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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. 
Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
Parte 03: 
Torção; 
- Definição; 
- Deformação por torção; 
- Tensão e ângulo de torção no regime elástico: 
 -- Em barra circular de seção uniforme 
 sob momento de torção na extremidade; 
 -- Em barra circular de seção variável sob momentos 
 de torção aplicados ao longo do eixo central da barra 
 -- Em barras sólidas de seção não circular sob momentos 
 de torção aplicados ao longo do eixo central da barra; 
 -- Em barras e eixos vazados de paredes finas sob 
 momentos de torção aplicados ao longo do eixo central; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
2 
 
 
1 - Definição de Torção 
 Peças (barras, eixos, vigas) submetidas 
à ação de momentos de torção ou torque (T) 
tende a torcer em torno de seu eixo central 
longitudinal, conforme mostra a figura 1. 
 Figura 1: barra sob torção 
 
2 - Deformação por torção de um eixo ou barra circular 
 Quando uma barra ou eixo circular é submetido á torção ou momento de torção: 
 - Todas as seções transversais permanecem planas e indeformadas; 
 - As várias seções transversais ao longo do eixo giram em diferentes 
 ângulos, mas como disco sólido e rígido (figura 2); 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: as seções transversais permanecem planas e indeformadas; 
 
3 - Fórmula de torção 
 A ação de um momento de torção ou torque (T) gera internamente uma 
distribuição de tensão de cisalhamento () na seção transversal da barra, ou seja, 
surge uma variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer linha 
radial na seção transversal, conforme ilustra a figura 3. 
Considerando que o material da barra trabalha no regime elástico a tensão a 
tensão de cisalhamento () em qualquer ponto p distante  do eixo central da barra 
circular é definida: 
 𝝉 = 
𝑻 . 𝝆 
𝑱
 (1) 
 
Em que : 
T = momento de torção ou torque (T) que atua 
 na seção transversal da barra; 
= distância do ponto p ao eixo central da barra; 
 Varia de 0 até c (raio externo) 
J = Momento de inércia polar da seção 
 transversal da barra; 
 
 
 
Figura 3: distribuição de tensão de cisalhamento na seção 
 transversal da barra circular maciça provocado pelo T 
 
Analisando a equação 1, verifica-se que a tensão de cisalhamento é máxima na 
superfície da barra, ou seja, quando  = c, o que permite escrever: 
𝝉𝒎á𝒙 = 
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 (2) 
 
Ponto p 
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Para barras e eixos de seção transversal circular maciça, o momento polar de 
inércia é definido por: 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
 (𝝅 . 𝒄𝟒) (𝟑) 
 
Em que: 
c = raio externo do círculo; 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: distribuição de tensão de cisalhamento em barras e 
eixos de seção circular maciça; 
 
Para barras e eixos de seção transversal circular vazada, o momento polar de 
inércia é definido por: 
 𝑱 =
𝟏
𝟐
(𝝅 . (𝒄𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒)) (𝟒) 
 
Em que: 
c = raio externo do círculo; 
ci = raio interno do círculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: distribuição de tensão de cisalhamento em barras e 
eixos de seção circular vazada; 
 
 
A figura 5 apresentada a distribuição de tensão de cisalhamento () de uma barra ou 
eixo de seção circular vazada, de raio interno ci e raio externo c. Do conceito de 
proporção de triângulo obtém a seguinte relação: 
 
𝝉𝒎í𝒏 
𝒄𝒊
=
𝝉𝒎á𝒙 
𝒄
 → 𝝉𝒎í𝒏 = 
𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 
 
𝝉𝒎í𝒏 =
 𝒄𝒊 
𝒄
 𝝉𝒎á𝒙 (5) 
 
 
 
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Exemplo1: Uma barra circular vazada de aço inoxidável tem comprimento L = 1,5 m e 
diâmetros interno e externo respectivamente de 40 e 60 mm. Determine: 
a) qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado à barra, para que a tensão 
de cisalhamento não exceda 120 MPa? 
b) qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aço inoxidável: E= 190 GPa; G = 73 GPa; e = 152 MPa 
 
Resolução: 
 
 ci = 20 mm = 0,02 m 
 
 c = 30 mm = 0,03 m 
 
a) T = ? de modo que máx ≤ 120 MPa, ou seja, máx = 120 MPa 
 - como máx < e ( tensão de cisalhamento de escoamento) 
 - Portanto ocorrem  Tensões no regime elástico: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
Nesta equação sabe-se: c = 0,03 m; máx = 120 MPa , 
Falta apenas o momento de inércia polar da barra vazada: 𝑱 =
𝟏
𝟐
( 𝝅 . (𝒄𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒) ) 
 
Jbarra = 1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [ . ( (0,03)4 - (0,02)4 ) ] = 1,021 . 10-6 m4 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 → 𝑻 =
𝝉𝒎á𝒙 . 𝑱 
𝒄
 =
120 . 106 . 1,021 . 10−6 
0,03
= 4,08 .103 N.m 
 
𝑻 = 4,08 .𝟏𝟎𝟑 N.m = 4,08 kN.m 
 
b) A menor tensão de cisalhamento de uma barra vazada ocorre na face interna da 
barra, sendo esta a tensão de cisalhamento mínima, a qual é obtida por: 
 
𝛕𝐦í𝐧 
0,02
= 
𝛕𝐦á𝐱 
0,03
 → 𝛕𝐦í𝐧 = 
0,02 
0,03
120 . 106 
 
 → 𝛕𝐦í𝐧 = 80 . 10
6 N.m2 = 80 MPa 
 
 
𝛕𝐦í𝐧 
𝛕𝐦á𝐱 
0,02 
0,03 
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Exemplo2: A distribuição de tensão em um eixo circular maciço foi representada em um 
gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a figura a seguir. 
Determine o torque interno resultante na seção transversal; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T = ? 
 
- Devido ao torque interno resultante surge uma distribuição de tensão de cisalhamento 
ilustrada na figura acima, onde o valor máximo de tensão ocorre na superfície, cujo 
valor é definido por: 
 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻 . 𝒄 
𝑱
 
 
Portanto:

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