Análise Combinatória

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Análise Combinatória
A análise combinatória é a área da matemática que direciona-se ao processo de contagem de elementos em determinados conjuntos.
EXEMPLO: Quantos elementos de dois algarismos distintos podemos formar com os números 1, 2 e 3?
A={12, 13, 21, 23, 31, 32}, ou seja, #A=6
• No exemplo anterior temos um conjunto pequeno com a formação, a partir de seus elementos, de duplas de algarismos
 Entretanto, poderíamos ter situações um pouco mais complexas
EXEMPLO: Quantos elementos de três algarismos distintos podemos formar com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
Princípio Fundamental da Contagem
1. Sejam os conjuntos A={a1, a2, a3, ..., am} e B={b1, b2, b3, ..., bn}. O número de pares ordenados (ai, bj) que podem ser formados com aiA e bjB é m • n 
Exemplo: Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
 Pelo primeiro princípio de contagem temos 2 • 2 • 2 =8. Se considerarmos K=cara e C=coroa temos: (K,K,K), (K,K,C), (K,C,K), (K,C,C), (C,K,K), (C,K,C), (C,C,K), (C,C,C)
Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir? 
Os esquemas representam todas as possíveis combinações envolvendo os objetos do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe: 
4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações. 
Permutação Simples
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um numero maior que 1.
Pn = n!
Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos determinar os anagramas da palavra AMOR. 
A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto: número maior que 1.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras
Arranjos simples
Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. 
Os números 12345 e 54321 são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples. 
A n,p =   n! 
           (n – p)! 
n é a quantidade de elementos do conjunto. 
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos.
Assim, podemos definir arranjo simples como sendo: 
Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer seqüência formada por p elementos do conjunto.