10 Distribuição N(0,1) dia 10 de maio

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PROBABILIDADE B-10-05-2016
Assunto: Fatorial Duplo .Função Gama- Propriedades. Função densidade Normal Padrão
)1;0 ;x(f : prova de que a função é positiva e que sua integral em R é 1.
Momentos não centrais e centrais da DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
INTRODUÇÃO: FATORIAL DUPLO DE UM NÚMERO
Em matemática o produto de todos inteiros de 1 até algum inteiro não negativo n que tem a mesma paridade de n é
chamado de duplo fatorial ou semifatorial de n e é denotado por n!!. Isto é,
onde A conseqüência dessa definição é que (fonte: Wikipédia)
EXEMPLOS: 8!!=2.4.6.8=384 E 7!!=1.3.5.7=105
 
FUNÇÃO GAMA
A função Gama definida para números positivos  através da expressão dxex)( x
0
1 

 
é uma generalização da noção de fatorial.
Prova-se que para todo  positivo valem as seguintes relações:
 )()1(  e )()1()1(()1()1)1(()2(  etc
Então )!1m()1m(()1m()1)1m(()m(  se m for um número inteiro positivo.
Se m for um número positivo inteiro par m=2n 


2
m
=   )!1n(n2
n2



Exemplos 6!32
8 ;!2
2
6 ;1
2
4 ; 1!0
2
2









Se m for um número inteiro positivo ímpar : 




2
1...
2
1)...4m(
2
)2m(
2
m
 Escrevendo um número ímpar como m=2n+1, 
 




2
1
2
)n2m)...(4m(
2
)2m(
2
m
Exemplos:
3.323351
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
3
2
5
2
5
2
51
2
5
2
7 
1.32934
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3;
2
3
2
31
2
3
2
5 
0.8862269
2
1
2
1
2
11
2
1
2
11
2
3
1.772454
2
1 


































 
A Função gama(x) não é monotônica:
Tabela. Alguns valores da função Gama(x) 
x )x(
0.01 9.94E+01
0.05 1.95E+01
 0.2 4.59E+00
0.5 1.77E+00
1 1.00E+00
1.2 9.18E-01
1.5 8.86E-01
1.8 9.31E-01
2 1.00E+00
2.5 1.33E+00
4 6.00E+00
5 2.40E+01
10 3.63E+05
TEOREMA I A função abaixo definida ); ;x(f  é uma função densidade de probabilidade 
se μ e σ>0 :









xparae
2
1); ;x(f
2x
2
1
 .
 PROVA DO TEOREMA I PARA I O CASO EM QUE μ=0 e σ=1




xparae
2
1)1;0 ;x(f 2
x2
Observando que esta função é par, (isto é, )1;0 ;x(f = )1;0 ;x(f  como )1;0 ;2(f  =
)1;0 ;2(f por exemplo, para qualquer número real x) e então
   







0 x
2
1
0
x
2
1
dxe
2
1dxe
2
1 22 segue que para provar que sua integral sobre todo o 
conjunto dos reais é 1 basta provar que sua integral em [0, ∞) é 0.5.
Tese: 
 
2
1dxe
2
1K
0
x
2
1 2


 


 ou equivalentemente 
 
4
1dxe
2
1K
2
0
x
2
1
2
2









 


PROVA :
       
.d.q.c
2
1K
4
1)10(
22
1e
2
1K
drdre
2
1dxdye
2
1dye
2
1dxe
2
1K Mas
0
2
r
2
0
2
2
0 0
r
2
1
0 0
yx
2
1
0
y
2
1
0
x
2
1
2
2
22222


































      
=
Corolário: 
 
22
2dxe
0
x
2
1 2






TEOREMA II Todo momento não central de ordem ímpar k da distribuição com função 
densidade )1;0 ;x(f  acima definida é nulo.
a)---Prova para o caso em que k=1.
 DEFINIÇÃO 
 




 dxxe
2
1´
2x
2
1
1 . Provemos que 1 =0
PROVA
Seja 
 


0
x
2
1
dxxe
2
1 2 .Então......
 


0
x
2
1
dxxe
2
1 2 = 
 
 








2
1)1(0
2
1e 
2
1
0
2
x2
.
POR OUTRO LADO.. 
     










 21)0(121e21dxxe21
0
x
2
10 x
2
1 22
 




 dxxe
2
1´
2x
2
1
1 =
 



0 x
2
1
dxxe
2
1 2 + 
 


0
x
2
1
dxxe
2
1 2 = 0
2
1
2
1




Fica 
demonstrado o TEOREMA II para o caso k=1: a média 1 de )1;0 ;x(f  é 0.
a)---Prova para o caso em que k=3
. 
 


 



dxex
2
1´
2x
2
1
3
3
 



0 x
2
1
3 dxex
2
1 2 + 
 


0
x
2
1
3 dxex
2
1 2
Na primeira integral, a transformação bi-unívoca de variáveis dvdxvx  , que implica 
na variação de v de ∞ a - ∞ acarreta que 
 



0 x
2
1
3 dxex
2
1 2 =
     










 0
v
2
1
3
0
v
2
1
3
0
v
2
1
3 )dv(e)v(
2
1)dv(e)v(
2
1)dv(e)v(
2
1 222
Logo  ´3
 



0 x
2
1
3 dxex
2
1 2 + 
 


0
x
2
1
3 dxex
2
1 2 =-
 


0
x
2
1
3 dxex
2
1 2 +
 


0
x
2
1
3 dxex
2
1 2 =0
-c) -Prova para o caso em que k=2m+1
Prova-se do mesmo modo ( mostrando que para expoente ímpar k=2m+1,
 




0 x
2
1
1m2 dxex
2
1 2 = 
 





0
x
2
1
1m2 dxex
2
1 2 ) que um momento de ordem ímpar k=2m+1 ,
'
1m2  da função densidade Normal )1;0 ;x(f  de parâmetros 1;0  é igual a 
zero :
 ' 1m2  
 





dxex
2
1 2x2
1
1m2 =0 
TEOREMA 3 : “O momento não central de ordem 2m (par) da distribuição de probabilidade 
com função densidade )1;0 ;x(f é !)!1m2(' m2 
Observação: O fatorial duplo m!! é o produto dos m primeiros números ímpares”
PROVA DO TEOREMA 3
Introdução
 O momento não central de ordem 2m (par) da distribuição de probabilidade com função 
densidade Normal )1;0 ;x(f é ' m2 =
     











 0
x
2
1m20 x
2
1m2x
2
1m2
dxe
2
xdxe
2
xdxe
2
x 222
Neste caso de expoente par 
   







 0
x
2
1m2x
2
1m2
dxe
2
xdxe
2
x 22 . 
então: 
Em 
 


0
x
2
1m2
dxe
2
x 2 ,fazendo a transformação y=x2, a variável antiga x é dada por yx  e
dyy
2
1dx 2
1

 . A variação de y é dada na tabela abaixo:
x y
0 0
∞ ∞
 


0
x
2
1m2
dxe
2
x 2 =   











 0
2
y
2
1
m
0
2
y2
1
m
0
y
2
1m
dyey
22
1dye
22
y
dy
y2
1e
2
y
 


0
x
2
1m2
dxe
2
x 2 = 1*
2
1
2
1m
22
1dyey
2
1m
2
1
2
1
2
1m
22
1
2
1
m0
2
y
2
1
m
2
1
m
2
1
m 





























ANTES DA PROVA FINAL DO TEOREMA 3, é interessante ver alguns casos particulares.
EXEMPLOS: 
1- O momento não central de ordem 2 (par) da distribuição de probabilidade com função 
densidade )1;0 ;x(f é '2 =
     
1dxe
2
xdxe
2
xdxe
2
x
0
x
2
120 x
2
12x
2
12 222














PROVA
Fazendo na integral 
 


0
x
2
12
dxe
2
x 2 a transformação y=x2, a variável antiga x é dada por
yx  e dyy
2
1dx 2
1

.. A variação de y é dada por 
x y
0 0
∞ ∞
'
m2 =2
 


0
x
2
1m2
dxe
2
x 2
 Então:
 


0
x
2
12
dxe
2
x 2 =
2
1
2
11
2
1
2
11
2
111
2
3
2
1
2
1
dyey
2
1
2
1
2
1
2
1
dyey
2
1
2
1dyey
2
1
2
1dye
2
y
2
1dy
2
1ye
2
y
 
2
1
0
y
2
1
1
2
3
2
3
2
3
0
y
2
11
2
3
0
y
2
1
2
1
0
y
2
12
1
0
2
1y
2
1

















































 
ii)Na integral
 



0 x
2
1
2 dxex
2
1 2 ,fazendo a transformação y=x2, a variável antiga x é dada por
yx  e dyy
2
1dx 2
1

 . A variação de y é dada na tabela
x y
-∞ ∞
0 0
Então 
 



0 x
2
1
2 dxex
2
1 2 =
     
2
1dy
2
1e
2
y
dy
2
1e
2
y
dyy
2
1e)y(
2
1
0
y
2
12
1
0 y
2
12
1
0
2
1y
2
1
2
2





















 como já foi 
explicado em i).
Então: '2 =
   







 0
x
2
12x
2
12
dxe
2
x2dxe
2
x 22 = 1 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
EXEMPLO 2- Para o cálculo do 6º. momento, 2m=6 , m=3.
 


0
x
2
13*2
dxe
2
x 2 =
2
1.3.5
2
1
2
1
2
1.3.5
22
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
22
1
2
1
2
7
22
1
2
1
2
1
3
22
1
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3




































 
Logo, o 6º. momento da distribuição com função densidade de probabilidade é 2*
2
1.3.5
=15 =5!!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
EXEMPLO 3: Para o cálculo do 8º. momento, 2m=8 , m=4.
 


0
x
2
14*2
dxe
2
x 2 =
2
1.3.5.7
2
1
2
1
2
1.3.5.7
22
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
2
7
22
1
2
1
2
9
22
1
2
1
2
14
22
1
4
4
2
14
2
14
2
14






































 
Logo, o 8º. momento da distribuição com função densidade de probabilidade é 2*
2
1.3.5.7 =15 
=3!!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
FINAL DA PROVA DO TEOREMA 3
A a expressão de um momento não central de ordem 2m da função densidade 
2
1m
'
m2
2
1
2
1m
22
12









 =
2
1m
2
1
2
1m2
22
2






 
 =
2
1m
2
1
1
2
1m2
22
2









 =
2
1
m
2
1
m
2
1
m
2
1
2
)1m2(m2
..
2
3m2
2
1m2
2
1 
2
1
1
2
3m2
2
1m2
22
2 
2
1
2
1m2
2
1m2
22
2






 

 

 











 







 

 

A EXPRESSÃO 

 
2
1m2
 no numerador de ' m2 pode ser decomposta no produto
 de 


2
1
 por m fatores do tipo 

 
2
jm2
 para j ímpar desde 1 até (2m-1), dividido pela 
potência m-ésima de 2 ( isto é, 2m). Há o cancelamento de 


2
1
 do numerador com  no 
denominador de modo que ' m2 é o produto dos números ímpares de 1 até (2m-1) que é conhecido
como ((2m-1)!! (fatorial duplo)
FIM DA PROVA DO TEOREMA 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Então: '2 =
   
!)!1m2(dxe
2
x2dxe
2
x
0
x
2
1m2x
2
1m2 22










Tabela: Valores dos momentos não centrais de ordem par n=2m da função densidade Normal )1;0 ;x(f
m 1 2 3 4
ordem do 
momento 
n=2m
2 4 6 8
'
n 1'2 
' =3=1*3=3!! ' =15=1*3*5=5!
!
' =105=1*3*5*7=7!
!
 MOMENTOS CENTRAIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Como o primeiro momento 0'1  , o momento central de ordem K dessa 
distribuição K será igual ao momento não central 'K de mesma ordem.