Lista de Exercícios Sistemas Lineares

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Álgebra Linear
Lista de Exercícios n◦1
1. Quais dos seguintes sistemas são sistemas de equações lineares? Justifique.
(a)
5x1+ x2+ x3 = 1
10x1− x3 = 0
x1+ x2 = 4
(b)
x1x2+ x3 = x1
x1x3 = 1
(c)
ln(4)x1+ sen(3pi)x2 = cos
(
1
2
)
e2x1+
√
11x3 = 0
Determine a solução dos sistemas de equações lineares.
2. Determine a solução do seguinte sistema de equações lineares
3x1+2x2+ x3 = 10,
x1− x2+ x3 = 2,
2x1+ x2 = 4.
Este sistema tem solução única? Justifique.
3. Use o método de Gauss-Jordan para resolver o seguinte sistema de equações. Quantos parâmetros
tem a solução? Qual é o posto da matriz dos coeficientes?
x1−2x2+ x3+ x4−2x5 = 2
3x1+2x2−2x3+2x4− x5 = 3
2x1+4x2−3x3+ x4+ x5 = 1
4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
x1−2x2+2x3 = 3,
3x1+αx2− x3 = 4,
2x1+4x2−3x3 = β.
1
(a) Determine todas as soluções do sistema para α = 2 e β = 1.
(b) Determine todas as soluções do sistema para α = 3 e β = 1.
(c) Determine todas as soluções do sistema para α = β = 2.
(d) Quantas soluções existem para α 6= 2 e para qualquer valor de β?
Façam também os exercícios 1, 3, 5, 6, 7 e 9 (da seção 2.6, pág. 49) do livro J. L. Boldrini et al., Álgebra
Linear, 3a ed., São Paulo: Harper & Row, 1980.
Soluções
1. (a) Sistema de equações lineares, cuja solução é (x1,x2,x3) =
(− 314 , 5914 ,−157 ). 1. (b) Não é um sistema
de equações lineares. 1. (c) Sistema de equações lineares, cuja solução é
(
cos (1/2)
ln(4) , t,−
e2 cos (1/2)
ln(4)
√
11
)
, t ∈ R.
2. Este sistema tem solução única: (x1,x2,x3) = (1,2,3). 3. O posto da matriz dos coeficientes é 3. A
solução é
(x1,x2,x3,x4,x5) =
(
5
4
,−3
8
,0,0,0
)
+a
(
1
4
,
5
8
,1,0,0
)
+b
(
−3
4
,
1
8
,0,1,0
)
+ c
(
3
4
,−5
8
,0,0,1
)
, a,b,c ∈ R.
Esta solução tem 3 parâmetros. 4. (a) (x1,x2,x3) =
(7
4 ,−58 ,0
)
+ t
(−14 , 78 ,1) , t ∈ R.
4. (b) (x1,x2,x3) =
(11
7 ,0,
5
7
)
4. (c) Não tem soluções. 4. (d) O sistema tem infinitas soluções.
2