logaritmos

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Anotac¸o˜es sobre Logaritmos .
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
22 de janeiro de 2016
1
Suma´rio
1 Logaritmos 3
1.1 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 ln(ax) = x ln(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 loga(xy) = loga(x) + loga(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 loga(xb) = b loga x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Equac¸o˜es e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Mudanc¸a de base loga(b) =
logc(b)
logc(a)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 logab(y) =
1
b
loga(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Logaritmo e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
Capı´tulo 1
Logaritmos
1.1 Logaritmos e exponenciais
m Definic¸a˜o 1 (Logaritmo). Definimos a func¸a˜o logaritmo ln : R+ → R por
ln(x) =
∫ x
1
1
t
dt
para x > 0.
$ Corola´rio 1. ln(x) e´ deriva´vel pois pelo TFC temos
D
∫ x
1
1
t
dt =
1
x
a func¸a˜o de lei g(t) = 1
t
em [1, x] ou [x, 1] com x > 0, logo podemos aplicar o TFC.
$ Corola´rio 2. ln(x) e´ contı´nua, pois
D
∫ x
1
1
t
dt =
1
x
e´ deriva´vel.
3
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 4
$ Corola´rio 3.
ln(1) =
∫ 1
1
1
t
dt = 0.
$ Corola´rio 4. ln(x) e´ C∞, pois e´ deriva´vel com derivada 1
x
contı´nua em (0,∞)
e todas derivadas desta u´ltima sa˜o continuas e deriva´veis no mesmo intervalo.
b Propriedade 1. ln(x) e´ crescente.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
D
∫ x
1
1
t
dt =
1
x
temos que x > 0 e para ser crescente , devemos ter D ln(x) = 1
x
> 0, multiplicando
por x na˜o alteramos a desigualdade pois x > 0, disso segue 1 > 0 que vale, enta˜o
ln(x) e´ crescente para todos valores de x para os quais ela esta´ definida.
Outra demonstrac¸a˜o, sejam x2, x1 tal que x2 > x1 > 0 temos
ln(x2) − ln(x1) =
∫ x2
1
1
t
dt−
∫ x1
1
1
t
dt =
∫ x2
x1
1
t
dt
como temos t ≤ x2 na integrac¸a˜o, temos x2 ≥ t ⇒ 1
t
≥ 1
x2
integrando de x1 ate´ x2
segue
ln(x2) − ln(x1) =
∫ x2
x1
1
t
dt ≥
∫ x2
x1
1
x2
dt =
1
x2
(x2 − x1) > 0
logo para x2 > x1 temos
ln(x2) > ln(x1)
logo a func¸a˜o e´ crescente.
$ Corola´rio 5. Para x > 1 tem-se ln(x) > 0 por ser integral de uma func¸a˜o
positiva no intervalo [1, x].
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 5
$ Corola´rio 6. ln(x) < 0 quando x ∈ (0, 1) pois∫ x
1
1
t
dt = −
∫ 1
x
1
t
dt
e a integral
1∫
x
1
t
dt e´ positiva.
b Propriedade 2. ln(x) e´ coˆncava.
ê Demonstrac¸a˜o.
Pois sua segunda derivada e´ D(x−1) = (−1)
x2
< 0 logo a func¸a˜o e´ coˆncava.
b Propriedade 3.
ln(x.y) = ln(x) + ln(y).
ê Demonstrac¸a˜o.
ln(x.y) =
∫ xy
1
1
t
dt =
∫ x
1
1
t
dt+
∫ xy
x
1
t
dt = ln(x) +
∫ xy
x
1
t
dt =
na segunda integral fazemos a mudanc¸a de varia´vel t = xs, quando t = x, s = 1 e
com t = xy, s = y, ale´m disso dt
ds
= x, dt = xds
= ln(x) +
∫y
1
x
xs
ds = ln(x) +
∫y
1
1
s
ds = ln(x) + ln(y).
b Propriedade 4. Se (xk)n1 sa˜o nu´mero reais maiores que zero, enta˜o
ln(
n∏
k=1
xk) =
n∑
k=1
ln(xk)
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 o produto e´ vazio e tem valor
1 e temos ln(1) = 0 e a soma e´ vazia logo temos o segundo termo 0. Considerando a
identidade va´lida para n
ln(
n∏
k=1
xk) =
n∑
k=1
ln(xk)
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 6
, vamos provar para n+ 1
ln(
n+1∏
k=1
xk) =
n+1∑
k=1
ln(xk)
ln(
n+1∏
k=1
xk) = ln(
n∏
k=1
xkxn+1) = ln(
n∏
k=1
xk)+ln(xn+1) =
n∑
k=1
ln(xk)+ln(xn+1) =
n+1∑
k=1
ln(xk) .
$ Corola´rio 7 (Poteˆncia natural). Para n natural e x > 0 real vale
ln(xn) = n ln(x).
Pois xn =
n∏
k=1
x, logo temos
ln(
n∏
k=1
x) =
n∑
k=1
ln(x) = ln(x)
n∑
k=1
1 = n ln(x).
$ Corola´rio 8 (Poteˆncia inteira negativa).
0 = ln(1) = ln(xnx−n) = ln(xn) + ln(x−n) = n ln(x) + ln x−n
logo
ln(x−n) = −n ln(x).
$ Corola´rio 9 (Poteˆncia racional). Sendo p e q 6= 0 inteiros
ln(
(
x
p
q
)q
) = q ln(x
p
q ) = ln(xp) = p ln(x)
dividindo por q segue
ln(x
p
q ) =
p
q
ln(x).
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 7
b Propriedade 5.
lim
x→∞ ln(x) =∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos
ln(2n) = n ln(2)
tomando o limite
lim ln(2n) = ln(2) limn =∞
lembrando que ln(2) > 0.
b Propriedade 6.
lim
x→0 ln(x) = −∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia tendendo a zero xn = 2−n
ln(2−n) = −n ln(2)
aplicando o limite
lim ln(2−n) = − ln(2) limn = −∞.
$ Corola´rio 10. A func¸a˜o ln(x) e´ uma bijec¸a˜o contı´nua de R+ em R, ela e´
injetiva por ser crescente e sobrejetiva por ser contı´nua e ilimitada inferiormente
e superiormente.
m Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o exponencial). Definimos a func¸a˜o exponencial R em R+
como sendo a inversa de ln(x).
ex = y⇔ ln(y) = x.
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 8
$ Corola´rio 11. e0 = 1 pois ln(1) = 0.
b Propriedade 7.
D[ex] = ex.
ê Demonstrac¸a˜o.
ln(ex) = x
derivando pela regra da cadeia segue
D(ex)
ex
= 1
D(ex) = ex.
$ Corola´rio 12. D(eax) = aeax pois aplicamos a derivada da composic¸a˜o.
$ Corola´rio 13. Disso segue que ex e´ C∞, convexa e crescente pois Dex = ex
assume valor em R+.
b Propriedade 8. Para a, b ∈ R vale
ea.eb = ea+b.
ê Demonstrac¸a˜o.
ln(ea.eb) = ln(ea) + ln(eb) = a+ b = ln(e(a+b))
com ln e´ injetiva segue que os argumentos da func¸a˜o devem ser iguais
ea.eb = e(a+b).
$ Corola´rio 14. Vale
e
n∑
k=1
xk
=
n∏
k=1
exk
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 9
pois
ln(
n∏
k=1
exk) =
n∑
k=1
ln(exk) =
n∑
k=1
xk = ln(e
n∑
k=1
xk
)
daı´ pela func¸a˜o ser injetiva segue
e
n∑
k=1
xk
=
n∏
k=1
exk .
$ Corola´rio 15. Pra n natural vale
(eyn) = (ey)n
na propriedade anterior tome y = xk∀ k, daı´ temos
n∑
k=1
y = ny
e
n∑
k=1
y
= eny =
n∏
k=1
ey = (ey)n.
$ Corola´rio 16. Vale que e−x = 1
ex
pois 1 = e0 = e−x+x = e−xex logo e−x deve
ser o inverso multiplicativo de ex.
$ Corola´rio 17. Vale que lim
x→∞ ex =∞ pois ex e´ crescente e bijec¸a˜o com imagem
R+, logo assume valores arbitrariamente grandes de maneira similar vale que
lim
x→−∞ ex = limx→∞
1
ex
= 0.
b Propriedade 9. Seja f : R → R deriva´vel em R, tal que f ′(x) = af(x) enta˜o
vale f(x) = keax para alguma constante k ∈ R.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 10
Consideramos a derivada da func¸a˜o de lei g(x) = f(x)
eax
daı´
g ′(x) =
f ′(x)eax − f(x).aeax
e2ax
=
f(x)aeax − f(x).aeax
e2ax
= 0
logo existe k tal que
f(x) = keax.
A constante k pode ser encontrada por meio de uma condic¸a˜o inicial.
$ Corola´rio 18. Se for dada a condic¸a˜o inicial f(x0) = c enta˜o f(x0) = keax0 =
c⇒ k = ce−ax0 ⇒ f(x) = cea(x−x0).
$ Corola´rio 19. Como D ex︸︷︷︸
f(x)
= ex enta˜o f ′(0) = 1, daı´
lim
x→0
ex − e0
x− 0
= lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
1.1.1 ln(ax) = x ln(a).
m Definic¸a˜o 3 (Poteˆncia de base a e expoente x, ex.). Dado a > 0 e x ∈ R,
definimos ax como o u´nico nu´mero real tal que vale ln(ax) = x ln(a).
$ Corola´rio 20. ax = eln(ax) = ex ln(a).
$ Corola´rio 21. apq = (ap) 1q pois
a
p
qe
p
q
ln(a) = eln(a
p)
1
q
= (ap)
1
q .
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 11
$ Corola´rio 22. ax+y = ax.ay, pois
ax+y = e(x+y) ln(a) = ex ln(a)+y ln(a) = ex ln(a).ey ln(a) = ax.ay.
$ Corola´rio 23. a0 = 1 pois a0 = e0 ln(a) = 1.
$ Corola´rio 24. a−x = 1
ax
, pois a−x+x = a0 = 1 = a−xax, logo um e´ inverso do
outro.
$ Corola´rio 25. ax e´ sempre positivo pois ax = ex ln(a) > 0.
$ Corola´rio 26. axy = (ax)ypois
ln(axy) = xy ln(a)
ln((ax)y) = y ln(ax) = xy ln(a)
como os dois nu´meros tem o mesmo logaritmo eles sa˜o iguais.
$ Corola´rio 27. Temos a derivada
(ax) ′ = (ex ln(a)) ′ = ln(a)(ex ln(a)) = ln(a)ax.
$ Corola´rio 28. f(x) = R → R com f(x) = ax e´ C∞, pois possui derivada de
todas ordens em todos pontos.
$ Corola´rio 29. f e´ crescente se a > 1 e decrescente se a < 1, pois f ′(x) =
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 12
ax ln(a) < 0 se a < 1 e f ′(x) > 0 se a > 1.
$ Corola´rio 30. se a = 1, 1x = ex ln(1) = e0 = 1, enta˜o a func¸a˜o e´ constante.
$ Corola´rio 31. Se a > 1
lim
x→∞ax = limx→∞ ex ln(a) =∞,
lim
x→−∞ax = limx→−∞ ex ln(a) = 0,
se a < 1
lim
x→∞ax = limx→∞ ex
<0︷ ︸︸ ︷
ln(a) = 0,
lim
x→−∞ax = limx→−∞ ex
<0︷ ︸︸ ︷
ln(a) =∞,
$ Corola´rio 32. f(x) = ax e´ bijec¸a˜o de R em R+, pois e´ contı´nua, na˜o limitada
superiormente.
m Definic¸a˜o 4 (Logaritmo na base a). A func¸a˜o inversa de f(x) = ax e´
log : R+ → R, com aplicac¸a˜o simbolizada por loga(x), sendo chamada de logaritmo
de x na base a.
y = loga(x)⇔ ay = x.
$ Corola´rio 33. Vale que loga(x) = ln(x)ln(a) , pois
eln(x) = x = aloga(x) = eloga(x) ln(a) ⇒ ln(x) = loga(x). ln(a)⇒
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 13
loga(x) =
ln(x)
ln(a)
.
1.1.2 loga(xy) = loga(x) + loga(y)
$ Corola´rio 34. loga(xy) = loga(x) + loga(y) pois
loga(xy) =
ln(xy)
ln(a)
=
ln(x)
ln(a)
+
ln(y)
ln(a)
= loga(x) + loga(y).
1.1.3 loga(xb) = b loga x
b Propriedade 10. Vale que
loga(xb) = b loga x.
ê Demonstrac¸a˜o. A igualdade vale pois
loga(xb) =
ln(xb)
ln(a)
= b
ln(x)
ln(a)
= b loga x.
$ Corola´rio 35. (loga(x)) = ( ln(x)ln(a)) ′ = 1x ln(a) .
b Propriedade 11. Vale que
lim
y→∞(1+
1
y
)y = e.
ê Demonstrac¸a˜o. [ln(x)] ′ = 1
x
em x = 1 resulta em 1, daı´ por definic¸a˜o de
derivada
lim
x→0
ln(x+ 1) − ln(1)
x
= lim
x→0
ln(x+ 1)
x
= 1
logo
lim
x→0 ln((1+ x)
1
x ) = 1 =
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 14
por continuidade de ln temos
ln(lim
x→0(1+ x)
1
x ) = 1
logo por injetividade segue que
lim
y→∞(1+
1
y
)y = e.
1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos
m Definic¸a˜o 5. Na notac¸a˜o
loga b = x,
dizemos que
• a e´ a base do logaritmo.
• b e´ o logaritmando.
• x e´ o logaritmo.
• Fixado a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞), temos a func¸a˜o
loga : [0,∞)→ R, que associa b ao nu´mero loga b.
• Chamamos a operac¸a˜o de aplicar o logaritmo de logaritmac¸a˜o.
• O resultado da operac¸a˜o de logaritmac¸a˜o chamamos de logaritmo.
1.3 Equac¸o˜es e Logaritmos
Z Exemplo 1. Resolva a equac¸a˜o
abx+c = dfx+g.
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 15
Suponha a, d positivos e b ln(a) − f ln(d) 6= 0.
Aplicando ln de ambos lados, segue que
(bx+ c) ln(a) = (fx+ g) ln(d)⇔ bx ln(a) − fx ln(d) = g ln(d) − c ln(a)⇔
x =
g ln(d) − c ln(a)
b ln(a) − f ln(d)
.
Z Exemplo 2 (ITA 1966). Calcule log2 16− log4 32.
Usando propriedade de logaritmos temos
log2 16− log4 32 = log2 24 − log4 25 = 4− log4 4
5
2 = 4− 5
2
=
3
2
.
1.3.1 Mudanc¸a de base loga(b) =
logc(b)
logc(a)
.
b Propriedade 12 (Mudanc¸a de base). Vale que
loga(b) =
logc(b)
logc(a)
.
ê Demonstrac¸a˜o.[1]
Provar tal igualdade e´ equivalente a provar
loga(b). logc(a) = logc(b),
usamos as identidades
loga(b) =
ln(b)
ln(a)
, logc(a) =
ln(a)
ln(c)
,
multiplicando os termos acima, obtemos
loga(b). logc(a) =
ln(b)
ln(c)
,
que e´ exatamente logc(b).
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Tomando
1. loga(b) = x,
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 16
2. logc(b) = y,
3. logc(a) = z,
por definic¸a˜o de logaritmo temos respectivamente
1. ax = b,
2. cy = b,
3. cz = a,
De cz = a elevando a x temos pelas relac¸o˜es anteriores czx = ax = b = cy enta˜o
czx = cy por injetividade da potenciac¸a˜o tem-se que
zx = y⇔ x = y
z
, isto e´ logc(b)
logc(a)
,
como querı´amos provar.
1.3.2 logab(y) =
1
b
loga(y)
b Propriedade 13. Vale que
logab(y) =
1
b
loga(y)
ê Demonstrac¸a˜o. Usamos a propriedade de mudanc¸a de base
logab(y) =
loga(y)
loga(ab)
=
loga(y)
b
.
Como querı´amos provar.
1.4 Logaritmo e desigualdades
b Propriedade 14. A func¸a˜o logarı´tmica f(x) = lga(x) e´ estritamente crescente
se a > 1 e estritamente decrescente se a < 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
lga(x) =
ln(x)
ln(a)
,
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 17
• Se a > 1, enta˜o ln(a) > 1 e ln(x) e´ crescente, logo lga(x) tambe´m.
• Se a < 1, enta˜o ln(a) < 1 e ln(x) e´ crescente, enta˜o se x > y, segue que
ln(x) > ln(y), multiplicando por 1
ln(a)
de ambos lados da desigualdade, segue
que
ln(x)
ln(a)︸ ︷︷ ︸
lga(x)
<
ln(y)
ln(a)︸ ︷︷ ︸
lga(y)
,
portanto lga(x) e´ decrescente.
m Definic¸a˜o 6 (Antilogaritmo). Nas condic¸o˜es de existeˆncia do logaritmo,
definimos o antilogaritmo, da seguinte maneira:
antilogax = b⇔ loga b = x.
Vale que
antilogax = a
x, pois se loga b = x⇔ ax = b.
Z Exemplo 3. Analise a desigualdade
| log42(1− x2) − log4(x+ 1)| <
1
2
.
Multiplicando a desigualdade de ambos lados por 2, aplicando log42(1 − x2) =
1
2
log4(1 − x2), 2 log4(x + 1) = log4(x + 1)2 e depois propriedade de subtrac¸a˜o de
logaritmos, segue que
| log4(1− x2) − log4(x+ 1)2| < 1⇔ | log4 (1− x2)(x+ 1)2 | < 1⇔
por propriedade de mo´dulo
−1 < log4
(1− x2)
(x+ 1)2
< 1
CAPI´TULO 1. LOGARITMOS 18
e propriedade de logaritmo, obtemos finalmente
1
4
<
(1− x2)
(x+ 1)2
< 4.
Z Exemplo 4 (ITA-1966). Estudar o conjunto em que lga(x
2 − 3x+ 2
2x− 4
) ≥ 0 com
a =
√
2
2
.
Como a < 1 o logaritmo e´ decrescente, enta˜o devemos ter 0 ≤ (x
2 − 3x+ 2
2x− 4
) ≤
1. Fatoramos o numerador x3 − 2x + 2 = (x − 1)(x − 2), daı´ simplificamos a
desigualdade em
x− 1
2
> 0⇔ x > 1
e a outra desigualdade
x− 1
2
≤ 1⇔ x ≤ 3
juntando as duas condic¸o˜es o conjunto em que a desigualdade vale e´ (1, 2)∪(2, 3),
pois x 6= 2, o denominador na˜o pode se anular.
	Logaritmos
	Logaritmos e exponenciais
	ln(ax)= x ln(a). 
	loga(xy)=loga(x)+loga(y)
	loga(xb)=b logax
	Nomenclaturas Sobre Logaritmos
	Equações e Logaritmos
	Mudança de base loga(b)= logc(b) logc(a) . 
	 logab (y )=1bloga(y)
	Logaritmo e desigualdades