lista 1

Prévia do material em texto

Func¸o˜es Vetoriais, Limites e Derivadas Parciais de FVV
1. Esboc¸ar a trajeto´ria de uma part´ıcula P, sabendo que seu movimento e´ descrito por
a) ~f(t) = t~i+ (2t2 − 1)~j.
b) ~f(t) = 2t
~i+ 2t+1
~j.
c) ~f(t) = ln t~i+ t~j + ~k, t > 0.
2. Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 2t~i+~j − 3t2~k. Calcular:
a) lim
t→1
[~f(t) + ~g(t)] Resp: (3, 3)
b) lim
t→1
[3~f(t)− 1
2
~g(t)] Resp: (2, 112 ,
21
2 )
c) lim
t→1
[~f(t).~g(t)] Resp: −5
d) lim
t→1
[~f(t)× ~g(t)] Resp: (−9, 9,−3)
e) lim
t→1
[(t+ 1)~f(t)] Resp: (2, 4, 6)
3. Calcular os seguintes limites de func¸o˜es vetoriais:
a) lim
t→pi(cos t
~i+ t2~j − 5~k) Resp: (−1, pi2,−5)
b) lim
t→1
(√
t− 1
t− 1
~i+ (t− 1)~j + (t+ 1)~k
)
Resp: ( 12 , 0, 2)
4. Calcular o limite e analisar a continuidade da func¸a˜o
~f(t) =
{ |t−3|
t−3 ~i+ t
2~j, se t 6= 3
0, se t = 3
em t = 0 e t = 3. Resp: cont´ınua em t = 0 e na˜o cont´ınua em t = 3.
5. Indicar o intervalo de cont´ınuidade das seguintes func¸o˜es:
a) ~f(t) = 1t
~i+ (t2 − 1)~j + et~k
b) ~h(t) = ln(t+ 1)~i+ 1t
~j + t~k
6. Encontrar a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa pelo ponto A(−2, 2, 1) na direc¸a˜o do vetor
~b = 3~i−~j + 4~k
7. Determinar a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa pelos pontos A(2, 1,−4) e B = (−5, 3, 0)
8. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica da curva x2 + y2 = 16.
9. Determinar a equac¸a˜o parame´trica da reta dada por 2x − 5y + z = 4 e y − x = 4. Resp:
t~i+ (4 + t)~j + (24 + 3t)~k
10. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica da circunfereˆncia x2 + y2 − 6x+ 8y = 0.
11. Determinar a equac¸a˜o parame´trica elipse 3x2 + y2 = 5.
12. Determinar a equac¸a˜o parame´trica he´lice x2 + y2 = 16, z = t2 , t ∈ [0, 2pi]
13. Determinar a derivada das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a) ~f(t) = cos3t~i+ tg t~j + sen2t~k
b) ~f(t) = e−t~i+ e−2t~j + ~k
c) ~h(t) = 5t−22t+1~i+ ln(1− t2)~j + 5~k
14. Determinar um vetor tangente a` curva definida pela func¸a˜o ~f(t) = (t, t2, t3) no ponto P (−1, 1,−1)
(Ver exemplo 2 pagina 50, Ca´lculo B, Diva Flemming e Mirian Gonc¸alves). Resp: (1,−2, 3)
2
15. Determinar o vetor velocidade e acelerac¸a˜o da func¸a˜o ~r(t) = 2 cos t~i+ 5 sen t~j + 3~k no instante
t = pi4 e calcule o mo´dulo desses vetores.
16. Calcule a integral das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a)
1∫
0
(16t3~i− 9t2~j + 25t4~k)dt
b)
1∫
0
(
4
1 + t2
~j +
2t
1 + t2
~k
)
dt
17. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a) ~r(t) = (etcos t, etsen t, et), 0 ≤ t ≤ 1 Resp: √3(e− 1)
b) ~r(t) = (sen t2 , cos
t
2 , 2t >, t ∈ [0, 2pi] Resp:
√
17pi
18. Encontre a curvatura de ~r(t) = 3t~i+ 4sen t~j + 4cos t~k.
19. Determinar o domı´nio e a imagem das func¸o˜es:
a) z = 3− x− y
b) z =
√
9− (x2 + y2)
c) w = ex
2+y2+z2
e) z = xy
f) z = 1√
x2−y2
20. Encontre as curvas de n´ıvel Ck da func¸a˜o z = x
2 − y2 para os valores k = 0, 1, 2.
21. Utilizando a definic¸a˜o de limites, mostre que lim
(x,y)→(−1,2)
(5x− 2y) = −9.
22. Identificar quais dos conjuntos sa˜o bolas abertas ou fechadas, determinando o centro e o raio.
a) x2 + y2 − 2y < 3
b) x2 + y2 + z2 + 6z ≤ 0
c) x2 + y2 − 1 > 0
23. Calcule o limite das seguintes func¸o˜es:
a) lim
(x,y)→(0,4)
x√
y
b) lim
(x,y)→(pi2 ,0)
cos y + 1
y − senx
c) lim
(x,y)→(1,1)
x2 − 2xy + y2
x− y
d) lim
(x,y)→(pi,pi2 )
sen(x+ y)√
x
e) lim
(x,y)→(0,0)
√
x+ 3−√3
xy + x
Resp: (
√
3
6 )
24. Verifique se o limite das seguintes func¸o˜es existem:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x− y
2x+ y
b) lim
(x,y)→(0,0)
2x√
x2 + y2
25. Verifique se as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
a) f(x, y) = sen(x+ y) Resp: Sim
3
b)
f(x, y) =

y4 + 3x2y2 + 2x3y
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
no ponto P (0, 0). Resp: Na˜o
26. Determinar os limites das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a) ~f(x, y, z) =
(
x2 + y2,
xy
z
,
x− 2
x2 − 4
)
; ~r0 = (2, 1, 1) Resp: (5, 2,
1
4 )
b) ~f(x, y, z) =
(
ex,
seny
y
, x+ y + z
)
; ~r0 = (1, 0,
1
2 ) Resp: (e, 1,
3
2 )
27. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
a) z =
√
xy
b) f(x, y) = exy
2
Resp: 2xyex
2y, x2ex
2y
c) f(x, y) = xcos(y − x) Resp: xsen(y − x) + cos(y − x),−xsen(y − x)
d) z =
x2 − y2
x2 + y2
Resp: 4xy
2
x2+y2 ,
−4x2y
x2+y2
e) f(x, y) = ex
2+y2−4 Resp: 2xex
2+y2−4, 2yex
2+y2−4
f) f(x, y, z) =
1
z
ln(x2 + y2) Resp: 2xz(x2+y2) ,
2y
z(x2+y2) ,
−1
z2 ln(x
2 + y2)
28. Verificar se as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis na origem
a) f(x, y) =
√
x
2
3 + y
2
3 Resp: Na˜o
b) f(x, y) = x+ y Resp: Sim
c)
f(x, y) =

1
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Resp: Na˜o
29. Determinar o plano tangente das seguintes func¸o˜es nos pontos indicados:
a) f(x, y) =
1√
x2 + y2
, P1(1, 1,
√
2
2 ) e P2(0, 1, 1) Resp: x+ y + 2
√
2z = 4, y + z = 2
b) z = xy, P1(0, 0, 0) e P2(1, 1, 1) Resp: z = 0, x+ y − z = 1
30. Determinar o vetor gradiente e a reta tangente no ponto dado:
a) z = x
√
x2 + y2;P (1, 1)
b) z = xy − sen(x+ y);P (pi/2, 0)
31. Calcular a diferencial das seguintes func¸o˜es:
a) z = sen2(x+ y) Resp: 2sen(x+ y)cos(x+ y)dx+ 2sen(x+ y)cos(x+ y)dy
b) w = exyz − xy Resp: (yzexyz − y)dx+ (xzexyz − x)dy + xyexyzdz
32. Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz com uma aproximac¸a˜o do acre´scimo
∆z da func¸a˜o z =
√
x2 + y2 com (x, y) passando de (1, 2) para (1, 01; 2, 01). Resp: 5x10−6.