ 3
x² ‒ y² = ‒ 3
‒
x² y² ‒3
‒3 ‒3 ‒3
‒
x² y²
3 3
+ = 1‒
A equação 
x² y²
3 3
+ = 1‒ representa uma hipérbole equilátera, com a = b = √3 que 
tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17).
f (x,y) = c para c = 4
x² ‒ y² = 4
‒
x² y² 4 
4 4 4
=
‒
x² y² 
4 4 
= 1
Esta equação representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 2, centrada na origem 
do plano cartesiano, com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda 
(Figura 17).
UNIDADE 1 TÓPICO 2 25
FIgUrA 17 – CUrVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = x² ‒ y² 
FONTE: O autor
FIgUrA 18 – MAPA DE CONTOrNO DE f (x,y) = x² – y² 
FONTE: O autor
DIC
AS!
Caro(a) acadêmico(a)! Para desenhar os mapas de contorno, sugiro 
que utilize um software matemático, como, por exemplo, o Winplot. 
Na internet você encontra diversos tutoriais sobre o Winplot, inclusive 
onde baixar o programa, que é freeware. Agora tente você, identifique 
as curvas de nível para g (x,y) = 4 ‒ 2x² ‒ y² em c = 0 e c = ‒ 2 e 
as represente graficamente.
UNIDADE 1TÓPICO 226
Exemplo 3
Identifique as curvas de nível para f (x,y) = √5 ‒ x ² ‒ y ² em c = 1 e c = 2. represente 
graficamente.
Resolução
f (x,y) = c para c = 1
√5 ‒ x ² ‒ y ² = 1
5 ‒ x ² ‒ y ² = 1
‒ x ² ‒ y ² = ‒ 4 (-1)
x² + y² = 4
Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, 
com raio igual a 2 (Figura 19).
f (x,y) = c para c = 2 
√5 ‒ x ² ‒ y ² = 2
5 ‒ x ² ‒ y ² = 4
‒ x ² ‒ y ² = ‒ 1 ( ‒ 1)
x ² + y ² = ‒ 1
Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, 
com raio igual a 1 (Figura 19).
FIgUrA 19 – CUrVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = √5 ‒ x ² ‒ y ² 
FONTE: O autor
UNIDADE 1 TÓPICO 2 27
FIgUrA 20 – MAPA DE CONTOrNO DE f (x,y) = √5 ‒ x ² ‒ y ²
FONTE: O autor
UNIDADE 1TÓPICO 228
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico fizemos análises e representações gráficas das curvas de nível de 
uma função f, que são curvas resultantes da interseção de planos paralelos ao plano xy 
com a superfície z = f (x,y). E ainda estudamos: 
• Representação gráfica das curvas de nível.
• reconhecimento algébrico das curvas de nível.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 29
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções 
de diversas variáveis.
1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D.
(1)
(A)
(2)
(B)
3 3
UNIDADE 1TÓPICO 230
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível para valores de 
c dados.
a) f (x,y) = x ² + y ² ‒ 9 c ∈ {‒ 4, ‒ 2, ‒ 1, 0};
b) f (x,y) = y ² ‒ x c ∈ {0, 1, 2, 3}
3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das funções. 
Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante que você faça os gráficos 
manualmente e, se for possível, utilize o software Winplot para conferir ou como apoio 
nos estudos.
a) f (x,y) = x ² + 9y ²
b) f (x,y) = y ² ‒ x³
c) g (x,y) = 3 + 2x ‒ y
lIMITE E CONTINUIDADE
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
O que estudaremos agora já foi estudado no Cálculo Diferencial e Integral, onde o 
conceito de limite e continuidade foi empregado para função de uma variável.
Neste tópico estenderemos o conceito de limite às funções de duas variáveis, um 
conceito fundamental do cálculo do qual decorrem outros, como, por exemplo, a noção de 
continuidade. Para isso, enunciaremos algumas definições de Análise Matemática. Tente 
entender os conceitos e só depois avance para a próxima seção.
2 DEFINIÇÕES BÁSICAS
Definição 3.2.1 Sejam P = (x1, x2,..., xn) e A = (a1, a2,...an) pontos em Rn. A distância 
entre P e A, denotada por ║ P ‒ A║, é dada por:
║ P ‒ A║ = √(x1 ‒ a1)² + (x2 ‒ a2)² + ... + (xn ‒ an)²
Exemplo 1
Dados os pontos P = (1, ‒ 2, 3) e A = (3, 1, ‒ 2) em R³, encontre ║ P ‒ A║.
Resolução
║ P ‒ A║ = √(1 ‒ 3)² + (‒2 ‒1)² + (3 ‒ (‒ 2))² = √8 u.c.
Definição 3.2.2 Sejam A = (a1, a2,..., an) ∈ Rn e r > 0 um número real. A bola aberta de 
centro em A e raio r, que indicaremos por B(A; r), é definida como sendo o conjunto de todos 
os pontos P = (x1, x2,..., xn), tais que ║ P ‒ A║< r, ou seja:
B(A; r) = {(x1, x2,...,xn) ∈ Rn; √x1 ‒ a1)² + (x2 ‒ a2)² +...+ (xn ‒ an)² < r
Exemplo 2
a) Em R, a bola aberta B(a; r) é o intervalo aberto (a ‒ r, a + r).
FIgUrA 21 – INTErVALO EM R
FONTE: O autor
b) Em R² , a bola aberta B((a1, a2); r) representa o conjunto dos pontos internos à circunferência 
de centro em (a1, a2) e raio r.
FIgUrA 22 – r de A
FONTE: O autor
Definição 3.2.1 Seja S um subconjunto de Rn. Um ponto A é um ponto de acumulação 
de S, se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S, mesmo que 
A não necessariamente pertença a S.
Exemplo 3
Seja S = {(x,y) ∈ R² | x > 0 e y < 2}. Mostre que todos os pontos pertencentes ao conjunto 
S são pontos de acumulação.
Resolução
Todos os pontos pertencentes a S são pontos de acumulação de S, pois atendem à 
Definição 3.2.1. Ainda, os pontos (0,y),com y ≤ 2, e (x, 2), com x > 0, são pontos de acumulação 
de S e não pertencem a S. (Figura 23).
UNIDADE 1 TÓPICO 3 33
FIgUrA 23 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO CONJUNTO S
FONTE: O autor
Exemplo 4
Seja S = {(x,y) ∈ N2 | ‒ 2 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 5}. Mostre que o conjunto S não possui 
pontos de acumulação.
Resolução
Mostraremos que os pontos de S não são pontos de acumulação de S pois não atendem 
à Definição 3.2.1. Para qualquer ponto P(x,y) ∈ R2, a bola aberta de centro P e raio r < 1 não 
contém uma infinidade de S. 
Portanto, o conjunto S não possui pontos de acumulação. (Figura 24).
FIgUrA 24 – rEPrESENTAÇÃO grÁFICA DO CONJUNTO S
FONTE: O autor
UNIDADE 1TÓPICO 334
3 lIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
x → A
A seguir, definiremos limite de uma função de diversas variáveis.
Definição 3.3.1 Sejam f : S ⊂ Rn → R uma função, e A um ponto de acumulação de S. 
Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A é um número real L se, dado ε > 0, existir 
δ > 0 tal que |f (X) – L| < ε sempre que X ∈ S e 0 < ║ X – A ║ < δ.
Neste caso, escrevemos
lim f (X) = L
O estudo de funções de três ou mais variáveis (n ≥ 3) difere pouco do estudo de funções 
de duas variáveis. Desta forma, por simplicidade de apresentação, vamos estudar as funções 
de duas variáveis no restante desta unidade. Começaremos reescrevendo a definição de limite 
de funções de duas variáveis.
Definição 3.3.2 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função, e (a, b) um ponto de acumulação de 
S. Dizemos que o limite de f (x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) é um número real L se, 
dado ε > 0, existir δ > 0 tal que
|f (x,y) – L| < ε sempre que (x,y) ∈ S e 0 < √(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 < δ
Neste caso, escrevemos
lim f (x,y) = L
A definição de limite de função pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta 
que vimos anteriormente. De fato, escrever lim f (x,y) = L, equivale a dizer que, dado qualquer 
ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, para todo (x,y) ∈ B ((a,b); δ) tenhamos f (x,y) ∈ (L – ε, 
L + ε). A figura a seguir ilustra, no caso de uma função f : A ⊂ Rn → R, a definição de limite.
(x,y) → (a,b)
(x,y) → (a,b)
FIgUrA 25 – FUNÇÃO f : A ⊂ Rn → R 
FONTE: Disponível em: <http://www.icmc.usp.br/~cmmendes/CalculoII/
Calculo2Diferencia%E7%E3o.pdf>. Acesso em: 18 jun. 2011.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 35
(x,y) → (2,1)
Exemplo 5
Usando a definição de limite, mostre que lim (4x) ‒ (3y) = 5.
Resolução
Devemos mostrar que ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 < ε sempre que ║(x,y) ‒ (2,1)║< δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado, trabalharemos com a desigualdade que 
envolve ε . Assim, usando propriedades do valor absoluto, podemos escrever:
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)
=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3
=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)
=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)
≤ 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 < √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ podemos escrever x ‒ 2 ≤ √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ 
e y ‒ 1 ≤ √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ, temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1< 4 δ + 3 δ.
Assim, tomando δ = ε7 , temos(4x ‒ 3y) ‒ 5≤ 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1< 4
ε
7 + 3 =
ε
7 = ε 
sempre que 0 < √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ.
Portanto, lim (4x ‒ 3y) = 5
Teorema 3.3.1 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função de duas variáveis, S1 e S2 subconjuntos 
de S e (a,b) um ponto de acumulação de S1 e S2. Se f (x,y) tem limites diferentes quando (x,y) 
tende (a,b) através dos pontos de S1 e S2 então lim f (x,y) não existe.
(x,y) → (2,1)
(x,y) → (a,b)
ATEN
ÇÃO
!
Lembre-se de que o fato de o ponto (a,b) ser um ponto de 
acumulação de S1 e S2 não significa que (a,b) ∈ S1 ∩ S2 .
Exemplo 6
Usando a definição de limite, mostre que lim 
5xy
x2 + y2
 não existe.
(x,y) → (0,0)
UNIDADE 1TÓPICO 336
Resolução
Observemos que o conjunto domínio de f é R2 ‒ (0,0). Para mostrar que o limite não 
existe, usaremos o Teorema 3.3.1.
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem {y = kxk ∈ R, (x,y) ∈ R2}.
Calculando f (x,y) com y = kx, temos
f (x,kx) = 
5xkx
x2 + (kx)2
 = 
5kx2
x2 (1+ k2)
 = 
5k
1+ k2
Então, lim f (x, kx) = lim 
5k
1+ k2
 
Assim, o limite de f depende do percurso do ponto (x,y) quando ele tende à origem. 
Por exemplo, considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes).
lim f (x,x) = lim 5.1 5
1+12 2
= .
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela origem. De fato, 
para cada coeficiente angular k ∈ R, f (x,kx) = 5k
1+k2
, qualquer que seja x ∈ R, corroborando, 
assim, o cálculo do limite desenvolvido anteriormente.
Portanto, concluímos através do Teorema 3.3.1 que lim 5xy
x2 + y2
 não existe.
O teorema a seguir é muito parecido com o que já foi visto em cálculo nas propriedades 
de limites de funções de uma variável.
Teorema 3.3.2 Se lim f (x,y) = L e lim g (x,y) = M, e c ∈ R então:
(x,y) → (0,0) (x,y) → (0,0)
(x,y) → (0,0) (x,y) → (0,0)
(x,y) → (0,0)
(x,y) → (a,b) (x,y) → (a,b)
UNIDADE 1 TÓPICO 3 37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir.
Exemplo 7
Calcule 
Resolução
Exemplo 8
Calcule 
Resolução
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0.
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0
0
. Para resolver o limite, fatoram-se o 
numerador e denominador fazendo as simplificações possíveis, como fazíamos com limites 
indeterminados, no caderno de Cálculo Diferencial e Integral.
Então,
(x,y) → (2,2) (x,y) → (2,2)
UNIDADE 1TÓPICO 338
4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Você se recorda da definição de continuidade estudada na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral? Agora estudaremos esta definição aplicada às funções de diversas 
variáveis. Acompanhe a seguir:
Definição 3.4.1 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função, e (a,b) ∈ S um ponto de acumulação 
de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f está definida no ponto (a,b)
(ii) lim f(x,y) existe;
(iii) lim f(x,y) = f(a,b).
quando uma ou mais destas condições não é satisfeita, dizemos que a função é 
descontínua no ponto (a,b).
Dizemos que f é contínua, se f for contínua em todos os pontos do domínio de f.
Exemplo 9
Considere a função de duas variáveis f(x,y) = 3x + y2 .
a) Mostre que f é contínua no ponto (2, 3).
b) Mostre que f é contínua.
Resolução
a) Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
(i) f (2,3) = 3.2 + 32 = 15
(ii) lim f(x,y) = lim (3x + y2) = 3.2 + 32 = 15
(iii) lim (3x + y2) = f (2,3)
Logo, f é contínua no ponto (2, 3).
b) Seja (a,b) ∈ D (f) = R2
(x,y) → (a,b)
(x,y) → (a,b)
(x,y) → (2,3)
(x,y) → (2,3)
(x,y) → (2,3)
UNIDADE 1 TÓPICO 3 39
 lim f(x,y) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (a,b).
Como (a,b) é um ponto qualquer, segue que f (x,y) é contínua.
Exemplo 10
c) Verifique se a função f (x,y) = In (xy + 3x) é contínua no ponto (3,2).
Resolução
Verificaremos se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
(x,y) → (a,b) (x,y) → (a,b)
Logo, f é contínua no ponto (3, 2).
Exemplo 11
Verifique se a função f (x,y) = é contínua no ponto (3,3).
Resolução
Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
(i) f (3,3) = 5, pois x = y
(ii) = ∞, portanto o limite não existe.
(iii) Como lim f(x,y) ≠ f(3,3), concluímos que a função é descontínua no ponto (3,3).
Teorema 3.4.1 Se g(x) for contínua em a e h(y) for contínua em b, então f(x,y) = g(x) · h(y) 
é contínua em (a,b).
(x,y) → (3,3)
UNIDADE 1TÓPICO 340
Teorema 3.4.2 Se h(x, y) for contínua em (a,b) e g(u) for contínua em u = h (a,b), então 
a composição f(x,y) = g(h(x,y)) é contínua em (a,b).
Exemplo12
Use o Teorema 3.4.1 para mostrar que a função f(x,y) = 7x3y5 é contínua.
Resolução
Os polinômios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 são contínuos em cada ponto da reta real.
Logo, pelo Teorema 3.4.1, a função f(x,y) = 7x3 y5 é contínua em cada ponto (x,y) do 
plano xy, ou seja, f(x,y) é contínua.
Exemplo 13
Use o Teorema 3.4.2 para mostrar que a função f(x,y) = cos (7x3 y5) é contínua.
Resolução
Como h(x,y) = (7x3 y5) é contínua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u é contínua 
em cada ponto u da reta real, segue do Teorema 3.4.2 que a composição f(x,y) = cos (7x3 y5) 
é contínua em todo R2.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 41
RESUMO DO TÓPICO 3
Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico os principais assuntos estudados foram:
• O conceito de limite de função de diversas variáveis.
• Definição de função contínua e suas propriedades. É importante saber analisar se uma 
função é contínua ou não.
• Destacamos a Definição 3.4.1, que trata da continuidade. Lembre que f : S ⊂ R2 → R uma 
função, e (a,b) ∈ S um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) 
se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f está definida no ponto (a,b);
(ii) lim f(x,y) existe;
(iii) lim f(x,y) = f(a,b).
Lembre-se de que, se uma destas condições não for satisfeita, a função é descontínua 
em (a,b).
(x,y) → (a,b)
(x,y) → (a,b)
UNIDADE 1TÓPICO 342
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre limite 
e continuidade de funções de diversas variáveis.
1 Use a definição de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12
2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites.
(x,y) → (3,1)
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4).
b) lim 
c) lim 
d) lim x
2 ‒ xy
√ √x + y
(x,y) → (2, ‒1)
(x,y) → (2, ‒1)
x + 4y
2x2 + 3xy
(x,y) → (0,0)
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
(x,y) → (0,0)
3 Mostre que lim x
2y
x4 + y2
 não existe.
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (x,y) = 3x2 + y2 +5.
5 Verifique se a função f(x,y) = 4x
2 ‒ 3x + y
x2 + y2 ‒ 1
 é contínua no ponto (1,3).
6 Verifique se a função f(x,y) = { xy5x2 + y20, (x,y) = (0,0), (x,y) ≠ (0,0)
(x,y) → (0,0)
DERIVADAS PARCIAIS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 1
Você se recorda das regras de derivação estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial 
e Integral? 
Aqui veremos como elas se aplicam às funções de duas variáveis independentes, que 
permitem uma visualização gráfica, possibilitando um entendimento, de maneira simples, do 
conceito de derivadas parciais. Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os 
casos de funções com um número maior de variáveis.
As regras de derivação que você aprendeu na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 
serão utilizadas neste momento novamente.
2 RElEMBRANDO AlGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
Se u é uma variável real e c, α ∈ R, então:
(c)′ = 0 (eu)′ = eu · u ′
(c · u)′ = c (sen u)′ = cos u · u ′
(u α)′ = α · u α−1 · u′ (cos u)′ = −sen u · u ′
Exemplo 1
Se f(x) = 5x3 − 4x + 3ex − 5, então f ′(x) = 15x2 − 4 + 3ex.
UNIDADE 1TÓPICO 444
Lembre-se de que se y = f (x), então a taxa de variação de y em relação a x é dada 
pela derivada de f em relação a x, que é definida por
f(x + Δx) − f(x)
Δx
 f ′(x) = lim
Δx → 0
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seção estudaremos sobre as derivadas parciais. Acompanhe!
3.1 DErIVADAS PArCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VArIÁVEIS
A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis é parecida com a 
enunciada para funções de uma variável, sendo utilizadas as mesmas regras de derivação. A 
diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto 
se dá acréscimos para a outra, conforme veremos nas definições a seguir.
Definição 4.3.1.1 Seja f : A ⊆ R2 → R uma função de duas variáveis. As derivadas 
parciais de f em relação a x e a y são funções ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 definidas por
∂f
∂x
= lim
h → 0
f (x + h,y) ‒ f (x,y)
h
∂f
∂y
= lim
h → 0
f (x,y + h) ‒ f (x,y)
h
desde que os limites existam.
O símbolo “∂” chama-se “D-rond” (pronuncia-se derron), que significa D-redondo, em 
francês. Esta notação é apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que, quando 
trabalhamos com funções de uma variável, era representada por “d”. É conveniente ter 
essa maneira distinta de estender a notação diferencial de Leibniz para um contexto de 
diversas variáveis, pois aqui não tem sentido falarmos simplesmente em derivada, apenas 
em derivadas parciais.
 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 45
Existem outras notações para representar as derivadas parciais. Se, escrevemos: 
z = f (x,y)
∂f
∂x
= fx (x,y) = = Dx f
∂z
∂x
∂f
∂y
= fy (x,y) = = Dy f
∂z
∂y
ATEN
ÇÃO
!
Preste muita atenção na simbologia de derivada. Quando estamos 
derivando uma função de uma variável, por exemplo, y = f (x), 
então a derivada é identificada por dy
dx
. Mas quando estamos 
derivando uma função de duas ou mais variáveis, por exemplo, 
z = f (x,y), então as derivadas são identificadas por ∂ z
∂ x
 e ∂ z
∂ y
.
Exemplo 2
Aplicar a definição para achar ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 para f (x,y) = 3x2 ‒ 2xy.
Resolução
∂f
∂x
= lim
h → 0
f (x + h,y) ‒ f (x,y)
h
= lim
h → 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
6xh + 3h2 ‒ 2hy
h
= lim
h → 0
h (6x + 3h ‒ 2y)
h
= lim 6x + 3h ‒ 2y
h → 0
= 6x ‒ 2y.
UNIDADE 1TÓPICO 446
∂f
∂y
= lim
h → 0
f (x,y + h ‒ f (x,y)
h
= lim
h → 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
‒ 2xh
h
= lim (‒ 2x)
h → 0
= ‒ 2x.
Logo, obtemos ∂f
∂x
= 6x ‒ 2y e 
∂f
∂y
= ‒ 2x.
Exemplo 3
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 5x3 ‒ 4xy + 3exy³ ‒ 5.
Resolução
Para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, devemos olhar para a variável 
y da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável x, ou seja, aplicaremos as 
regras de derivação somente na variável x.
∂f
∂x
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exy³ ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exy³
De forma análoga, para derivar parcialmente f em relação a y, devemos olhar para a 
variável x da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável y, ou seja, aplicaremos 
as regras de derivação somente na variável y.
∂f
∂y
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exy³ ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exy³
Exemplo 4
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 3x2 = ‒ xy + y.
Resolução
Derivando f em relação a x, (lembre-se de considerar o y como constante)
∂f
∂x
= 6x ‒ y
UNIDADE 1 TÓPICO 4 47
E derivando f em relação a y, (agora considere o x como constante)
∂f
∂y
= ‒ x + 1
Exemplo 5
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x.
Resolução
∂f
∂x
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
∂f
∂y
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6
Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = (x + y) sen (x ‒ y).
Resolução
Observe que a função f é um produto de outras duas funções u e v. Assim, lembramos 
que (u ∙ v)′ = u ′ ∙ v + u ∙ v ′
∂f
∂x
= 1.sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
∂f
∂y
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7
Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = exy + In (x2 + y).
Resolução
∂f
∂x
= y exy
2x
x2 + y
∂f
∂y
= x exy
1
x2 + y
Utilizamos a regra (In u)′ = 
u′
u
UNIDADE 1TÓPICO 448
Até aqui, estivemos preocupados com o cálculo da derivada parcial de uma função em 
relação a uma de suas variáveis. Isso quer dizer que calculamosa derivada ao longo de uma 
curva sem ponto fixado. Passemos, agora, a ver como se calcula a derivada fixando um ponto 
da superfície.
Se (x0, y0) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical y = y0 cortará 
a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x, y0). (Figura 26)
Definição 4.3.1.2 A derivada parcial da função f em relação à variável x é representada 
por ∂f
∂x
 e é definida num ponto P (x0, y0) do domínio por:
(x0, y0) = limΔ x → 0
∂f
∂x
f (x0 + Δ x, y0) ‒ f (x0, y0)
Δ x
, se este limite existir.
FIgUrA 26 – FUNÇÃO f (x,y)
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
Se (x0, y0) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical x = x0 cortará 
a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x,y0). (Figura 27)
Definição 4.3.1.3 A derivada parcial da função f em relação à variável y é representada 
por ∂f
∂y
 e é definida num ponto P (x0, y0) do domínio por:
(x0, y0) = limΔ x → 0
∂f
∂y
f (x0, y0 + Δ x ) ‒ f (x0, y0)
Δ x
, se este limite existir.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 49
FIgUrA 27 – FUNÇÃO f (x,y)
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
Exemplo 8
Sendo f (x,y) = 2x2y – 4y3, calcule ∂f
∂x
, ∂f
∂y
, ∂f
∂x
 (3,1), ∂f
∂y
 (3,1).
Resolução
∂f
∂x
 = 2 · 2x · y – 0 ∂f
∂x
 (3,1) = 4 · 3 · 1 = 12
∂f
∂x
 = 4xy
∂f
∂y = 2x 
2 · 1 – 4 · 3y 2 
∂f
∂y (3,1) = 2 · 3
2 – 12 · 12
∂f 
∂y
 = 2x 2 – 12y 2 ∂f
∂y
 (3,1) = 2 · 9 – 12 · 1 = 18 – 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (x,y) = { 5xy2x + 3y0, se (x,y) = (0,0), se (x,y) ≠ (0,0) , calcule ∂f ∂x e ∂f∂y.
UNIDADE 1TÓPICO 450
Resolução
Nos pontos (x,y) ≠ (0,0), podemos aplicar as regras de derivação. Assim, temos
∂f
∂x
5y · (2x + 3y) ‒ 5xy · 2
(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy
(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2
=
∂f
∂y
5x · (2x + 3y) ‒ 5xy · 3
(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2
=
Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição de derivada parcial,
(0,0) = lim
h → 0
∂f
∂x
f (0 + h , 0 ) ‒ f (0,0)
h
= lim
h → 0
5h · 0 
2h
 h
‒ 0( (
( (
(0,0) = lim
h → 0
∂f
∂y
f (0,0 + h) ‒ f (0,0)
h( (
= lim
h → 0
5 · 0 · h 
3h
 h
‒ 0( (= 0.
= 0.
Assim, obtemos as derivadas parciais da função f com relação a x e com relação a y 
em todos os pontos (x,y) do domínio.
3.2 INTErPrETAÇÃO gEOMÉTrICA
A interpretação das derivadas parciais é análoga à interpretação da derivada simples. 
Sabemos que, para a função y = f (x), a derivada f ′ (x0) pode ser interpretada ou como a taxa 
de variação de y em relação a x no ponto x0 ou como a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de f no ponto x0.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 51
Para interpretar as derivadas parciais, consideramos a função z = f (x,y) e as suas 
derivadas parciais no ponto (x0, y0, z0). Vamos interpretar 
∂f
∂x
 (x0, y0): então suponha que C1 é 
a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano y = y0 (o que equivale a considerar y como 
constante).
geometricamente, ∂f
∂x
 (x0, y0) pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente 
à curva C1 no ponto (x0, y0) que se denota por 
∂f
∂x
 (x0, y0) = tg α.
Da mesma forma, supondo C2 a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano x = x0 
(o que equivale a considerar x como constante), interpretamos ∂f
∂y
 (x0, y0) geometricamente 
como a inclinação da reta tangente à curva C2 no ponto (x0, y0) que se denota por 
∂f
∂y
 (x0, y0) = 
tg b. Veja na Figura 28 a situação descrita anteriormente.
A derivada parcial ∂f
∂x
 (x0, y0) também pode ser interpretada como a taxa de variação 
de z em relação a x ao longo da curva C1. E a derivada parcial 
∂f
∂y
 (x0, y0) também pode ser 
interpretada como a taxa de variação de z em relação a y ao longo da curva C2. Assim, estes 
valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variável 
está sendo alterada.
FIgUrA 28 – INTErPrETAÇÃO gEOMÉTrICA DAS DErIVADAS PArCIAIS
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
Exemplo 10
A função T (x,y) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de uma 
chapa. Encontre a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao 
longo da chapa da direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). Considere a temperatura 
medida em graus Celsius, e a distância em cm.
Resolução
∂T
∂x = 0 ‒ 2 · 2x = ‒ 4x 
∂T
∂x = (1, 2) = ‒ 4 · 1 = ‒ 4°C / cm
UNIDADE 1TÓPICO 452
Assim, podemos interpretar o valor ‒ 4°C / cm obtido na derivada em x da seguinte 
forma: a temperatura está diminuindo 4°C à medida que x aumenta uma unidade.
∂T
∂y = 0 ‒ 2 · 3y = ‒ 6y 
∂T
∂y = (1, 2) = ‒ 6 · 2 = ‒ 12°C / cm
Assim, o valor ‒ 12°C / cm significa que a temperatura diminui 12°C à medida que y 
aumenta uma unidade.
Exemplo 11
Suponha que D = √x 2 + y 2 é o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados 
têm comprimentos x e y que são permitidos variar. Determine uma fórmula para a taxa de 
variação de D em relação a x, se x varia, com y considerado constante, e utilize esta fórmula 
para determinar a taxa de variação de D em relação a x no ponto x = 3 e y = 4.
Resolução
A fórmula para a taxa de variação de D em relação a x é
D = √x 2 + y 2 
D = (x 2 + y 2)½
∂D
∂x
 = 1
2
 (x 2 + y 2)-½ (2x)
∂D
∂x
 = 
√
x
x 2 + y 2
A taxa de variação instantânea de D em relação a x, no ponto (3, 4), é
∂D
∂x
 (3, 4) = 
√
3
32 + 42
 = 
3
5
Assim, D aumenta a uma taxa de 3
5
 de unidade para cada unidade de aumento de x 
no ponto (3, 4).
4 GENERAlIZAÇÃO
Na seção anterior estudamos as derivadas parciais de funções de duas variáveis. Agora 
vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funções de n variáveis reais.
Definição 4.4.1 Seja f : A ⊆ Rn → R uma função de n variáveis, e seja x = (x1, x2,..., xn) ∈ A. 
Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relação a xi por
∂f
∂xi
(x) = lim
f (x1,..., xi + h,..., xi ,..., xn)
h( (h → 0 , quando esse limite existir.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 53
Definição 4.4.2 Seja f : A ⊂ Rn → R uma função de n variáveis e seja B ⊆ A o conjunto 
formado por todos os pontos x tais que 
∂f
∂xi
(x) existe. Definimos a função derivada parcial de 
1ª ordem de f em relação a xi como a função que a cada x ∈ B associa o número 
∂f
∂xi
(x) dado 
por ∂f
∂xi
(x) = lim
f (x1,..., xi + h,..., xn) ‒ f (x1,..., xi ,..., xn)
h( (h → 0 .
Exemplo 12
Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3.
Resolução
Ao derivar f em relação a x, lembre-se de considerar y e z como constantes
∂f
∂x
= y 2
Derivando f em relação a y, (agora considere x e z como constantes)
∂f
∂y
= 2xy 
E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes)
∂f
∂z
= ‒ 6z2
Exemplo 13
Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = yz In (xy).
Resolução
Observe primeiramente que a função é dada por um único termo e teremos que usar 
as regras do produto e do logaritmo natural.
Derivando f em relação a x, (considere y e z como constantes). Como a variável x 
aparece apenas no logaritmando, usaremos a regra do logaritmo natural.
∂f
∂x
= yz ∙ y
xy
= yz
x
Derivando f em relação a y, (considere x e z como constantes).
Como a variável y aparece no fator que multiplica o logaritmo e também no logaritmando, 
então aplicaremos a regra do produto e junto à regra do logaritmo natural.
∂f
∂y
= z In (xy) + yz · x
xy
= z In (xy) + z
E derivando f em relação a z, (considere xe y como constantes). A variável z aparece 
apenas no fator que multiplica o logaritmo, então aplicaremos a regra da derivada simples em z.
∂f
∂z
= y In (xy).
UNIDADE 1TÓPICO 454
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 são funções de x e y, e assim, elas mesmas podem ter 
derivadas parciais. Com isso, teremos outras quatro derivadas parciais, estas de segunda 
ordem de f, as quais são definidas por:
Exemplo 14
Sendo f (x,y) = y2 ex + 5y, calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
Resolução
∂f
∂x
= y2 ex
 ∂f
∂y
= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem, vamos derivar parcialmente 
cada uma das derivadas de primeira ordem em relação a x e a y. Fique atento(a) à notação!
Exemplo 15
Sendo f (x,y) = x2 cos y + y2 sen x, encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 55
Resolução
Exemplo 16
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (x,y) = x + 3y .
Resolução
Primeiro, devemos escrever a função na forma de potência.
f (x,y) = (x + 3y)½
E observe que devemos aplicar a regra da potência para a derivação (u α)′ = α uα−1 u′.
√
UNIDADE 1TÓPICO 456
Exemplo 17
Dada a função f (x,y) = x3y + 4x2y3, calcule:
a) ∂
2f
∂y∂x
; b) ∂
2f
∂x2
 c) ∂
3f
∂x∂y∂x
 d) ∂
3f
∂y∂x2
Resolução
UNI
Talvez você tenha percebido nos exemplos que as derivadas 
mistas de segunda ordem ∂
2f
∂x∂y
 e ∂
2f
∂y∂x
 são iguais. Será que isto 
ocorre sempre?
respondendo à pergunta: não. Pois a igualdade entre as derivadas parciais mistas 
ocorre quando a função f (x,y) e suas derivadas parciais ∂
2f
∂x2
, ∂
2f
∂x∂y
, ∂
2f
∂y∂x
 e ∂
2f
∂y2
 forem todas 
contínuas, fato este que nem sempre ocorre.
UNIDADE 1 TÓPICO 4 57
UNI
Caro(a) acadêmico(a), mostre que ∂
2f
∂x∂y
(0,0) = 0 e ∂
2f
∂x∂y
(0,0) = 1, 
considerando a função { xy3x2 + y20, se (x,y) = (0,0), se (x,y) ≠ (0,0)f (x,y) = 
Este fato se repete para função de três variáveis, isto é, teremos a igualdade das seis 
derivadas parciais mistas ∂
2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
= , ∂
2f
∂x∂z
∂2f
∂z∂x
= e ∂
2f
∂y∂z
∂2f
∂z∂y
= se f (x, y, z) e todas as suas 
derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas.
UNI
Verifique se, de fato, as derivadas mistas são iguais para a função 
f (x, y, z) = xy2z3 + 3yz.
Teorema 4.5.1 (Teorema de Shwarz) Suponhamos que f seja uma função de duas 
variáveis, x e y , definida em bola aberta B, com derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas em B. Então ∂
2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
(a, b) = (a, b), para todo (a, b) ∈ B.
Como consequência do teorema, se a função z = f (x,y) tem todas as derivadas parciais 
contínuas em uma bola aberta, então a ordem da derivada não altera o produto. Por exemplo:
UNI
A seguir, apresentaremos a biografia de dois grandes 
matemáticos: Johann Bernoulli e Leonhard Euler, que, entre 
outros, também contribuíram bastante para o desenvolvimento 
do cálculo diferencial e integral.
UNIDADE 1TÓPICO 458
lEITURA COMPlEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli, irmão de Jacques Bernoulli, nasceu no dia 27 de julho na Basileia. 
Seus pais, Nicolaus e Margaretha Bernoulli, queriam que ele fosse comerciante ou médico. 
Johann pode ter sido influenciado quando criança pelo seu irmão Jacques, que já estava na 
carreira matemática.
Em 1682, com 15 anos de idade, trabalhou no comércio durante um ano, porém não 
gostou da atividade. Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina, 
apesar de ter sempre gostado de Matemática. quatro anos depois seu irmão foi nomeado 
professor de Matemática na Universidade e, de 1687 a 1690, Johann e Jacques Bernoulli 
estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Cálculo. Na época, essas teorias não tinham sido 
compreendidas por nenhum outro matemático e os irmãos Bernoulli foram os primeiros a estudá-
las. Os dois irmãos e Leibniz iniciaram uma série de artigos publicados na Acta Eruditorum, 
dando origem à difusão do Cálculo Leibniziano, tornando-o amplamente conhecido.
Em 1691, Johann foi à França, onde conheceu o marquês de L’Hospital. O marquês 
interessou-se pelo novo Cálculo e ofereceu um bom salário para que Johann lhe ensinasse. O 
acordo permitia ao marquês usar todo o conteúdo ensinado como o desejasse. A consequência 
disso foi a importante contribuição de Johann Bernoulli, conhecida como regra de L’Hospital, 
publicada pelo marquês em seu primeiro livro sobre Cálculo, em 1696. No prefácio do livro, 
L’Hospital fez menção a Johann Bernoulli, mas não lhe atribuiu o famoso teorema. Só depois 
da morte do marquês, Johann contestou a autoria, porém havia perdido a credibilidade no 
assunto, devido às desavenças públicas, principalmente com seu irmão Jacques Bernoulli. Esse 
reconhecimento só aconteceu em 1922, quando encontraram uma cópia do curso na Basileia.
A determinação da equação da catenária foi o primeiro problema importante resolvido 
por Johann Bernoulli, em 1691. Esse problema existia há mais de 50 anos e galileo, em 1636, 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 59
sugerira uma solução. Em 1646, Huygens provou que a solução de galileo era falsa, mas 
também não conseguiu resolver o problema. A catenária é a forma assumida por uma corda 
ou corrente suspensa livremente por dois pontos. O problema era determinar sua equação. 
Utilizando o Cálculo Leibniziano, Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro 
sucesso público do novo Cálculo.
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx. Para Bernoulli, a 
integração era a operação inversa da diferenciação. Tal concepção permaneceu até a época 
de Cauchy.
Johann teve três filhos: Nicolaus (1695-1726), Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790). 
Todos eles foram matemáticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinâmica conhecido 
como Princípio de Bernoulli.
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Cálculo, porém escreveu sobre a 
isócrona, sólidos de resistência mínima, trajetórias, problemas isoperimétricos, conseguindo 
tal reconhecimento pelo seu trabalho que, após a morte de seu irmão em 1705, foi chamado 
para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia.
Johann Bernoulli morreu no dia 1º de janeiro de 1748, na Basileia.
FONTE: E-CÁLCULO. Mapa da história: Leibniz. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
bernoulli1.htm>. Acesso em: 10 jun. 2008.
EULER, LEONHARD (1707-1783)
Nascido na Basileia, Suíça, Leonhard Euler foi a figura matemática dominante do seu 
século e o matemático mais prolífico de que se tem notícia. Era também astrônomo, físico, 
UNIDADE 1TÓPICO 460
engenheiro e químico. Foi o primeiro cientista a dar importância ao conceito de função, 
estabelecendo desse modo uma base sólida para o desenvolvimento do cálculo e de outras 
áreas da matemática. A coleção completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos 
e livros) chega a mais de 80 volumes. Ele contribuiu enormemente no campo da geometria 
analítica, da trigonometria, do cálculo e da teoria dos números. 
Ainda jovem, Euler demonstrou um futuro promissor como matemático, apesar de seu 
pai preferir que estudasse teologia. Felizmente, Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir 
que Euler se concentrasse no estudo da matemática. graduou-se pela Universidade da 
Basileia, defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton. 
Euler conseguiu uma posição em São Petersburgo e durante alguns anos foi médico na 
Marinha russa. Em 1733 tornou-se professor de Matemática na Academia de Ciências de 
São Petersburgo. Em 1736 publicou a obra Mechanica, em dois volumes, na qual aplicou 
sistematicamente o cálculo à matemática de uma massa e incorporou muitas equações 
diferenciais novas à mecânica.Em 1738 ele perdeu a vista direita. Em 1741 conseguiu uma 
posição como diretor matemático da Academia de Ciências de Berlim. Lá desenvolveu alguns 
trabalhos, como a tradução e a melhoria de Principles of Gunnery, de robin; a publicação 
de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess, de 1768 a 1772; e o ensino de 
Lagrange por correspondência. Em 1766, Euler retornou à rússia a convite de Catarina, 
a Grande. Em 1771, perdeu a visão no olho esquerdo, ficando completamente cego. Seu 
trabalho foi do cálculo e da análise à medida que publicou sua trilogia, Introductio in analysin 
infinitorum, Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis. Esses trabalhos, 
que perfaziam um total de seis volumes, fizeram da função uma parte central do cálculo 
e tratavam de álgebra, trigonometria, geometria analítica e teoria dos números. Por meio 
desses tratados, Euler influenciou grandemente o ensino da matemática. Diz-se que todos 
os livros didáticos de cálculo desde 1748 são essencialmente cópias de Euler ou cópias de 
cópias dele. Algumas de suas contribuições para as equações diferenciais são as seguintes: 
a redução da ordem, o fator integrante, coeficientes indeterminados, a teoria das equações 
lineares de segunda ordem e soluções das séries de potências. Ele também incorporou o 
cálculo vetor e as equações diferenciais em seus trabalhos.
Euler deu à geometria analítica moderna e à trigonometria o que o livro Elements, de 
Euclides, deu à geometria, e a tendência resultante de apresentar a matemática e a física 
em termos matemáticos prosseguiu desde então. Euler enriqueceu a matemática com muitos 
conceitos técnicos e notações ainda em uso nos dias de hoje. Ele deu ordem ao caos da notação 
matemática. Estabeleceu a maior parte da notação que utilizamos hoje (seno, co-seno, e, "pi", 
"i", sigma, f para função). A contribuição de Euler para a teoria dos números e para a física foi 
igualmente impressionante. Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum 
(Theory of the motions of rigid bodies), de 1765, ele fundou as bases da mecânica contínua 
e da teoria lunar. Sua influência no campo da física matemática foi tão difusa que a maior 
UNIDADE 1 TÓPICO 4 61
parte das descobertas não é creditada a ele. No entanto, temos as equações de Euler para a 
rotação de um corpo rígido, fluxo de um fluido ideal incompressível, flexão de vigas elásticas 
e carregamentos para empenamento de colunas. "Ele calculava sem esforço aparente, como 
os homens respiram, ou como as águias se sustentam no vento". Euler foi o Shakespeare da 
matemática universal, ricamente detalhista e incansável.
Teoremas principais: adição de séries; teorema das pontes de Königsberg.
Principais obras: Introductio in analysin infinitorum; Institutiones calculi differentialis; 
Institutiones calculi integrali; Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum; Mechanica; 
Letters to a German princess.
FONTE: gUIA para a história do Cálculo: Euler, Leonhard. Disponível em: <http://cwx.prenhall.com/
bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/euler.htm>. Acesso em: 17 
jul. 2011.
UNIDADE 1TÓPICO 462
Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico foram estudadas as derivadas parciais. 
● Você deve ter percebido que o seu cálculo é similar ao cálculo de derivadas simples, a 
diferença está no fato de ter, agora, duas variáveis e ter que derivar a função em termos de 
uma delas enquanto a outra é considerada como constante. Ou seja, ∂f
∂x
 estamos derivando 
f (x,y) em relação a x considerando y como constante.
● A derivada parcial ∂f
∂x
(x0, y0) é a inclinação da reta tangente à curva da superfície z = f (x,y) 
no plano vertical y = y0.
● Analogamente, ∂f
∂y
(x0, y0) é a inclinação da reta tangente à curva da superfície z = f (x,y) no 
plano vertical x = x0.
RESUMO DO TÓPICO 4
UNIDADE 1 TÓPICO 4 63
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre derivadas 
parciais.
1 A função T (x,y) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de 
uma chapa. Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2, 3) e chegou-se aos 
resultados ∂z
∂x
(2, 3) = ‒ 8 e ∂z
∂y
(2, 3) = ‒ 18. Dê os significados para os dois valores 
obtidos com as derivadas parciais no ponto (2, 3).
2 Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas parciais ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 das funções:
a) f (x,y) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4
b) f (x,y) = (x2 ‒ 1) (y + 2)
c) f (x,y) = (xy ‒ 1)2
d) f (x,y) = 1x + y
e) f (x,y) = ex + y + 1
f) f (x,y) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem ∂
2f
∂x2
, ∂
2f
∂x∂y
, ∂
2f
∂y∂x
 e ∂
2f
∂y 2
 das funções 
a seguir:
a) f (x,y) = e3x sen y
b) f (x,y) = xey + y + 1
UNIDADE 1TÓPICO 464
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
UNIDADE 2
DIFERENCIAbILIDADE E 
INtEgRAIS mÚLtIpLAS
ObjEtIVOS DE ApRENDIzAgEm
Nessa unidade vamos:
• conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funções 
de várias variáveis;
• aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciais;
• calcular implicitamente as derivadas de funções de várias variáveis;
• entender o conceito de diferenciabilidade;
• entender o conceito de vetor gradiente e saber calculá-lo;
• entender o conceito de derivada direcional e saber calculá-la;
• calcular os mínimos e máximos locais de funções de várias variáveis;
• resolver problemas envolvendo minimização e maximização de 
funções de várias variáveis;
• aplicar o conceito de integrais múltiplas;
• calcular as integrais múltiplas.
TÓPICO 1 – REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPlÍCITA
TÓPICO 2 – DIFERENCIABIBlIDADE E GRADIENTE
TÓPICO 3 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS
TÓPICO 4 – INTEGRAIS MÚlTIPlAS
pLANO DE EStUDOS
Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os 
conceitos e a utilização das derivadas parciais e também a integração de 
funções de várias variáveis. Dando continuidade ao estudo da unidade anterior, 
seguimos com a regra da cadeia e a derivação implícita de funções de várias 
variáveis, resolvendo diversos exemplos para auxiliá-lo(a) na compreensão 
e resolução dos exercícios propostos no final de cada tópico como você já 
está habituado em nossos cadernos de estudos. Nos tópicos seguintes, 
continuamos explorando outros conceitos e aplicações relacionados com 
as derivadas parciais tais como: diferenciabilidade de uma função de várias 
variáveis, diferencial, vetor gradiente, derivadas direcionais, extremos locais e 
problemas envolvendo a otimização (minimização e maximização) de funções 
de várias variáveis. Encerramos esta unidade com o estudo das integrais 
múltiplas que é a integração de funções de várias variáveis. Esperamos que 
este material possa auxiliá-lo em seus estudos.
REGRA DA CADEIA E 
DERIVAÇÃO IMPlÍCITA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
A regra para funções compostas é tradicionalmente chamada de regra da cadeia. Nesta 
seção, vamos apresentar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente, consideramos dois casos específicos de funções de duas variáveis e em 
seguida, apresentamos a regra da cadeia generalizada.
Teorema 1.2.1 (regra da Cadeia – derivada total) Suponha que z = f (x,y) seja uma 
função diferenciável de x e y, onde x = x (t) e y = y (t) são funções diferenciáveis de t. Então 
a função z = f (x(t), y (t)) é uma função diferenciável de t e
UNIDADE 2TÓPICO 168
FIgUrA 29 – DIAgrAMA DA ÁrVOrE PArA A rEgrA DA CADEIA
FONTE: O autor
Exemplo 1
Sejam z = f (x,y) = 4x 3 y 2, x = t 4 e y = 3t 2
Resolução
Começamos calculando as derivadas parciais
 ∂z
∂x
= 12x2y2
 
∂z
∂y
= 8x 3y
e em seguida calculamos