A regra da substituição consiste em mudar uma integral mais complexa por uma mais simples e, assim, resolver a integral. Qual o valor da integral ∫...

Para resolver a integral ∫(y/(y+1))^3 dy, utilizando a substituição u = y + 1, devemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada de u em relação a y: du/dy = 1 2. Substituir y + 1 por u na integral: ∫(y/(y+1))^3 dy = ∫((u-1)/u)^3 du 3. Simplificar a expressão dentro da integral: ((u-1)/u)^3 = (u^3 - 3u^2 + 3u - 1)/u^3 4. Separar a integral em frações parciais: (u^3 - 3u^2 + 3u - 1)/u^3 = 1/u - 3/u^2 + 3/u^3 - 1/u^3 5. Resolver cada integral separadamente: - ∫1/u du = ln|u| + C - ∫3/u^2 du = -3/u + C - ∫3/u^3 du = -3/(2u^2) + C - ∫1/u^3 du = -1/(2u^2) + C 6. Substituir u por y + 1 em cada integral e somar as soluções: - ln|y+1| - 3/(y+1) - 3/(2(y+1)^2) - 1/(2(y+1)^3) + C Portanto, a alternativa correta é a letra A) ∫(u-1)^3 du.