Aplicação em Problema de Mistura

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Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará 
Instituto de Geociências e Engenharias 
Faculdade de Engenharia de Materiais 
Curso de Engenharia Mecânica 
Determinação da quantidade de massa de sal dissolvida em água 
em função do tempo 
 
Roberto N. da S. Gonçalves1 Adriano Souza da Costa2 
21 de março de 2016 
 
 
Resumo 
 
Com o conhecimento intermediário em cálculo diferencial e integral, neste artigo é feita a 
aplicação da solução de um problema de misturas determinando seus parâmetros através das 
equações diferenciais ordinárias lineares. É apresentado a metodologia da modelagem matemática de 
um fenômeno físico envolvendo mistura dos componentes sal e água, determinando a quantidade de 
massa dentro de um tanque de misturas envolvendo taxas de variação de entrada e saída de 
concentração salina. 
 
Palavras-chave: modelagem, taxa de variação, mistura, equações diferenciais. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A modelagem matemática é a área que estuda a simulação de sistemas ou 
fenômenos a fim de prever seu comportamento, sendo empregada principalmente nas áreas 
da Física, Química, Biologia, Mecânica e em outras diversas áreas da ciência. Uma razão 
para isso é que os modelos matemáticos e suas soluções levam às equações que relacionam 
as variáveis com os parâmetros do problema (BOYCE et al, 2010). Isso é válido porque essas 
equações permitem fazer previsões naturais de como os processos reagem diante de 
circunstancias e sob os parâmetros de estudo que regem o problema, por isso os princípios, 
as leis ou relações são expressas em forma de taxa de variação, isto é, por meio de 
diferenciais. 
Desta forma, para compreender e investigar problemas que envolvem o 
movimento de fluídos, corrente elétrica em circuitos, crescimento populacional, entre outros, 
é necessário ter conhecimento do cálculo diferencial e integral, (BOYCE et al, 2006). Visto 
que este estudo pode ser aplicável na química, principalmente na determinação da taxa de 
resfriamento, decaimento radiativo, misturas, etc. 
A modelagem matemática e a experimentação são importantes por exercer uma 
vasta influência nas investigações de cunho cientifico, uma vez que podem ser validos para a 
comparação com os resultados experimentais, (ZILL, 2003). Além disso, os paramentos 
podem ser variados em diversos intervalos, o que pode minimizar gastos e ampliar a eficiência 
do procedimento experimental (CARVALHO, 2011). No entanto, para garantir a eficiência dos 
resultados, é bastante interessante que haja uma comparação de resultados dos modelos 
matemáticos e experimentais. 
Por fim, é valido destacar que as equações diferenciais lineares obtidas na 
modelagem de um problema de misturas podem ser solucionadas de forma manual ou 
computacional, no entanto, neste trabalho serão resolvidas apenas manualmente. 
 
 
1.1. Modelagem matemática de uma mistura 
 
1Graduando de Engenharia Mecânica (FEMAT/IGE/Unifesspa). E-mail: robertonsg@unifesspa.edu.br. 
2Graduando de Engenharia Mecânica (FEMAT/IGE/Unifesspa). E-mail: adriano321souza@gmail.com. 
 
Geralmente as modelagens matemáticas envolvendo fenômenos químicos é 
originada de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e não é diferente para 
problemas de concentração quando se deseja determinar a quantidade de um produto contida 
em uma mistura. Na grande maioria, e neste caso, envolve-se taxa de variação da quantidade 
de massa m em função do tempo t. 
 
 
1.2. Determinação da quantidade de massa em função do tempo 
 
Para a determinação da quantidade de massa em função do tempo t como 
parâmetro, será considerado que os componentes da mistura (água e sal) são homogêneos 
para facilitar a modelagem. A partir disso, deseja-se também observar a taxa de variação da 
concentração de sal em um tempo arbitrário. 
Num instante inicial t = 0, em minutos, um tanque de misturas com capacidade de 80 
L, como na Figura 1, contém 25 g de sal dissolvidos em 50 L de água. Também é injetado, 
por uma tubulação de entrada, a concentração de 4 g de sal por litro de água à uma taxa de 
2 litros por minuto. Quando a solução dentro do tanque estiver misturada, esta será drenada 
para fora do tanque com a mesma taxa de entrada, mantendo constante a quantidade de 50 
L dentro do tanque. 
O objetivo deste trabalho é a determinar a quantidade de massa m de sal dentro do 
tanque depois de um tempo. Será denotado m(t) como a quantidade de sal, em gramas, dentro 
do tanque em qualquer tempo arbitrário t em minutos. 
 
 
Figura 1. Ilustração do tanque contendo a solução de salmoura 
 
 
2. MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
Para o desenvolvimento da modelagem matemática, são definidas algumas 
propriedades para o relacionamento das taxas e fluxos. A definição das taxas de entrada e 
saída da solução corresponde a uma regra da cadeia do fluxo com a concentração dada pela 
equação abaixo. 
taxa (g min⁄ ) = fluxo (L min⁄ ) × concentração (g L⁄ ). 
Supõem-se que o sal dentro do tanque não é criado e nem destruído, então se 
observa que a quantidade de massa m(t) depende apenas da diferença das taxas de entrada 
e de saída ambas em função do tempo. Denotando dm(t)/dt como a taxa de variação de sal 
dentro do tanque, tem-se que: 
dm(t)
dt
= taxa de entrada − taxa de saída. (1) 
Reescrevendo em termos de notação de derivadas 
𝑑m
𝑑t
=
𝑑V
𝑑t
𝑑m
𝑑Ventrada
−
𝑑V
𝑑t
𝑑m
𝑑Vsaída
 (2) 
 
𝑑V
𝑑t
𝑑m
𝑑Ventrada
= 2 L min⁄ ∙
4 g
L⁄ =
8 g
min⁄ (3) 
 
𝑑V
𝑑t
𝑑m
𝑑Vsaída
=
2 L
min
∙
m(t)
50 L
=
𝑚(𝑡)
25
g
min⁄ (4) 
 
dm
dt
= 8 −
m(t)
25
. (5) 
Rearranjando a Eq. (5) em formato de uma equação diferencial de variáveis separáveis e 
integrando ambos os lados, 
∫
1
𝑚 − 200
𝑑𝑚 = −
1
25
∫ 𝑑𝑡 (6) 
Tem-se 
𝑙𝑛|m − 200| = −
t
25
+ C1. (7) 
Aplicando a propriedade de exponencial na Eq. (7), 
𝑒ln|𝑚−200| = e−
t
25+C1 . (8) 
Rearranjando a Eq. (8), 
m = 200 + e−
t
25eC1 , (9) 
Substituindo eC1 = C, tem-se a Eq. (10) a representação solução geral do problema. 
 
m(t) = C𝑒−
t
25 + 200, (10) 
No problema, a condição inicial dada era de que no início da contagem o tanque 
possuía 25 g de sal. Obteve-se então a solução particular da modelagem adotando-se t = 0 
e m(0) = 25 para se obter C = –175. Logo, a Eq. (11), 
m(t) = 200−175𝑒−
t
25, (11) 
É dada como a solução particular do problema. 
 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Com as equações Eq. (10) e Eq. (11) obtidas, é possível obter a plotagem de gráficos 
que representem as famílias de soluções com os valores de C arbitrários e a solução particular 
estimada através da condição inicial. O gráfico (1) apresenta cinco curvas que representam 
um campo vetorial do comportamento da solução quando os valores da constante C fossem 
determinados. No gráfico (2), se é mostrada a função obtida da solução particular, dada pela 
Eq. (11), no qual mostra o comportamento da solução. 
 
Gráfico 1. Família de soluções da massa versus tempo. Plotagem gerada no software Scilab. 
 
 
Gráfico 2. Solução particular da massa versus tempo. Plotagem gerada no software Scilab. 
 
Para efeitos de análise e discussão do modelo, observa-se que o gráfico (1), mostra 
cinco linhas de soluções do problema, independentemente da condição inicial, ou seja, a 
quantidade de sal inicial dentro do tanque no início da contagem, a solução tenderá sempre 
para 200 g de sal. Isto pode ser “provado” aplicando-se limites na função da solução particular 
dada na Eq. (11). As Eq. (12) e Eq. (13) apresentam os resultados dos limites. 
lim
𝑡→∞
[200−175𝑒−
𝑡
25] = 200, t ≥ 0 (12) 
lim
𝑡→0
[200−175𝑒−
t
25] = 25, t ≥ 0 (13) 
Isto é, com o resultado da Eq.(12) igual a 200, que é gramas, independente da 
quantidade inicial da massa de sal dentro do tanque, a quantidade máxima de sal com o tempo 
tendendo ao infinito sempre será de 200 gramas. Na Eq. (13), com o resultado 25, também 
em gramas, se prova que no tempo inicial t = 0, a massa é de 25 g, como dada na condição 
inicial. Portanto, é provado que a Eq. (11) está correta. 
No gráfico (2), onde há somente uma linha, que é a da solução particular, mostra que 
no tempo inicial t = 0, a quantidade de sal m(t) dentro é igual a 25 gramas e a quantidade de 
massa máxima de sal dentro do tanque tenderá também a 200 gramas, dentro dos 50 litros 
de água. Isto também significa que a concentração máxima será de 40 gramas de sal por litro. 
Intuitivamente, isto também significa que quando a mistura alcançar a concentração de 40 
g/L, a mistura estará solidificada, desprezando o fenômeno de que na realidade, depois de 
determinado tempo, não haverá mais taxa de saída pelo encanamento de drenagem devido 
a solução estar praticamente sólida. 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 
Tendo em vista o modelo matemático descrito anteriormente, constata-se que os 
problemas que envolvem taxa de variação podem ser analisados por meio da experimentação 
teórica para que se possa ter todos os parâmetros necessários. Isso deve ser feito de maneira 
criteriosa para que se possa obter resultados práticos eficazes e, além disso, evitar perda de 
material ou até mesmo levar a uma serie de repetição do experimento. Neste problema, 
obteve-se a equação geral e uma solução particular do caso estudado, sendo que utilizou-se 
o tempo inicial para comprovar que dentro do recipiente havia 200 g de sal. 
A solução particular mostrada no gráfico 2, mostra que há um crescimento 
exponencial a partir da quantidade inicial sal presente no tanque no tempo inicial. Visto isso, 
provou-se que a modelagem matemática é de suma importância em problemáticas da 
química. Ademais, este procedimento não deve ser utilizado como uma única fonte para 
determinar parâmetros do problema, pois na própria construção das formulações são 
desprezados muitos outros fatores que podem interferir nos dados, tais como, condições 
climáticas, acidez da água, dentre outros, desta forma, é importante ter todos os parâmetros 
obtidos na modelagem devem ser parecidos com os dados experimentais. Por fim, como 
planejado, todos os resultado e parâmetros foram obtidos manualmente, exceto a solução 
gráfica. 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
[1] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares: problemas de 
valores de contorno. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
[2] CULLEN, M. R.; ZILL, D. G. Equações Diferenciais, 3 ed., Pearson Makron Books, 
São Paulo, 2011. 
[3] ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem, 3 ed., Thomson 
Learning, São Paulo, 2003.