lista - TFC e Regra da Substituicao

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matema´tica - DMA
Ca´lculo I - Lista 4 - TFC e Regra de Substituic¸a˜o
Equipe de Unificac¸a˜o
1. Ache o intervalo em que a curva
y =
∫ x
0
1
1 + t+ t2
dt
e´ coˆncava para cima.
2. Ache uma func¸a˜o f e um nu´mero a tal que
6 +
∫ x
a
f(t)
t2
dt = 2
√
x
para todo x > 0.
3. A func¸a˜o erro dada por
erf (x) =
2√
x
∫ x
0
e−t
2
dt
e´ muito usada em probabilidade, estat´ıstica e engenharia.
(a) Mostre que
∫ b
a
e−t
2
dt =
1
2
√
pi [erf(b)− erf(a)].
(b) Mostre que a func¸a˜o y = ex
2
erf(x) satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′ = 2xy+2/
√
pi.
4. Uma companhia de alta tecnologia compra um novo sistema computacional cujo valor
inicial e´ V . O sistema depreciara´ a uma taxa f = f(t) e acumulara´ custos de
manutenc¸a˜o a uma taxa g = g(t), onde t e´ o tempo medido em meses. A companhia
quer determinar o tempo o´timo para substituir o sistema.
(a) Seja
C(t) =
1
t
∫ t
0
[f(s) + g(s)] ds.
Mostre que os nu´meros cr´ıticos de C ocorrem nos nu´meros t nos quais C(t) =
f(t) + g(t).
(b) Suponha que
f(t) =
V
15
− V
450
t se 0 < t ≤ 30,
f(t) = 0 se t > 30
1
e
g(t) =
V t2
12900
t > 0.
Determine o per´ıodo de tempo T para que a depreciac¸a˜o total D(t) =
∫ t
0
f(s) ds
seja igual ao valor inicial V .
(c) Determine o mı´nimo absoluto de C em (0, T ].
5. Se f for uma func¸a˜o cont´ınua tal que
∫ x
0
f(t)dt = xe2x +
∫ x
0
e−tf(t)dt
para todo x, ache uma forma expl´ıcita para f(x).
6. Se x senpix =
∫ x2
0
f(t)dt, onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, ache f(4).
7. Se f ′ for cont´ınua em [a, b], mostre que
2
∫ b
a
f(x)f ′(x)dx = [f(b)]2 − [f(a)]2
8. Ache limh→0
1
h
∫ 2+h
2
√
1 + t3dt.
9. Se f(x) =
∫ g(x)
0
1√
1 + t3
dt, onde g(x) =
∫ cos x
0
[
1 + sen t2
]
dt, ache f ′(pi/2).
10. Se f(x) =
∫ x
0
x2sen t2dt, ache f ′(x).
11. Se f for diferencia´vel tal que
∫ x
0
f(t)dt = [f(x)]2 para todo x, ache f .
12. Calcule limx→0
1
x
∫ x
0
(1− tan 2t)1/t dt.
13. Encontre
d2
dx2
∫ x
0
(∫ sen t
1
√
1 + u4 du
)
dt.
2