PROVA 1 SOLUÇÕES

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PROVA 1- 152110-A PROBABILIDADE B 11-04-2016
1- Seja 1 { 0,1,2,3,4 } um espaço amostral e A1 a álgebra de subconjuntos de 1
dada por A1={ {0,1}, {2}, {3,4},{0,1,2},{2,3,4} ,{0,1,3,4} ,  , 1 }. Seja P0 a Probabilidade definida em A1 
tal que P0({2})= 3
1
 e P0({3,4})= 9
1
 
a) Encontre os valores de P0(A) para todo subconjunto A de 1 que pertença a A1
Tabela 1-Valores de P0(A) para todo elemento da sigma álgebra A1
j Aj P0(Aj)
1 {0,1}
1-P(A2)-P(A3)= 9
5
2 {2}
3
1
3 {3,4}
9
1
4 {0,1,2}
P(A1)+P(A2)= 9
8
5 {2,3,4}
P(A2)+P(A3)= 9
4
6 { 0,1,3,4 } P(A1)+P(A3)=
3
2
9
6

7 2 1
8  0
b)Se 2 ={ 4,5,6,7 } é outro espaço e A2 ={{4},{7},{5,6}, {4,7},{5,6,7}, { 4,5,6 },  , 2 }é uma 
álgebra de subconjuntos de 2 , analise as funções X e Y definidas em 1 e tomando valores em 2 
especificadas na Tabela 1 abaixo. Construa a Tabela 2 das Imagens inversas por X e por Y dos subconjuntos B 
em A2. Verifique se é possível preencher alguma das duas últimas colunas com os valores em B de uma 
Probabilidade induzida a partir do valor de P0 na imagem inversa de B por cada função (X ou Y). Comente o 
resultado. Tabela 1. Valores das funções X e Y quando u toma valores em 1
u 0 1 2 3 4
X(u) 6 6 7 5 6
Y(u) 6 5 4 7 7
Tabela 2 Imagens inversas por X e por Y dos subconjuntos B em A2 e (possíveis) valores PX(B) e PY(B)
B X-1(B) Y-1(B) PX(B) PY(B)
{4}  {2} 0
3
1
{7} {2} {3,4}
3
1
9
1
{5,6} {0,1,3,4} {0,1}
3
2
9
5
{4,7} {2} {2,3,4}
3
1
9
4
A prova 1 teve diversas versões tendo exercícios semelhantes mas com argumentos diferentes.
Duas versões diferentes do exercício 1 são aqui resolvidas porque em uma delas a função X não tem 
possibilidade de criar uma probabilidade na sigma álgebra 2
{5,6,7} {2,3,4} {0,1,3,4}
9
4
3
2
{ 4,5,6 } {0,1,3,4} {0,1,2}
3
2
9
8
2 1 1 1 1
   0 0
1- OUTRO EXEMPLO DO EXERCÍCIO 1.
Seja 1 { 0,1,2,3,4 } um espaço amostral e A1 a álgebra de subconjuntos de 1
dada por A1={ {0,1}, {2}, {3,4},{0,1,2},{2,3,4} ,{0,1,3,4} ,  , 1 }. Seja P0 a Probabilidade definida em A1 
tal que P0({2})= 9
1
 e P0({3,4})= 9
1
Aj P(Aj)
1 {0,1} 1-P(A2)-P(A3)=
9
7
2 {2}
9
1
3 {3,4}
9
1
4 {0,1,2}
P(A1)+P(A2)= 9
8
5 {2,3,4}
P(A2)+P(A3)= 9
2
6 { 0,1,3,4 }
P(A1)+P(A3)= 9
8
7 2
8 
 Encontre os valores de P0(A) para todo subconjunto A de 1 que pertença a A1.
Se 2 ={ 4,5,6,7 } é outro espaço e A2 ={{4},{7},{5,6}, {4,7},{5,6,7}, { 4,5,6 },  , 2 }é uma álgebra 
de subconjuntos de 2 , analise as funções X e Y definidas em 1 e tomando valores em 2 
especificadas na Tabela 1 abaixo. Construa a Tabela 2 das Imagens inversas por X e por Y dos subconjuntos B 
em A2. Verifique se é possível preencher alguma das duas últimas colunas com os valores em B de uma 
Probabilidade induzida a partir do valor de P0 na imagem inversa de B por cada função (X ou Y). Comente o 
resultado.
Tabela 1. Valores das funções X e Y quando u toma valores em 1
u 0 1 2 3 4
X(u) 4 6 7 5 5
Y(u) 7 7 5 4 4
Tabela 2 Imagens inversas por X e por Y dos subconjuntos B em A2 e (possíveis) valores PX(B) e PY(B)
B X-1(B) Y-1(B) PX(B) PY(B)
{4} {0} 1 {3,4} não existe
9
1
{7} {2} {0,1}
9
7
{5,6} {1,3,4} {2}
9
1
{4,7} {0,2} {0,1,3,4}
9
8
{5,6,7} {1,2,3,4} {0,1,2}
9
8
{ 4,5,6 } {0,1,3,4} {2,3,4}
9
2
9
1
9
1

2 1 1 1
   0
2-1Se F(x) for uma Função Distribuição Acumulada verifique se a seguinte função também é:
 32 ))x(F2(
)x(F)x(F

 ;
Observação: Faça a prova admitindo que F(x) seja do tipo absolutamente continuo, possuindo uma função
densidade de probabilidade dada por 
x
)x(F)x(f


 .
Prova: a) Como F(x) é uma Função Distribuição Acumulada,ela satisfaz 0<=F(x)<=1. 
Então, o numerador de F2(x) é positivo porque F(x)>=0 e o denominador de F2(x) é positivo( porque
F(x)<=1 e portanto 2-F(x)>0). Logo o quociente 32 ))x(F2(
)x(F)x(F

 é sempre positivo.
b) Então, o numerador de F2(x) é ≤ 1 porque F(x) ≤1.
O denominador de F2(x) é≥ 1 porque 2-F(x) ≥2-1=1. 
Então como F(x) é menor ou igual a 1,o quociente 32 ))x(F2(
)x(F)x(F

 é a divisão de um número
menor ou igual a 1 por um número maior ou igual a 1. Portanto F2(x) é menor ou igual a 1.
c) A derivada da Função F2(x) é desenvolvida abaixo:
x
)x(F
)x(f 22 

 =
))x(F2(
)x(f5)x(f))x(F
))x(F2(
)x(f3)x(f))x(F2(
))x(F2(
))x(f())x(F2(3)x(f))x(F2(
3
23








O denominador de f2(x) é sempre positivo porque F(x)≤2.
O numerador de f2(x) pode ser escrito como )x(f5)x(f))x(F  que também é sempre positivo!
Portanto 
x
)x(F
)x(f 22 

 é sempre positiva.
d)Os limites de F2(x) quando x tende para -∞ e ∞ satisfazem as igualdades abaixo:
 02
0limlim 32 ))x(F2(
)x(F
)x(F
x
x
 



 e
1
1
1limlim 32 ))x(F2(
)x(F
)x(F
x
x
 



PORTANTO, F2(x) É UMA NOVA FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA!!!!
2-2 Se F2(x) definir uma nova Função Distribuição Acumulada, mostre o que seriam F2(x) se a) F(x)=x se
0<x<1 ;F(x)=0 se x ≤ 0 ;F(x)=1 se x≥1; b) F(x)= 1-e-0.5x se x≥0 e F(x)=0 se x ≤0.
a) ;)x(I
)x2(
)x(
)x(F ]]1,0[32

 1 xse 1(x)F e 0 xse 0)x(F 22 
b) 0sex
)e2(
)e1(
)x(F
3x5,0
x5,0
2 





 0 xse 0)x(F2 
 3. Multiplique f0(x) por uma constante C se f0(x) = xa-1(1-x) b-1 I [0,1)(x) de modo que f(x)= Cf0(x) se torne
uma função densuidade de probabilidade com suporte no intervalo (0, 1) . Calcule a Função Distribuição
Acumulada e o momento central de ordem p da distribuição de probabilidade.
a b p
3 3 3
a)
     
 
)!1ba(
)!1b()!1a(
!5
!2!2
60
2
5*4*3
1215*220
5
1
4
12
3
1dxx1xA
5
x
4
x
2
3
x
dxxx2xdxxx21xdxx1xA
1
0
22
1
0
543
1
0
4321
0
221
0
22








 
Então f(x) =C f0(x) se C= 
30
60
2
1
!5
!2!2
1

 
Logo f(x) =30 x3-1(1-x) 3-1 I [0,1)(x)= )!1b()!1a(
)!1ba(


 x3-1(1-x) 3-1 I [0,1)(x)
b) F(x) = 30 543
543x
0
543
x6x15x10
5
x
4
x2
3
x30
5
t
4
t2
3
t
 se 0≤<x≤1
 F(x)=0 se x<0 e F(x)=1 se x>1.
b)Momento Central de ordem p=3
b1- Momentos não centrais de ordens 1,2,3 desta distribuição Beta.
       10 2310 2310 22'1 dxx1x30dxx1x30dxx1x30(x
A integral poderá ser obtida se for observado que a função integranda é ao menos de uma constante 
adequada, a integral de uma função densidade Beta de parâmetros a=4 e b=3.
 A constante conveniente para isso seria 6012
720
!2!3
!6
)!13()!14(
)!134(



.
Forçando obter uma integral de uma função Beta, multiplica-se e divide-se a integral em
   10 231 dxx1x30 por 60:
Então:     2
1
1*
60
30
dxx1x60
60
1
30 10
23''
1
O que foi feito então para obter '1 ? 
i) escreveu-se a definição de 11 em termos de uma integral. (ainda a=4 e b=3
   
 
6
3
ba
a
1*
)!1b1a(
)!1b()!11a(
)!1b()!1a(
)!1ba(
dxx1x
)!1b()!11a(
)!1b1a(
)!1b1a(
)!1b()!11a(
)!1b()!1a(
)!1ba(
dxx1x
)!1b()!1a(
)!1ba(
dxx1x
)!1b()!1a(
)!1ba(
x
1
0
23
1
0
231
0
22'
1
























Da mesma forma deduz-se que 
     
2857143.0
)1b(b
)1a(a
7*6
4*3
5*6*7
60
*!4*5*6*7
!2!4*30
!7
!2!4
30dxx1x
!2!4
!7
!7
!2!4
30dxx1x30dxx1x30(x 10
241
0
241
0
222'
2




      
0.1785714 
)2b)(1b(b
)2a)(1a(a
8*7*6
5*4*3
6*7*8
60
!5*6*7*8
!2!5*30
!8
!2!5
30dxx1x
!2!5
!8
!8
!2!5
30dxx1x30dxx1x30(x 10
251
0
251
0
223'
3




 
O momento central de 3ª ordem da distribuição Beta(3,3) é dado por:
 32'1'2'33 )(3)(3)( 8*7*6
5*4*3 -
3
32
6*7*8
56*278*7*8148*10836*60
6
3
6
3
6
33
6
3
7*6
4*3*3 






3 =(2160-5184+4536-1512)/(8*7*63)=0
4. Multiplique g0(x) por uma constante K conveniente sendo g0(x) = xA-1e –Bx I [0,∞)(x) de modo que f(x)= 
Kg0(x) se torne uma função densidade de probabilidade com suporte no intervalo (0, ∞) . Calcule a Função 
Distribuição Acumulada e o momento central de ordem j.
A B j
2 4 4
a) Cálculo da constante K
dxedv ex u tomandopartes,por integração feita sido tendo
16
10
16
e
4
exdx
4
e
4
exdxxeA
4x-
0
x4
0
x4
0
x4
0
x4
0
x4































 
Então K=16 e f(x)= 16 x4xe I[0,∞)(x)
Observar que a constante K satisfaz a igualdade: 
)A(
B
)!1A(
B
)!12(
416
AA2






b) Função Distribuição Acumulada
F(x)=0 se x<0.
Se x>=0,F(x) é dada abaixo:
dxedv ex u tomandopartes,por integração feita sido tendo;0parax(
xe4e11
16
e
16
4
e
x16
16
e
16
4
e
t16dtte16)x(F
4x-
x4x4
x4x4x
0
t4
x
0
t4
x
0
t4

















c)Momento central de ordem 4.
Para calcular o momento central de ordem 4, pode-se utilizar sua relação com os momentos não centrasi de
ordem até 4.
c1- Momentos não centrais de ordens 1,2,3 e 4 desta distribuição Gama ( 4,2  ).
          424 )!13()!12( 4dxex)!13( 44 )!13()!12( 4dxex16dxxe16x 3
2
0
x42
3
30
2
x42
0
x4'
1
A integral foi obtida observando que a função integranda é ao menos de uma constante adequada, a 
integral de uma função densidade Gama de parâmetros alfa=3 e beta=4.
 A constante conveniente para isso seria 34
)!13( 
 .
Forçando obter uma integral de uma função Gama, multiplica-se e divide-se a integral em
      0 x420 x4'1 dxex16dxxe16x por 34
)!13( 
:
          424 )!13()!12( 4dxex)!13( 44 )!13()!12( 4dxex16dxxe16x 3
2
0
x42
3
30
2
x42
0
x4'
1
Da mesma forma deduz-se que 
 '2 










       224
2
0
x43
4
4
2
0
x43
0
x43
0
x42 )1(
4
3*2
4
)!14(
)!12(
4dxex
)!14(
4
4
)!14(
)!12(
4dxex16dxe16xdxxe16x
 '3 










      335
2
0
x44
5
5
2
0
x44
0
x43 )2)(1(
4
4*3*2
4
)!15(
)!12(
4dxex
)!15(
4
4
)!15(
)!12(
4dxex16dxxe16x
 '4 










      446
2
0
x44
6
6
2
0
x45
0
x44 )3)(2)(1(
4
5*4*3*2
4
)!16(
)!12(
4dxex
)!16(
4
4
)!16(
)!12(
4dxex16dxxe16x
O momento central de 4ª ordem da distribuição Gama(2,4) é dado por:
 43'12'2'3'4 )()(46)(4)(4
32
3
64
6
256
24
4
48144192120
4
23
4
4*3*26
4
2*24*4
4
120
4
4
444





 =0.09375
5-Uma probabilidade P em (R, B) tem Função Distribuição Acumulada dada por: F(x)=0 se x ≤0; 
F(x)= 6x2 − 8x3 + 3x4 se 0 ≤x≤1 e F(x)=1 se x≥1
Seja A= (-∞, 0.5); B=(0.3, ∞) . Determine P(A|B);Se ))x(F2)(x(F)x(F2  for a Função Distribuição
acumulada referente a uma probabilidade P* no espaço (R, B), determine P*(A|B).
OBSERVAÇÃO: ))x(F2)(x(F)x(F2  TEM DERIVADA em relação a x dada por
x
)x(F
)x(f 22 

 =2f(x)-2F(x)f(x)=2f(x)(1-F(x)). Logo 0)x(f 2  . Então F2(x) é crescente.
éumaFDA)x(porqueF0limlim ))x(F2)(x(F)x(F
xx
2 

 e
1)x(F2)(x(F)x(F
xx
limlim 2 

 porque F(x) é uma FDA. Então F2(x) também
é uma FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO Acumulada.
f(x)= 12x − 24x2 + 12x3 com suporte em (0,1)
 f(x)=12x(1- 2x+x2) logo alfa=2 e beta=3
P(A)=F(0.5)=0.6875
F(0.3)= 0.3483
P(B)=1-F(0.3)=1-0.3483=0.6517
P(A∩B)=F(0.5)-F(0.3)=0.3392
6517.0
3392.0
)B|A(P  =0.5204849
P*(A)=0.6875*(2-0.6875)= 0.9023438
F2(0.3)= 0.3483*(2-0.3483)= 0.5752871
F2(0.5)= 0.6875*(2-0.6875)= 0.6875*1.3125=0.9023438
P*(B)=1-F2(0.3)=1-0.5752871=0.4247129
P*(A∩B)=F2(0.5)-F2(0.3)= 0.9023438-0.5752871=0.3270567
4247129.0
3270567.0
)B|A(*P  =0.7700654