Lista 5 Vetores

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM131 - T84 Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial
Lista de Exerc´ıcios - Tiago de Oliveira
1. Determine x e y para que os vetores ~v = (−2 + x, 1/5) e ~w = (−1/2, 2y − 6) sejam iguais.
2. Dados ~u = (1,−1),~v = (2, 0) e ~w = (3,−2), determine:
a) |~u+ ~w| b) |~u|+ |~w| c) |~u|+ | − 2~v|+ | − ~w| d) 3|~u|+ |5~v|
3. Determine o mo´dulo(magnitude) do vetor dado
a) ~v =~i+ 2~j + 3~k
b) ~v = (2, 3, 1)
c) Vetor ~v com origem no ponto (2, 1, 1) e extremidade (0, 0, 3)
d) ~v = −~i+ ~k
4. Dados os pontos A(−1, 3),B(1, 0) e C(2,−1), determinar D tal que −−→DC = −−→BA.
5. Encontre os nu´meros a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14)
6. Determine a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
7. Determine o escalar β para que o vetor ~a = (0, 3β, 4β) seja unita´rio.
8. Sejam ~v1 = (3, 1) e ~v2 = (2, 4) e os escalares a1 = 2 e a2 = −1. Encontre um vetor ~v = (x, y) que seja combinac¸a˜o
linear de v1 e v2.
9. Mostre que o vetor ~v = (3, 1, 1) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~u1 = (1, 1, 0), ~u2 = (2, 1, 2), ~u3 = (1, 2, 1) ∈
R3.
10. O vetor ~v = (−7, 7, 7) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~u1 = (−1, 2, 4) e ~u2 = (5,−3, 1)?
11. Sejam ~v1 = (1, 0, 0) e ~v2 = (1, 1, 0) vetores do R3. Mostre que o vetor ~v = (2, 3, 2) na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear
de ~v1 e ~v2.
12. Sejam os vetores ~v = (3 + m,m) e ~w = (−2, 2m − 1) Determine os valores de m para que o vetor ~v − ~w tenha
mo´dulo igual a 6.
13. Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine os valores de m para que |~v| = 7, sendo ~v =
m ~AC + ~BC.
14. Determine o versor do vetor dado
a) ~a = (−2, 1, 2)
b) ~b = 6~j − 8~k
c) ~b = 2~i−~j + 2~k
d) ~a = (0,−3,−4)
15. Determine o escalar α para que o vetor ~v = (0, 3α, 4α) seja unita´rio.
16. Sejam ~u = 2~i + 4~j, ~v = −3~i + ~j + 2~k e ~w = −~j treˆs vetores no espac¸o. Determine o mo´dulo do vetor
~r =
1
2
~u− 3~v + 2~w.
17. Determine o valor de a para que ~u = (a,−2a, 2a) seja um versor.
18. Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
19. Sejam ~u = (1, 3,−2, 1) e ~v = (2, 0,−1, 4) vetores do R4. Determine os escalares c1 e c2 tais que:
a) c1~u+ c2~v = (8, 6,−7, 14) b) c1~u+ c2~v = (−3, 3, 4,−7)
20. Escreva o vetor ~v = (0, 7, 6,−3) como combinac¸a˜o linear dos vetores
~v1 = (1, 2,−1, 0), ~v2 = (2, 3, 4, 1) e ~v3 = (1, 3, 5, 0).
21. Reescreva cada vetor ~v na forma ~v = |~v| ~vu, em que ~vu e´ o versor de ~v.
a) ~v = (1, 2,−1, 0, 3) b) ~v = (3, 5, 1, 1)
22. Duas forc¸as ~F1 e ~F2 com magnitudes(mo´dulos) 10N e 12N , respectivamente, agem sobre um objeto num ponto
P como mostrado na figura abaixo. Determine a forc¸a resultante ~F agindo em P assim como sua magnitude,
direc¸a˜o e sentido. (Indique a direc¸a˜o determinando o aˆngulo θ mostrado na figura).
23. Para cada nu´mero de CPF a seguir determine os d´ıgitos verificadores
a) 300.001.201 b) 411.567.913 c) 112.093.111
24. Determine ~a.~b
a) ~a = (1, 2) e ~b = (−1, 3) b) ~a = (−7,−3) e ~b = (0, 1)
25. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine a de modo que ~u.~v = (~u+~v). ~w
26. Determine os vetores unita´rios ortogonais ao vetor ~v = (3, 2).
27. Dados os vetores ~u = (1, 2), ~v = (4,−2) e ~w = (6, 0), determine:
a) ~v.(7~v + ~w) b) |(~u.~w)~w| c) |~u|(~v.~w) d) (|~u|~v). ~w
28. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determine versor do vetor 3 ~BA− 2 ~BC.
29. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A(0, 1, 2), B(−1, 0,−1), C(2,−1, 0).
30. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+ 2) e´ pi
3
, determine m.
31. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α+ 2,−5, 2) e ~c = (2α, 8, α), determine o valor de α para que o vetor ~a+~b
seja ortogonal ao vetor ~c− ~a
32. Prove que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
33. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i+ 5~j − 4~k e ~b = (α+ 1)~i+ 2~j + 4~k sejam ortogonais?
34. Um vetor ~v forma com os vetores ~i e ~j aˆngulos de 60◦ e 120◦, respectivamente. Determine o vetor ~v, sabendo
que |~v| = 2
35. Os aˆngulos diretores de um vetor sa˜o α, 45◦ e 60◦. Determine α
36. O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~u = (2,−1, 3) e ~w = (1, 0,−2) e forma aˆngulo agudo com o vetor ~j. Calcule ~v,
sabendo que |~v| = 3√6
37. Determine a projec¸a˜o ortogonal de ~u na direc¸a˜o ~v
2
a) ~u = (2, 1) e ~v = (−3, 2) b) ~u = (2, 6) e ~v = (−9, 3)
38. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um aˆngulo de 3pi
4
, determine |(2~u− ~v).(~u− 2~v)|
39. Mostre, por meio de um contraexemplo, que o produto vetorial na˜o e´ associativo, isto e´, mostre que:
~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w
40. Dados os vetores ~a = (1, 2, 1) e ~b = (2, 1, 0), calcule:
a) 2~a× (~a+~b)
b) (~a+ 2~b)× (~a− 2~b)
41. Dados ~u e ~v vetores quaisquer do R3, mostre que:
(~u× ~v).(~u× ~v) + (~u.~v)2 = |~u|2|~v|2
42. Resolva o sistema de equac¸o˜es vetoriais
{
~v × (−~i+ 2~j + ~k) = 8~i+ 8~k
~v.(2~i+ ~k) = 2,
43. Determine o valor de m para que vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1 = (2,−1, 0)
e ~v2 = (1,−3,−1)
44. Dados os vetores ~v = (a, 5b,− c2 ) e ~w = (−3a, x, y), determine x e y para que ~v × ~w = ~0
45. Sabendo que |~a| = 3, |~b| = √2 e 45◦ e´ o aˆngulo entre ~a e ~b, calcule |~a×~b|.
46. Calcule a a´rea do paralelogramo cujos lados sa˜o determinados pelos vertores 2~u e −~v sendo ~u = (2,−1, 0) e
~v = (1,−3, 2)
47. Determine a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores ~u e ~v nos seguintes casos.
a) aˆngulo entre ~u e ~v de
pi
3
, |~u| = 3 e |~v| = 4
b) ~u.~v = 3
√
2, |~u| = 2 e |~v| = 3
c) ~u ⊥ ~v com ~u e ~v unita´rios.
d) ~u.~v = −1, ~u e´ unita´rio e |~v| = 2|~u|.
48. Determine o volume do tetraedro ABCD de arestas AB, AC e AD e ve´rtices A(1, 1, 1), B(2, 0, 3), C(4, 1, 7) e
D(3,−1,−2)
49. Em um triaˆngulo ABC, mostre que a altura h relativa ao lado AB e´ dada por:
| ~AB × ~AC|
| ~AB|
50. Verifique se os vetores dados sa˜o coplanares.
a) ~u = (1,−1, 0), ~v = (2, 2,−2) e ~w = (1,−3, 1).
b) ~u = (1,−1, 1), ~v = (0, 0,−1) e ~w = (1, 0, 1).
51. O produto vetorial e´ associativo? Isto e´, vale ~u× (~v × ~w) = (~u× ~v)× ~w?
52. Mostre, atrave´s de um contra-exemplo que ~u × ~v = ~v × ~w, com ~u na˜o nulo, na˜o implica necessariamente que
~v = ~w, ou seja, na˜o vale a Regra do Cancelamento para o produto vetorial.
3
Gabarito
1. x =
3
2
e y =
31
10
2. a) 5
b)
√
2 +
√
13
c)
√
2 + 4 +
√
13
d) 3
√
2 + 10
3. a)
√
14
b)
√
14
c) 3
d)
√
2
4. D = (4 , −4)
5. a1 = 2 e a2 = −3
6. a =
3
2
e b = −9
2
7. β =
1
5
8. ~v = (4,−2)
9. (3, 1, 1) = 2(1, 1, 0) + (2, 1, 2)− (1, 2, 1)
10. Sim α1 = 2 e α2 = −1
11. Demonstrac¸a˜o
12. m = 1 ou m = −5
13. m = 3 ou m = −2, 6
14. a)
(
−2
3
,
1
3
,
2
3
)
b)
(
0,
3
5
,−4
5
)
c)
(
2
3
,−1
3
,
2
3
)
d)
(
0,−3
5
,−4
5
)
15. α = ±1
5
16.
√
145
17. ±1
3
18. demostrac¸a˜o
19. a) c1 = 2 e c2 = 3 b) c1 = 1 e c2 = −2
20. ~v = 2~v1 − 3~v2 + 4~v3
21. a) ~v =
√
15
(
1√
15
,
2√
15
,− 1√
15
, 0,
3√
15
)
b) ~v = 6
(
3
6
,
5
6
,
1
6
,
1
6
)
22. • ~F (6√3− 5√2 , 6 + 5√2)
• ‖~F‖ ' 13, 5N
• θ = 45, 74337586 ◦ + 30◦ ' 75, 74 ◦
23. (a) 03 e (b) 16
24. (a) 5 e (b) −3
25. a = 2
26.
(
± 2√
13
,
3√
13
)
27. (a) 164 , (b) 36, (c) 24
√
5 e (d) 24
√
5
28.
(
7
9
,
4
9
,
4
9
)
29. 2(
√
11 +
√
3)
30. m = −4
31. 3 ou −632. ~AB. ~BC = 0
33. −3 ou 2
34. ~v = (1,−1,√2) ou ~v = (1,−1,−√2)
35. α = 60◦ ou α = 120◦
36. (2, 7, 1)
37. (a)
(
12
13
,− 8
13
)
e (b) (2, 6)
38. 26 + 15
√
2
39. contraexemplo
40. (a) (−2, 4,−6) e (b) (4,−8, 12)
41. demostrac¸a˜o
42. ~v = (2, 4,−2)
43. −5
44. x = −15b, y = 3
2
c
45. 3
46. 6
√
5
47. (a) 6
√
3, (b) 3
√
2, (c) 1 e (d)
√
3.
48. 21
49. demostrac¸a˜o
50. (a) Coplanares , (b) Na˜o sa˜o coplanares
51. Na˜o e´ associativo, ja´ demostrado no exerc 39
52. demostrac¸a˜o
4