AD2 met deterministicos II 2016-1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2016
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 2 - AD2.
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = 1(x−1)(x+2)
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Determine - caso haja - as ass´ıntotas;
(c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: (a) [Vale 0,2] Como a func¸a˜o f(x) e´ um quociente de dois polinoˆmios. Ele estara´ bem
definido desde que o denominador seja diferente de zero, isto e´, (x−1)(x+2) 6= 0⇒ x 6= 1 ou x 6= −2.
Logo,
D(f) = {x ∈ R : x 6= 1 ou x 6= −2} .
(b) [Vale 0,4 - 0,1 por limite] Para determinar as ass´ıntotas precisamos calcular os seguintes limites:
lim
x→1±
f(x), lim
x→−2±
f(x) e lim
x→±∞ f(x).
lim
x→1−
1
(x− 1)(x+ 2) = −∞
Observe que para valores menores que 1, mas muito pro´ximos de 1. O numerador e´ sempre igual a 1,
mas o denominador vai para zero com valores negativos. Por isto, a frac¸a˜o vai para −∞. Vou fazer a
mesma analise para todos os outros casos similares, mas apenas vou grafar o resultado.
lim
x→1+
1
(x− 1)(x+ 2) = +∞, limx→−2−
1
(x− 1)(x+ 2) = +∞ e limx→−2+
1
(x− 1)(x+ 2) = −∞.
O limite
lim
x→+∞
1
(x− 1)(x+ 2) = limx→+∞
1
(x2 + x− 2 = 0.
Observe que o numerador da´ sempre 1, mas o denominador cresce ra´pido para mais infinito. Logo
o quociente vai para zero com valores positivos. O outro limite permite analise similar e obtemos
lim
x→−∞
1
(x− 1)(x+ 2) = 0. Logo x = −2 e x = 1 sa˜o assintotas verticais e y = 0 e´ uma assintota
horizontal.
(c) [Vale 0,8 - 0,4 pelos ca´lculos da derivada e 0,4 pelo estudo do sinal]
f ′(x) =
0× (x− 1)(x+ 2)− 1× (2x+ 1)
[(x− 1)(x+ 2)]2 = −
2x+ 1
(x− 1)2(x+ 2)2 .
Para estudar o sinal de f ′(x) observe que o denominador e´ sempre positivo (e´ elevado ao quadrado!).
Enta˜o o sinal de f ′ depende e´ exatamente o oposto do sinal de 2x+1. Logo, se x < −12 enta˜o f ′(x) > 0
e se x > −12 enta˜o f ′(x) < 0 e o ponto x = −12 e´ um ponto cr´ıtico.
1
(d) [Vale 0,8 - 0,4 pelos ca´lculos da 2a derivada e 0,4 pelo estudo do sinal] Derivando mais uma vez
temos
f ′′(x) =
−2× (x− 1)2(x+ 2)2 − (−2x− 1)× 2(x− 1)× 2(x+ 2)
[(x− 1)2(x+ 2)2]2 =
6
(
x2 + x+ 1
)
(x2 + x− 2)3
Para analisar o sinal de f ′′, precisamos, entre outros detalhes, entender o comportamento do sinal do
numerador. Buscando os valores de x tais que x2 + x + 1 = 0. Calculando ∆ = 12 − 4× = −3 < 0.
Portanto, x2 + x+ 1 na˜o tem ra´ızes e x2 + x+ 1 = 0 > 0 para todo x. Desta forma, quem governa o
sinal de f ′′ e´ o denominador. Ja´ (x2+x− 2)3 tem o mesmo sinal de x2+x− 2 = (x− 1)(x+2). Logo
f ′′(x) < 0 se −2 < x < 1. Do contra´rio f ′′(x) > 0.
(e) [Vale 0,8] Iniciemos tracejando as ass´ıntotas. O gra´fico pode ser dividido em 3 partes: a) entre
(−∞,−2); b) entre (−2, 1) e c) entre (1,+∞).
Na parte a) temos: f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 e quando x → −2− f(x) → +∞. Com isto vemos que
a func¸a˜o e´ crescente, com a boca voltada para cima e que vem de −∞ pro´ximos de zero com valores
positivos e em x = −2 vai para +∞.
Na parte b) Em x = −12 a derivada troca de sinal, sendo que antes a derivada era positiva e depois
negativa. Ale´m disso f ′′ < 0, portanto, x = −12 e´ um ponto de ma´ximo local. Quando x → −2+ e
x→ 1− temos f(x)→ −∞ Na parte c) o comportamento e´ similar a parte a). Veja o esboc¸o abaixo:
Questa˜o 2 [2,0 pts] Certa empresa consegue fabricar um bem cujo custo e´ dado por c(x) = 10.000+
28x − 0, 01x2 + 0, 002x3 e a demanda e´ dada por p(x) = 90 − 0, 02x. Determine o n´ıvel de produc¸a˜o
que maximizara´ o lucro.
Soluc¸a˜o: [Montou L(x) corretamente 1,0, derivou 0,8. Encontrou os valores corretos 0,2pt] Veja que
o lucro L(x) e´ dado por
L(x) = xp(x)−c(x) = x(90−0, 02x)− (10.000+28x−0, 01x2+0, 002x3) = − x
3
500
− x
2
100
+62x−10000
Derivando temos
L′(x) = −3x
2
500
− x
50
+ 62 = 0⇒ x = −310
3
e x = 100.
Como sa˜o unidades, para maximizar precisamos produzir 100 unidades.
2
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(t) = e
√
t b) g(x) =
1
(x2 − 2x− 5)4
c) h(t) =
(
t− 1
t
)3/2
d) l(x) =
(
x2 − x+ 1)3
Soluc¸a˜o: a) [0,7] derivando, usando a regra da cadeia obtemos
f ′(t) =
[√
t
]′
e
√
t =
e
√
t
2
√
t
.
b)[1,0] Pela regra do quociente temos
g′(x) =
0× (x2 − 2x− 5)4 − 1× 4(x2 − 2x− 5)3 × (2x− 2)
(x2 − 2x− 5)8 =
−8(x− 1)
(x2 − 2x− 5)5 .
c)[0,7] Usando a regra da cadeia obtemos
h′(t) =
2
3
(
t− 1
t
)1/2
×
(
1 +
1
t2
)
d)[0,6] Pela regra da cadeia temos
l′(x) = 3
(
x2 − x+ 1)2 (2x− 1) .
Questa˜o 4: [2,0 pts] Encontre as equac¸o˜es das retas que sa˜o tangentes a`s para´bolas y = 1 + x2 e
y = −1− x2 simultaneamente. Determine os pontos nos quais essas tangentes tocam as para´bolas.
Soluc¸a˜o: [0,8 pelo desenho o resto dos pontos deve ser distribu´ıda dependendo da abordagem do
aluno] E´ muito importante, para resolver este problema desenhar as duas para´bolas. A primeira e´
obtida por transladar y = x2 uma unidade para cima, e a segunda, por transladar, y = −x2 uma
unidade para baixo.
Veja que se uma reta e´ tangente simultaˆnea a`s duas para´bolas deve possuir simetria. Portanto, se
P e´ ponto de tangeˆncia na para´bola y = x2+1, enta˜o digamos que a coordenada de x = a, logo como
P esta na para´bola. Enta˜o P = (a, a2 + 1). Seja Q o ponto de tangeˆncia desta reta com a para´bola
3
y = −x2 − 1, enta˜o por simetria as coordenadas de Q = (−a,−a2 − 1). Calculando o coeficiente
angular da reta que passa por PQ obtemos
mPQ =
1 + a2 − (−1− a2)
a− (−a) =
1 + a2
a
.
Se f(x) = x2 + 1, enta˜o a inclinac¸a˜o da reta tangente em P deve ser f ′(a) = 2a. Assim,
1 + a2
a
= 2a⇒ 1 + a2 = 2a⇒ a = ±1
Portanto, os pontos sa˜o (1, 2) e (−1,−2). Por simetria, os pontos (−1, 2) e (1,−2) tambe´m tem
uma reta tangente passando.
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