Lista 5 - ANA MARIA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO - Campus Diadema 
Departamento de Ciências Exatas e da Terra 
 
 
Rua Profº. Arthur Riedel, 275 - Eldorado - Diadema - SP - CEP: 09972-270 
Tel.: +55 11 4049-3300 Fax: 4049-6428 
 
 
Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 
 
Lista de exercícios 5 - Derivadas Direcionais 
 
Encontre o gradiente da função no ponto dado. Esboce o gradiente junto com a curva de 
nível que passa pelo ponto 
 
1) ( ) xyyxf −=, ( )1,2P 
 
2) ( ) 2, xyyxf −= ( )0,1−P 
 
Encontre o gradiente da função no ponto dado. 
 
3) ( ) xzzyxyxf ln2, 222 +−+= ( )1,1,1P 
 
4) ( ) )ln()ln2(, 2
1
222 xyzxzzyxyxf ++−+=
−
 ( )2,2,1 −−P 
 
Encontre a derivada da função P0 na direção de 
⇒
a . 
 
5) ( ) 232, yxyyxf −= ( )1,2P ⇒⇒⇒ += jia 34 
 
6) ( ) yzeyxf x cos3, = ( )0,0,0P ⇒⇒⇒⇒ −+= kjia 22 
 
7) Em que direção a derivada de ( ) 2, yxyyxf += em ( )2,3P é igual a zero? 
 
Encontre: as direções nas quais as funções (a) crescem e (b) decrescem mais 
rapidamente e (c) determine s derivadas das funções nestas direções. 
 
8) ( ) 22, yxyxyxf ++= ( )1,10 −P 
 
9) ( ) ( ) yzyxyxf −=, ( )1,1,40P 
 
10) ( ) xzyzxyyxf lnlnln, ++= ( )0,1,10P 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1) ∇f=
⇒⇒
+− ji 
 
 
2 ∇f =
⇒⇒
+ ji2 
 
 
3) ∇f =
⇒⇒⇒
−+ kji 423 
 
 
4) ∇f =
⇒⇒⇒
−+− kji
54
23
54
23
27
26
 
 
 
5) -4 unidades def / unidades de P 
 
 
6) 2 unidades def / unidades de P 
 
 
7) 
⇒⇒⇒
−= jiu
53
2
53
7
 -
⇒⇒⇒
+−= jiu
53
2
53
7
 
 
 
8) (a) 
⇒⇒⇒
+−= jiu
2
1
2
1
 (b) 
⇒⇒⇒
−=− jiu
2
1
2
1
 (c) ( ) 2
0
±=
Pu
fD 
 
 
9) (a) 
⇒⇒⇒⇒
−−= kjiu
33
1
33
5
33
1
 (b) 
⇒⇒⇒⇒
++−=− kjiu
33
1
33
5
33
1
 (c) ( ) 33
0
±=
Pu
fD 
 
 
10) (a) 




 ++=
⇒⇒⇒⇒
kjiu
33
1
 (b) 




 ++−=−
⇒⇒⇒⇒
kjiu
33
1
 (c) ( ) 32
0
±=
Pu
fD