Apostila de Engenharia Econômica

Prévia do material em texto

�PAGE �0�
�PAGE �13�
NOÇÕES
DE
ENGENHARIA ECONÔMICA
*
ALBERT GABBAY 
*
UFPA
2012
�
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
CAPÍTULO II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
II.1 - Juros Simples 
II.2 - Juros Compostos 
II.3 - Fluxo de Caixa 
II.4 - Relações de Equivalência
II.5 - Séries Perpétuas 
II.6 - Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente 
CAPÍTULO III
ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
III.1 - Generalidades 
III.2 - Taxa Mínima de Atratividade 
III.3 - Critérios Econômicos de Decisão 
III.4 – Investimentos com Vidas Diferentes
CAPÍTULO IV 
FINANCIAMENTOS - AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 
IV.1 – Sistema Francês de Amortização (PRICE) 
IV.2 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
IV.3 – Outros Sistemas de Amortização 
CAPÍTULO V
PONTO DE EQUILÍBRIO
V.1 - Conceitos 
V.2 -Verificação de Lucro e Rentabilidade
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS�
CAPÍTULO I – GENERALIDADES
Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias.
Engenharia econômica é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas.
Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.
Pode-se citar como exemplos de aplicação:
Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora;
Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos;
Substituição de equipamentos obsoletos;
Comprar carro a prazo ou à vista.
Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser considerados, sendo os seguintes:
devem haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal;
as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível comparar diretamente 300 horas/mensais de mão de obra com 500 Kwh de energia;
só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se forem idênticos;
sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rendosa de utiliza-lo;
nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o presente e o futuro. A afirmação: "não posso vender este carro por menos de $10000 porque gastei isto com ele em oficina" não faz sentido, o que normalmente interessa é o valor de mercado do carro.
Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes:
critérios financeiros: disponibilidade de recursos;
critérios econômicos: rentabilidade do investimento;
critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro.
�
CAPÍTULO II - MATEMÁTICA FINANCEIRA
A matemática financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. 
"NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NA MESMA DATA"
Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é JUROS. 
JUROS é o que se paga pelo custo do capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo.
	FATOR DE PRODUÇÃO
	RENUNERAÇÃO
	TRABALHO
	SALÁRIO
	TERRA 
	ALUGUEL
	TÉCNICA
	ROYALTY
	ADMINISTRAÇÃO
	LUCRO
	CAPITAL
	JUROS
Presença dos juros:
compras à crédito;
cheques especiais;
prestação da casa própria;
empréstimos;
vendas à prazo;
financiamentos de automóveis;
"JUROS" e "TEMPO" estão intimamente associados.
II.1 - JUROS SIMPLES
Quando apenas o principal, ou seja o capital inicial, rende juros.
J = P . i . n
onde:
P = principal
J = juros
i = taxa de juros
n = número de períodos
F = valor futuro = valor após o período de capitalização 
F = P + J
F = P + P.i.n
F = P(1 +i.n)
II.2 - JUROS COMPOSTOS
Quando no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou capital, passando assim a também render juros no próximo período. 
No primeiro período:
F1 = P + P . i = P . (1 + i)
No segundo período:
F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)2
No terceiro período:
F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2 . (1 + i) = P . (1 + i)3
No período “n”:
F = P . (1 + i)n
Exemplo II.1
Para um Capital de R$ 100.000,00, colocado a 20%aa durante 6 anos, qual o valor futuro para o caso de considerarmos juros simples e juros compostos?
	Fim do Ano
	Juros Simples
	Juros Compostos
	0
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	7
	
	
	8
	
	
Solução:
	Fim do Ano
	Juros Simples
	Juros Compostos
	0
	100.000
	100.000
	1
	120.000
	120.000
	2
	140.000
	144.000
	3
	160.000
	172.800
	4
	180.000
	207.360
	5
	200.000
	248.832
	8
	220.000
	298.598
Juros Simples: 	F = P (1 + i . n) 
Juros Compostos	F = P (1 + i )n
Exemplo II.2
Para o exemplo anterior plotar um gráfico para mostrar as diferenças da evolução dos juros simples e compostos ao longo do tempo 
Solução:
II.3 - FLUXO DE CAIXA
É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) relativo a um certo intervalo de tempo. 
 			Entradas (receitas)
						
0	1		3					
						
		2		4	5	6	7		tempo
							
	Saídas (despesas operacionais, manutenção,...)
Investimento								
II.4 - RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no tempo. 
Simbologia:
i = taxa de juros por período de capitalização;
n = número de períodos a ser capitalizado;
P = quantia de dinheiro na data de hoje;
F = quantia de dinheiro no futuro;
A = série uniforme de pagamento;
G = série gradiente de pagamento;
II.4.1 - Relações entre P e F
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura a seguir:
Para achar F a partir de P:
P (dado)
					
F = ?
F = P . (1 + i)n
(1 + i)n = fator de acumulação de capital de um pagamento simples. 
Para achar P a partir de F:
P = ?
					F (dado)
P = F/(1 + i)n
1/(1 +i)n = valor atual de um pagamento simples.
EXEMPLO II.3
Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que cobra 5% ao mês de juro. 
Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses?.
Solução:
10.000
		i = 5%
0				 5	
					F = ?
F = P (1 + i )n
F = 10.000 (1 + 0,05)5
F = 12.762,81
EXEMPLO II.4 
Achar o valor do fluxo caixa abaixo no período 4 a uma taxa de 5% a.p
200						300
			3					8
				
0	1	2		4	5	6	7	
			100					
								400
Capitalizar
						Descontar
Solução:
F = P (1 + i )n
P = F / (1 + i )n
X4 = 200 (1 + 0,05)4 – 100 (1 + 0,05)1 + 300 / (1 + 0,05)2 – 400 / (1 + 0,05)4
X4 = 243,10 - 105,00 + 272,10 - 329,08 
X4 = 81,12
EXEMPLO II.5
Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o valor de R$ 300.000,00. 
Qual a taxa mensal "média" de juros desta aplicação?
Solução:
							F = 300.000
				i = ? 
							n = 7
P = 200.000
		
F = P (1 + i )n
300.000 = 200.000 (1 + i )7
i = 5,96%EXEMPLO II.6
Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$ 370.186,00 em certa data futura.
Calcular o prazo da operação.
 
Solução:
							F = 370.186
				i = 8% 
							n = ?
P = 200.000
		
F = P (1 + i )n
370.186 = 200.000 (1 + 0,08)n
n = 8 meses
II.4.2 - Relações entre A e P
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura a seguir:
			A
		
			
0	1	2	3		n								
			
0	1	2	3		n
											
 P
			
	
Para achar P a partir de A:
:
P = A (1 +i) -1 + A (1 + i) -2 + A(1 +i) -3 + ..... + A (1 +i) -n
P = A [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 + (1 +i) -3 + ..... + (1 +i) -n ]
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, com número limitado de elementos, de razão (1+ i) -1 . 
A soma dos termos pode ser calculada pela seguinte expressão:
Sn = (a1 - a n . r) / ( 1 – r)
Para o caso: 
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
Para achar A a partir de P:
	 	(1 + i)n . i
A = P . ----------------
		(1 + i)n - 1
EXEMPLO II.7
Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. 
Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano?
Solução:
	A = 100.000
0					 n=10
											
		i = 6% aa
 P=?
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
	 		(1 + 0,06)10 - 1
P = 100.000 . ------------------------
			(1 + 0,06)10 . 0,06
	
P = 736.009
EXEMPLO II.8
O que é mais interessante, comprar um carro usado por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?.
Solução:
						4.000
					 0		 1			2		
 
					1.470		1.470			1470
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
	 	 			(1 + i)2 - 1
(4.000 – 1.470) = 1.470 . ----------------
					(1 + i)2 . i
i = 10,62 % (comparar com a taxa de mercado p/ex. poupança)
		
Melhor opção a vista
EXEMPLO II.9
Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?
Solução:
					A		A		A		
					 0		 1			2		
 
					0,8 (3 A)				
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
	 	 	 (1 + i)2 - 1
(0,8 X 3A) - A = A . ----------------
			 (1 + i)2 . i
i = 27,47 % (comparar com a taxa de mercado p/ex. poupança)
Melhor opção a vista
EXEMPLO II.10
Calcular a prestação de um financiamento de valor de R$ 2.000,00 com 8 pagamentos iguais, considerando uma taxa de 13 % ao mês. 
Solução:
	A = ?
0					 n=8
											
		i = 13% am
 P=2.000
	 	(1 + i)n . 1
A = P . ----------------
		(1 + i)n - i
	 	 (1 + 0,13)8 . 0,13
A = 2.000 . -------------------------
		 (1 + 0,13)8 – 1
A = 416,8
EXEMPLO II.11
Calcular na data zero a equivalência para o fluxo de caixa, a uma taxa de 15 aa
						10.000
						
	
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Solução:
	
Na data “3”
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
	 		(1 + 0,15)7 - 1
X3 = 10.000 . ----------------------- = 41.604
			(1 + 0,15)7 . 0,15
Na data “0”
P = F / (1 + i )n
X0 = 41.604 / (1 + 0,15)3 = 27.355
�
II.4.3 - Relações entre F e A
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura a seguir:
			A
		
			
0	1	2	3		n											
0	1	2	3		n
											
 				 	 F			
			
Para achar F a partir de A:
F = A + A (1 +i) 1 + A (1 + i) 2 + A(1 +i) 3 + ..... + A (1 +i) n -1
F = A [ 1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 +i) 3 + ..... + (1 +i) n - 1 ]
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, semelhante a relação entre P e A vista antes, com número limitado de elementos, de razão (1+ i) 1 . 
Para o caso: 
	 	(1 + i)n - 1
F = A . ----------------
		 i
Para achar A a partir de F:
	 	 i
A = F . ----------------
		(1 + i)n - 1
EXEMPLO II.12
Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?.
Solução: 
						 F = 500.000	
		0	1	2	3	4			14
			 				A = ?
		
	 	 i
A = F . ----------------
		(1 + i)n - 1
	 	 		0,12
A = 500.000 . -------------------- = 15.436
			(1 + 0,12)14 - 1
�
II.5 – SÉRIES PERPÉTUAS
Estas séries também chamadas infinita ou custo capitalizado, tem estes nomes devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc...
O valor presente da série uniforme infinita é:
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . 1
	 			(1 + i)n - 1
P = lim n 	 ∞ A . ----------------
				(1 + i)n . 1
	 	1
P = A . ------
		i
EXEMPLO II.13
Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%?
Solução:
					12.000		12.000
									∞	i = 10%aa
					P = ?
	 	1
P = A . ------
		I
P = 12.000/0,1 
P = 120.000
II.6 - TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE
Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. 
Ex:
140%aa ca (140% ao ano com capitalização anual)
0,5%am cm ( 0,5% ao mês com capitalização mensal – poupança)
Taxa nominal de juros é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade do período de capitalização.
Ex:
12%aa cm (12% ao ano com capitalização mensal)
Equivalência entre duas taxas efetivas:
					F
0	1	2	3		
											
					12 meses
 P
(1)	F = P . (1 + imensal)12meses
					F
0			
											
					1 ano
 P
(2)	F = P . (1 + ianual)1ano
Como (1) = (2), tem-se que:
(1 + imensal)12meses = (1 + ianual)1ano
Generalizando:
(1 + idl)360 = (1 + im)12 = (1 + is)2 = (1 + ia)1
EXEMPLO (efetiva p/ efetiva):
Poupança:
0,5% am cm
(1 + 0,005)12 = (1 + ia)1
ia = 6,17% aa ca
EXEMPLO (nominal p/ efetiva):
12% aa cm = (12/12)% am cm = 1% am cm
(1 + 0,01)12 = (1 + ia)1
ia = 12,68% aa ca
EXEMPLO II.14
Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. 
Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?.
Solução:
					P = 85% . 1000 = 850
	
										F = 1.000
F = P (1 + i )n
1.000 = 850 (1 + i)1
i = 17,64%
EXEMPLO II.15
Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000,00 a uma taxa de 1,7% para um período de 35 dias.
a) Qual o valor dos juros e da taxa de juros líquidos, sabendo-se que a taxa de IR sobre os juros apurado no período (35 dias) é de 20%?
b) Em relação a poupança esta aplicação é interessante?
Solução:
Item “a”
P = 30.000
i = 1,7% (p/35 dias)
F = P (1 + i )n
F = 30.000 (1 + 0,017)1
F = 30.510
Juros = F – P
Juros = 30.510 – 30.000
Juros = 510
Se, IR (20%) = 0,2 * 510 = 102
Juros liquido = 510 – 102
Juros liquido = 408
F liquido = 30.510 – 102
F liquido = 30.408
RentabilidadeLíquida:
F liquido = P (1 + i )n
30.408 = 30.000 (1 + i)1
i = 1,36% (p/35 dias)
item “b”
F = P (1 + i )n
F = P (1 + i35 )1
F = P (1 + idiario )35
(1 + i35 )1 = (1 + idiario )35
(1 + 0,0136) = (1 + idiario )35 
idiario = 0,0386% 
(1 + i30 )1 = (1 + idiario )30
(1 + i30 ) = (1 + 0,000386)30
i30 = 1,16%
i = 1,16% am
CAPÍTULO III
ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
III.1 – GENERALIDADES
É a engenharia econômica que fornece os critérios de decisão, para a escolha entre as alternativas de um investimento.
Critérios Usuais:
Pay – Back
Benefício Custo
V.P.L. – Valor Presente Líquido (Método Exato)
V.A. – Valor Anual (Método Exato)
T.I.R. – Taxa Interna de Retorno (Método Exato)
É muito importante ter cuidado com uso de alguns destes critérios, e principalmente, conhecer suas limitações.
Pay-Back ou método do tempo de recuperação do investimento:
um dos métodos, que é muito utilizado no Brasil (19%);
possui limitações do ponto de vista conceitual;
consiste simplesmente na determinação do número de períodos necessários para recuperar o capital investido;
ignora as conseqüências além do período de recuperação e o valor do dinheiro no tempo;
Normalmente é recomendado que este método seja usado como critério de desempate, se for necessário, após o emprego de um dos métodos exatos.
Exemplo:
			500	500	
		300				
	200
0								
	1	2	3	4		T = 3 anos
								
								
	
1000
	500			500	
		300				
			200
0						T = 3 anos
		
	1	2	3	4		
								
								
1000
Embora pelo “Pay – Back”, as duas situações sejam iguais (retorno com 3 anos), a 2ª é evidentemente melhor que a 1ª.
III.2 – TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA)
Os métodos exatos de avaliação das alternativas de investimento apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do valor do dinheiro no tempo. 
Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a análise for efetuada através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser empregada.
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros.
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. 
Alguns autores afirmam que a taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco. 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em questão mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. 
custo de capital: entende-se a média ponderada dos custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em questão.
III.3 – CRITÉRIOS ECONÔMICOS DE DECISÃO
III.3.1 – Método do Valor Presente (VP)
Caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade (TMA). 
Em outras palavras, seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros considerada.
Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor positivo, mais atrativa é a proposta.
III.3.2 – Método do Valor Anual (VA)
Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto considerado, numa série uniforme de pagamentos, indicando desta forma o valor do benefício líquido, por período, oferecido pela alternativa de investimento. 
O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, e entre vários projetos, aquele de maior benefício positivo será o mais interessante.
III.3.3 – Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
A Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor presente das receitas torna-se igual aos desembolsos. 
Isto significa dizer que a TIR é aquela que torna nulo o Valor Presente Líquido do projeto (VP). 
Pode ainda ser entendida como a taxa de remuneração do capital.
A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não do projeto. 
Se TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. 
Se a TIR é menor que a TMA, o projeto não é atrativo.
O cálculo da TIR é feito normalmente pelo processo de tentativa e erro.
III.3.4 – Análise Incremental para o método da T.I.R.
No caso de alternativas de investimento mutuamente exclusivas (de valores de investimentos distintos deve-se examinar a taxa de retorno obtida no acréscimo de investimento de uma em relação à outra. 
Sempre que esta taxa for superior à TMA, o acréscimo é vantajoso. Isto faz com que a proposta escolhida não seja necessariamente a de maior taxa de retorno. 
Entretanto, para proceder a análise incremental deve-se certificar de que as propostas tenham TIR maior que a TMA.
EXEMPLO III.1
Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos.
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas:
A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. 
A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $ 10.705 após dez anos.
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência?.
Aplicar os diversos métodos de avaliação comparando-os e analisando os resultados. 
Solução:
Reforma:
					2.000
		0	1	2	3			10	
						i = 8%aa
		10.000
Aquisição:					10.705		
				4.700	
							4.700	
		0	1	2	3			10	
(35.000 – 5000) = 30.000		
a)	PAY - BACK 
Reforma:		10.000/2.000 = 5,00 anos
Aquisição:	30.000/4.700 = 6,38 anos
Pelo Pay-Back, ambas alternativas são viáveis, sendo a reforma a melhor opção.
b)	V.P.L 
P = F / (1 + i )n
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
Reforma:
		 			(1 + 0,08)10 - 1
VPL = -10.000 + 2.000 . --------------------------- = 3.420 (viável)
					(1 + 0,08)10 . 0,08
Aquisição:
		 		(1 + 0,08)10 - 1
VPL = -30.000 + 4.700 .------------------------- + 10.705 / (1 + 0,08)10 = 6.496 (viável)
				(1 + 0,08)10 . 0,08
Pelo VPL, ambas alternativas são viáveis, sendo a aquisição a melhor opção.
c)	V.A. 
	 	(1 + i)n . i
A = P . ----------------
		(1 + i)n - 1
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
Reforma:
	 		(1 + 0,08)10 . 0,08
VA = -10.000 . ----------------------- + 2.000 = 510 (viável)
			(1 + 0,08)10 - 1
Aquisição:
		 (1 + 0,08)10 . 0,08		 0,08
VA = -30.000 .---------------------- + 10.705 ----------------------- + 4.700 = 968 (viável) 
		 (1 + 0,08)10 – 1		(1 + 0,08)10 - 1
Pelo VA, ambas alternativas são viáveis, sendo a aquisição a melhor opção.
d)	Benefício / Custo (B/C). 
	 	
P = F / (1 + i )n
		
	 	(1 + i)n - 1
P = A . -------------------
		(1 + i)n . i
Reforma:
	 	 (1 + 0,08)10 - 1
B = 2.000 . ------------------------(1 + 0,08)10 .0,08
C = 10.000
B/C = 1,34 
Aquisição:
	 	 (1 + 0,08)10 - 1
B = 4.700. ------------------------ + 10.705 / (1 + 0,08)10
		 (1 + 0,08)10 .0,08
C = 30.000
B/C = 1,21 
	
Pelo B/C, ambas alternativas são viáveis, sendo a reforma a melhor opção.
e)	T.I.R (VPL = 0) 
P = F / (1 + i )n
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
Reforma:
		 		 (1 + i)10 - 1
0 = -10.000 + 2.000 . --------------------------- 
					(1 + i)10 . 0,08
TIR = 15,1% (Como, TMA = 8%, a opção é viável)
Aquisição:
		 		(1 + i)10 - 1
0 = -30.000 + 4.700 .------------------------ + 10.705 / (1 + i)10 
				(1 + i)10 . 0,08
TIR = 12% (Como, TMA = 8%, a opção é viável)
Pela T.I.R., ambas alternativas são viáveis, sendo a reforma a melhor opção.
f)	Análise Incremental da T.I.R (VPL = 0) 
	É necessária, sempre que os investimentos são diferentes.
P = F / (1 + i )n
	 	(1 + i)n - 1
P = A . ----------------
		(1 + i)n . i
Fluxo da (Aquisição – Reforma)
									10.705		
			(4.700	- 2.000) = 2.700
									2.700	
		0	1	2	3			10	
(30.000 – 10.000) = 20.000		
		 		(1 + i)10 - 1
0 = -20.000 + 2.700 .------------------------ + 10.705 / (1 + i)10 
				(1 + i)10 . 0,08
TIR = 10,7% (Como, TMA = 8%, a opção é viável)
Como a T.I.R., (Aquisição – Reforma) foi maior que a TMA, a aquisição é melhor opção que a reforma.
Comentário final sobre o problema:
Os métodos sempre indicam a melhor alternativa de investimento, do ponto de vista econômico.
As duas taxas de retorno do problema são superiores à taxa mínima de atratividade, portanto, são propostas atrativas. 
Como a TIR da reforma é maior que alternativa de compra, deveria ser dada preferência à primeira.
Entretanto, considerando que os investimentos de aquisição e reforma tem valores diferentes, procedimento correto da análise indica que deve-se fazer um exame da taxa interna de retorno incremental, calculada para o fluxo da diferença entre os investimentos das propostas.
A questão é: No caso do exemplo, será melhor aplicar $30.000 na alternativa de compra obtendo um retorno de 12% a.a. ou será mais interessante investir $ 10.000 na alternativa de reforma com um retorno de 15,1% e os $20.000 de diferença à taxa mínima de atratividade?
A análise incremental é um complemento necessário ao método da taxa interna de retorno na medida que se responde a este tipo de dúvida.
Como a T.I.R., (Aquisição – Reforma) foi maior que a TMA, deduz-se que a aquisição é melhor opção que a reforma.
�
III.3.5 – Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) e os fluxos de caixa que apresentam mais de uma inversão de sinal
Na maioria dos fluxos de caixa, há apenas uma mudança no sinal, isto é, o investimento inicial (sinal negativo) geralmente resulta numa �onseqüên de rendas líquidas ou economias de custo (sinais positivos). 
						
								
				
					
								
								
Esta situação normalmente leva a uma única solução.
	Entretanto, se ocorrer mais que uma inversão no sinal, surgirão outras taxas de retorno. Poderá haver tantas raízes positivas, quantas
são as mudanças na direção do sinal do fluxo de caixa.
Exemplo ilustrativo:
								10.000
		1.600
		
		0			1			2	
				10.000
O cálculo das taxas é obtido pela equação (VPL = 0):
0 = 1.600 – 10.000 x (1+ i) -1 + 10.000 x (1 +i) –2
Resolvendo esta equação chega-se a dois resultados:
i = 25% e i = 400%
As taxas não apresentam significado econômico.
A resolução apropriada para este problema requer a consideração de uma taxa de juros auxiliar (por exemplo TMA) e a formação de um fluxo equivalente, onde não se verifique mudanças de sinal.
Para o caso, para o fluxo anterior considerando-se que os $1.600 do período 0 sejam reinvestidos a uma taxa auxiliar de 20% por um período. 
								10.000
		
		
		0			1			2	
				
			-10.000 + 1.600 x (1+0,20)1 = -8.080
O fluxo de caixa passará a ter apenas uma inversão de sinal, conforme pode-se observar a seguir.
0 = -8.080 + 10.000 x (1+ i) –1
i = 23,8%.
III.4 – ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO COM VIDAS DIFERENTES
Existem casos em que se torna necessário decidir entre propostas de investimento cujos horizontes de planejamento são diferentes. 
A solução válida para este problema requer que todas as �onseqüências das alternativas sejam levadas para um horizonte de planejamento comum. 
Supõe-se, por exemplo, que se admita a alternativa mais curta poder ser substituída ao fim de seu período inicial por uma outra idêntica.
O procedimento comumente adotado para o caso de vidas diferentes é o seguinte:.
calcula-se o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas propostas.
repete-se os fluxos tantas vezes até atingir este tempo. Desta maneira compara-se alternativas de diferentes durações numa base temporal uniforme.
método do valor anual uniforme implicitamente já considera a repetição do investimento, tornando desnecessária a utilização do procedimento mencionado.
EXEMPLO III.2
Uma certa operação pode ser executada satisfatoriamente tanto pela máquina X como pela máquina Y. 
Os dados pertinentes às duas alternativas são os seguintes:
	
	MÁQUINA X
	MÁQUINA Y
	Custo Inicial
	$ 6.000
	$ 14.000
	Valor Residual
	0
	20% custo inicial
	Vida de serviços em anos
	12
	18
	Despesas anuais
	$ 4.000
	$ 2.400
Comparar as alternativas, pelo método do valor presente, supondo uma taxa mínima de atratividade de 12% ao ano.
Solução:
Máquina X:
		0	1	2	3			12	
						i = 12%aa
				4.000				4,000
		6.000
Máquina Y:						 2.800 = (20% . 14.000)
									
		0	1	2	3			 18	
									
						i = 12%aa
				2.400				2.400
		14.000
Resultados:
	Método
	MÁQUINA X
	MÁQUINA Y
	VA
	-4.968,61
	-4.280,89 (melhor opção)
	VPL
	-30.777,49 (melhor opção)
	-31.035,09
Comentário:
As opções pelos dois métodos deram diferentes, porque o tempo de vida útil são diferentes para as duas opções.
Neste caso, para aplicar o VPL, a solução é criar fluxos com o mesmo período, calculando-se como período o MMC entre as duas opções. (para o caso: 36 anos)
Os novos fluxos serão:
Máquina X:
		0	.	.	12	.	.	24	.	.	36
			
			4.000			4.000			4.000
	 6.000			 10.000		 10.000	
Máquina Y:
						2.800				 2.800
		0	.	.		.	18.		.	.	 36
			
			2.400						2.400
	 14.000				 16.400			
Resultados p/ novos fluxos (corrigidos p/ um mesmo período):
	Método
	MÁQUINA X
	MÁQUINA Y
	VPL
	-40.705 
	-35.070 (melhor opção)
�
CAPÍTULO IV – FINANCIAMENTOS
AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS
A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização de um investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes as empresas devem recorrer a empréstimos.
O valor desses empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser restituído à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros.
À forma de devolução do principal mais juros, chama-se de “sistema de amortização”. 
Os sistemas mais usados são:
IV.1	SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação Constante” 
É muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor.
Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a uma série uniforme “A”. 
A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de amortização aumenta com o tempo. 
	
				Juros
	Prestação					Amortizaçãon	
A prestação é a soma da amortização com os juros do período, ou seja:
pk = ak + jk
Onde:
pk 	= prestação no período k
ak 	= amortização no período k
jk 	= juros no período k
Os juros no período ( jk ) são calculados sobre o saldo devedor anterior:
jk = i . (saldo devedor) k-1
A prestação ( pk ) é calculada da seguinte forma:
pk = A (p/ um valor P, em um período n, a uma taxa i )
	 	(1 + i)n . 1
A = P . ----------------
		(1 + i)n – i
Onde P é o principal, ou seja, o valor do empréstimo.
As fórmulas do Sistema Francês de amortização são apresentadas no quadro abaixo:
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	P0 = P
	
	
	
	1
	P1 = P0 – a1
	p1 = A
	a1 = A – j1
	j1 = i . P0
	2
	P2 = P1 – a2
	p2 = A
	a2 = A – j2
	j2 = i . P1
	
	
	
	
	
	n
	Pn = Pn-1 – na = 0 
	pn = A
	na = A – jn
	jn = i . Pn-1
EXEMPLO IV.1
Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$1.000,00, a juros de 36% aa cm, com prazo de 4 meses, amortizável pelo Sistema Price em 4 prestações mensais.
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
Solução:
i = 36%aa cm = (36/12)%am cm = 3%am cm 
	 	(1 + i)n . i
A = P . ---------------- 
		(1 + i)n - 1
	 	 	(1 + 0,03)4 . 0,03
A = 1.000 . 	----------------------- = 269
			(1 + 0,03)4 - 1
j = 3% . 1.000 = 30
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	P0 = P
	
	
	
	1
	P1 = P0 – a1
	p1 = A
	a1 = A – j1
	j1 = i . P0
	2
	P2 = P1 – a2
	p2 = A
	a2 = A – j2
	j2 = i . P1
	
	
	
	
	
	n
	Pn = Pn-1 – na = 0 
	pn = A
	na = A – jn
	jn = i . Pn-1
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	1.000
	
	
	
	1
	761
	269
	239
	30
	2
	515
	269
	246
	33
	3
	261
	269
	254
	15
	4
	0
	269
	261
	8
�
IV.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
É o sistema normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo.
Neste sistema as amortizações (ak) constantes e calculadas da seguinte forma:
ak = P/n
P = Principal 
n = número de prestações.
Representação gráfica do SAC
				Juros
				
	Prestação					Amortização
											 n	
As fórmulas do SAC são apresentadas no quadro abaixo:
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	P
	
	
	
	1
	P – P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P
	2
	P – 2P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – i P/n
	
	
	
	
	
	n
	P – nP/n = 0
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – (n-1)iP/n
EXEMPLO IV.2
Elaborar a tabela financeira pelo Sistema SAC para o financiamento do exemplo anterior.
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
Solução:
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	P
	
	
	
	1
	P - P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P
	2
	P - 2P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – i P/n
	
	
	
	
	
	n
	P - nP/n = 0
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – (n-1)iP/n
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	1.000
	
	
	
	1
	750
	280
	250
	30
	2
	500
	272,5
	250
	22,5
	3
	250
	265
	250
	15
	4
	0
	257,5
	250
	7,5
O PERIODO DE CARÊNCIA
A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas instituições financeiras.
Durante o período de carência paga-se somente juros e o principal permanece inalterado, ou ainda, não se paga juros e estes são capitalizados acrescendo o principal.
EXEMPLO IV.3
Elaborar a tabela financeira pelo Sistema SAC para o financiamento do exemplo anterior, caso fosse concedido dois meses de carência.
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
Solução:
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	P
	
	
	
	1
	P - P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P
	2
	P - 2P/n
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – i P/n
	
	
	
	
	
	n
	P - nP/n = 0
	P/n + i.P
	P/n
	i.P – (n-1)iP/n
	Período
	Saldo Devedor
	Prestação
	Amortização
	Juros
	0
	1.000
	
	
	
	1
	1.000
	30
	0
	30
	2
	1.000
	30
	0
	30
	3
	750
	280
	250
	30
	4
	500
	272,5
	250
	27,5
	5
	250
	265
	250
	15
	6
	0
	257,5
	250
	7,5
�
IV.3 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Sistema Americano: Neste sistema paga-se apenas os juros e o principal é devolvido ao final do empréstimo.
Sistema de Pagamento Único: Neste caso, paga-se o juros e principal no final do empréstimo. É muito utilizado para financiamentos industriais de Capital de Giro. Nada mais é do que calcular F, conhecido P.
Pagamento Antecipado : Aqui os juros são cobrados antecipadamente e o principal é devolvido ao final do empréstimo. 
É uma forma conhecida de “aumentar” a taxa de juros efetiva cobrada por uma instituição financeira. Decididamente este não é um sistema correto sob o ponto de vista da matemática financeira. Para que um sistema seja correto o valor presente das prestações, descontado à taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal.
�
CAPÍTULO V – PONTO DE EQUILÍBRIO
V.1 – CONCEITOS
É o nível de produção onde ocorre o equilíbrio entre a receita total e os custos totais, a partir do qual a empresa passa a ter lucro. 
	
$
									RT
									CT
									
						Lucro
									CV
				
			PN
 Prej.									CF
									
			Q*						Q máx
PN = Ponto de Equilíbrio = Ponto de Nivelamento = “Break Even Point”
RT = Receita Total 
CT = Custo Total
CF = Custo Fixo
CV = Custo Variável 
Q = Quantidade 
p = preço de venda unitário
cv = custo variável unitário 
	
O ponto de equilíbrio ocorre quando (RT = CT):
RT = Receita Total = Q* . p
CT = Custo Total = CF + CV
CV = Q* . cv
Q* . p = CF + Q* . cv 			
Q* (p – cv) = CF
		 CF	
PN = Q* = -------------
		 (p – cv)
 
Exemplo:
Pizzaria:
Uma Pizzaria apresenta Custo Fixo de R$ 3.000,00/mês, O preço médio aplicado por unidade de pizza vendida é de R$ 14,00 e o custo médio de cada pizza é de R$ 8,00. Determinar a Quantidade mínima mensal de pizzas a serem vendidas para que a Pizzaria apresente lucro.
CF = R$ 3.000,00/mês
cv = R$ 8,00
p = R$ 14,00
	 CF			3.000
Q* = ------------- = ----------------- = 500 unidades
	 (p – cv)	 (14 - 8 )	
V.2 – VERIFICAÇÀO DE LUCRO X RENTABILIDADE
O lucro não considera a recuperação do Investimento;
Pode-se ter situação em que se tenha lucro sem que necessariamente se tenha rentabilidade. Exemplo: Ao comprar um apartamento por $ 100mil e alugá-lo a $ 10 há lucro porém não há rentabilidade;
A adequação da fórmula de Lucro para Rentabilidade pode ser feita através da Introdução de uma parcela p/ Recuperação do Investimento descontado o Valor Residual
EXEMPLO V.1
Observados os dados abaixo:
Investimento = R$ 100.000,00
Quantidade Máxima de Vendas Anual = 10.000 unidades
Preço unitário do produto = R$ 10,00 / unid.
Custo Fixo anual = R$ $ 20.000,00
Custo variável do produto = R$ 4,00 / unid.
Período do Projeto = 3 anos
Valor Residual no término do projeto = R$ 30.000,00
Taxa Mínima de Atratividade do Investidor = 10%aa
Pede-se:
Verificar se o Projeto é atrativo;
Qual a Quantidade mínima necessária de Venda do Produto para que se alcance a rentabilidade mínima.
Qual a Quantidade mínima necessáriade Venda do Produto para que se tenha lucro.
Analisar a situação quanto a rentabilidade e lucro.
	
	
	
	
	Período
	Fluxo
	
	Investimento =
	 100.000,00 
	
	
	0
	 (100.000,00)
	
	Quant. Venda Anual =
	 10.000,00 
	unidades
	
	1
	 40.000,00 
	
	Preço Unitário =
	 10,00 
	
	
	2
	 40.000,00 
	
	Custo Fixo Anual = 
	 20.000,00 
	
	
	3
	 70.000,00 
	
	Custo Variável Unit.=
	 4,00 
	
	
	
	
	
	Tempo=
	3
	anos
	
	V.Neg =
	R$ 122.013,52 
	
	Valor Residual = 
	 30.000,00 
	
	
	VPL =
	R$ 22.013,52 
	
	TMA =
	10%
	aa
	
	TIR =
	20,94%
	
	
	
	
	
	
	
	
	Item a
	
	
	
	
	
	
	Verificar se o Projeto é atrativo
	
	
	
	
	
	Considerando que VPL > 0 (TIR > TMA) o negócio é atrativo.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Item b
	
	
	
	
	
	
	Qual a Quant.mínima necessária de Venda do Produto para que se alcance a Rentabilidade mínima
	A Quantidade para se alcançar a Rentabilidade Mínima é aquela em que VPL = 0 (TIR = TMA)
	Ferramenta/atingir meta/definir célula(VPL) para valor(zero)/alternando célula(Qtd Venda)/Q=8.525
	
	Q =
	 8.524,67 
	
	
	
	
	Item c 
	
	
	
	
	
	
	Qual a Quantidade mínima necessária de Venda do Produto para que se tenha Lucro
	
	Q* = CF / (p - cv)
	
	
	
	
	
	
	
	CF =
	 20.000,00 
	
	
	
	
	
	p =
	 10,00 
	
	
	
	
	
	cv =
	 4,00 
	
	
	
	
	
	Q* =
	 3.333,33 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Item d
	
	
	
	
	
	
	Analisar a situação quanto a rentabilidade e lucro
	
	
	
	
	Adequação da fórmula de Lucro para Rentab. 
	
	
	
	
	Pode ser feita através da Introdução de uma parcela p/ Recuperação do Invest. Valor Residual
	
	Período
	Fluxo
	
	
	
	
	
	0
	 (100.000,00)
	
	
	
	
	
	1
	 - 
	
	TMA = 
	10%
	aa
	
	2
	 - 
	
	N = 
	3
	anos
	
	3
	 30.000,00 
	
	
	
	
	
	VPL = 
	(R$ 77.460,56)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	O Valor Anualizado do resultado acima pode ser obtido
	
	
	
	fx/financeira/PGTO/Taxa/N Per/VPL
	
	
	
	
	
	
	VA =
	R$ 31.148,04 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Q*adicional = CF / (p - cv)
	
	
	
	
	
	
	CF = VA
	R$ 31.148,04 
	
	
	
	
	
	p =
	 10,00 
	
	
	
	
	
	cv =
	 4,00 
	
	
	
	
	
	Q*adic. =
	 5.191,34 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Q* corrigido = Q* (lucro) + Q* (adicional)
	
	
	
	
	
	Q*corrig. =
	 8.524,67 
	
	
	
	
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Obs.:
Material extraído parcialmente da apostila de “Engenharia Econômica I”, autores Edson de Oliveira Pamplona e José Arnaldp Barra Montevechi, do curso ministrado pela FUPAI – Fundação de Pesquisa e Assessoramento da Industria em agosto/2.002do curso 
1. BUARQUE, Cristovam, Avaliação Econômica de Projetos. Rio de Janeiro, Editora Campus, 1984.
2. CASAROTTO FILHO, Nelson, KOPITTKE, Bruno H., Análise de Investimentos. São Paulo, Editora Atlas, 1996.
3. DE FARO. Clóvis, Matemática Financeira. São Paulo, Editora Atlas, 1982.
4. EHRLICH, Pierre J. Engenharia Econômica. São Paulo, Atlas, 1983.
5. FLEISCHER, Gerald A. Teoria da Aplicação do Capital. São Paulo, Edgard Blucher, 1973.
6. GOUVEIA, Nelson. Contabilidade. 2º ed. São Paulo, McGraw-Hill, 1982.
7. GRANT, Eugene et alli. Principles of Engineering Economy. New York, Ronald Press, 1976.
8. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. São Paulo, Atlas, 1992.
9. NEVES, César das. Análise de Investimentos. Rio de Janeiro, Zahar Editora, 1982.
10. OLIVEIRA, J.A. Nascimento. Engenharia Econômica: Uma Abordagem às Decisões de Investimento. São Paulo, McGraw-Hill, 1982.
11. PAMPLONA, E.O. Abordagem da Inflação na Análise Econômico - Financeira de Investimentos. Dissertação de mestrado, UFSC, 1984.
12. PAMPLONA, E.O., CAVALCANTI FILHO, A. Engenharia Econômica I. Apostila, 1987.
13. WALTER, Milton A. e BRAGA, Hugo R. Demonstrações Financeiras: um Enfoque Gerencial. São Paulo, Saraiva, 1981
14. WOILER, S. et alli. Projetos. São Paulo, Atlas, 1983.
15. BNDES. Roteiro para obtenção de financiamentos. 1996
�PAGE �1�