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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
FACULADADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
_____________________________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________________________________ 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – Sinop – MT – 78555-000 
Fone: (66) 3511-2145 – e-mail: engenhariaeletrica@unemat-net.br 
 
EXERCÍCIOS – Produto Escalar e Projeção de vetor sobre outro 
1. Calcular o módulo e o produto escalar dos vetores 
2. Determinar m, sabendo ortogonais os vetores 
3. Qual o valor de a para que os vetores sejam 
ortogonais? 
4. Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2,1,3), B(3,3,5) e C(0,4,1) 
5. Sedo , achar: 
(a) a medida do ângulo entre os vetores ; 
(b) a medida da projeção do vetor 
6. Achar o ângulo entre os vetores 
7. Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. 
8.Sabendo que o ângulo entre os vetores 
 
 
 
determinar m 
9. Calcular n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores 
10. Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2,1 ,3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1) 
11. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. 
Calcular o produto escalar dos vetores 
12. Os lados de um triângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
 
13. Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma aresta adjacente. 
14. Um cubo possui quatro diagonais. Mostre que não existem duas dessas diagonais que 
sejam perpendiculares entre si. 
15. Calcular a norma dos vetores sabendo que e o 
ângulo entre é de 60º 
16. Sabendo que e que formam um ângulo de 
 
 
 , 
determinar 
17. Determinar sabendo que , 
 
 
 
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Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – Sinop – MT – 78555-000 
Fone: (66) 3511-2145 – e-mail: engenhariaeletrica@unemat-net.br 
18. A figura abaixo mostra um cubo. Sabendo que o comprimento de CM é o dobro do 
comprimento de GM, calcule a medida do ângulo BÂM. 
 
 
 
19. Na figura abaixo, a aresta do cubo mede 3 e P é um ponto sobre HF tal q1ue a medida 
angular entre Calcule as normas de e a medida em radianos do 
ângulo PDC. 
 
 
 
20. Determinar o vetor projeção do vetor na direção de 
21. Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo dos x? 
22. Os vetores vetor são paralelos. Calcular o vetor , conhecendo-se 
 
23. Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, determinar a medida da 
projeção do cateto AB sobre a hipotenusa AC. Dados A = (0, 0, 2), B = (3, -2, 8) e 
C = (-3, -5, 10) 
A 
B C 
D 
H 
G 
E 
F 
P 
A 
B C 
D 
H 
G 
E 
F 
M