Aula-11-12

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Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema12/06/2010
Cálculo I – Módulo 2
Integrais
Prof. Dra. Karen de Lolo G. Paulino
klgpaulino@gmail.com
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema12/06/2010
Aplicações de integração ... Volumes
Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da 
secção transversal de S no plano Px, passando por x e 
perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função 
contínua, então o volume de S é



n
i
i
n
b
a
xxAdxxAV
1
).(lim)(
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Volumes ... Exercícios
1. Mostre que o volume da 
esfera de raio r é 
3
3
4
rV 
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Volumes ... Exercícios
2. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em 
torno do eixo x da região sob a curva 
de 0 até 1. Faça o esboço do gráfico.
xy 
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Volumes ... Exercícios
2. 
V = π/2
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Volumes ... Exercícios
2. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da 
região limitada por y = x3 , y = 8 e x = 0 em torno do 
eixo y. Faça o esboço do gráfico.
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Volumes ... Exercícios
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Volumes ... Exercícios
4. Encontre o volume do sólido resultante da região 
limitada pelas curvas y = x , y = x2 girada em torno do 
eixo x. Faça o esboço do gráfico.
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Volumes ... Exercícios
V = 2 π/15
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Técnicas de Integração … Integração por partes
dtetdxxdxsenxx t
2.3ln.2.1
:Exemplos
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Técnicas de Integração … Integração por partes


1
0
1 dxxtg
Exemplos – Integração definida por partes
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Demonstre a fórmula de redução

  xdxsen
n
n
xxsen
n
xdxsen nnn 21
1
cos
1
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Técnicas de Integração … Integração por partes
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Técnicas de Integração … Integração por partes
LISTA 3
LISTA 3
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Técnicas de Integração … Integração por partes
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3ª Lista de exercício – entrega dia 17/06
Capítulo 6 – áreas e volumes
p. 395 – ex. 13 e 15
p. 405 – ex. 3 e 5
Capítulo 7 – Integral por partes
p. 432 – ex. 9 e17