P1 de Álgebra (com gabarito)

Prévia do material em texto

Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica
UnED Itagua´ı
Engenharia Mecaˆnica
A´lgebra Linear 1 Turma: 2015-1 Data: 14/05/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
Questa˜o 1 - (1.5 pt)
Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, ~v ·~v1 = 8 e ~v ·~v2 = −3, sendo ~v1 = (3, 1,−2) e ~v2 = (−1, 1, 1).
Se ~v e´ ortogonal ao eixo Oy enta˜o ~v e´ ortogonal a ~e2 = (0, 1, 0) e vale que ~v · ~e2 = 0.
Logo, temos que ~v · ~e2 = (x, y, z) · (0, 1, 0) = y = 0. Ou seja, ~v = (x, 0, z).
Assim, devemos resolver o sistema{
~v · ~v1 = (x, 0, z) · (3, 1,−2) = 3x− 2z = 8
~v · ~v2 = (x, 0, z) · (−1, 1, 1) = −x+ z = −3 =⇒ x = 2 e z = −1
Portanto, =⇒ ~v = (2, 0,−1).
Questa˜o 2 - (1.5 pt)
Calcular o valor de m de modo que seja 1200 o aˆngulo entre os vetores ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−2, 1,m+1).
Por definic¸a˜o, temos que ~u · ~v = |~u| · |~v| · cosθ.
Como θ = 1200 temos que cosθ = −1
2
.
~u · ~v = (1,−2, 1) · (−2, 1,m+ 1) = m− 3
|~u| = √1 + 4 + 1 = √6
|~v| = √4 + 1 + (m+ 1)2 = √m2 + 2m+ 6
Logo,
m− 3 =
√
6 ·
√
m2 + 2m+ 6 ·
(
−1
2
)
=⇒ (m− 3)2 = 6 · (m2 + 2m+ 6) · 1
4
=⇒ 2(m2 − 6m+ 9) = 3(m2 + 2m+ 6) =⇒ 2m2 − 12m+ 18 = 3m2 + 6m+ 18
=⇒ m2 + 18m = m(m+ 18) = 0 =⇒ m = 0 ou m = −18
Questa˜o 3 - (2.0 pt)
Calcular o valor de m para que a a´rea do paralelogramo determinado por ~u = (m,−3, 1) e ~v = (1,−2, 2)
seja igual a
√
26.
Seja A a a´rea do paralelogramo determinado por ~u e ~v. Temos que A = |~u× ~v|, onde
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
m −3 1
1 −2 2
∣∣∣∣∣∣ = −6~i+~j − 2m~k + 3~k + 2~i− 2m~j = (−4, 1− 2m, 3− 2m)
Logo,
A = |~u× ~v| =
√
42 + (1− 2m)2 + (3− 2m)2 =
√
8m2 − 16m+ 26 =
√
26
=⇒ 8m2 − 16m+ 26 = 26 =⇒ 8m2 − 16m = 8m(m− 16) = 0 =⇒ m = 0 ou m = 2
Questa˜o 4 - (1.5 pt)
A reta r passa pelo ponto A(4,−3,−2) e e´ paralela a` reta
s :

x = 1 + 3t
y = 2− 4t
z = 3− t
BOA PROVA!!! 1
Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica
UnED Itagua´ı
Engenharia Mecaˆnica
A´lgebra Linear 1 Turma: 2015-1 Data: 14/05/2015 Prova: P1
Professor: Washington Santos Aluno: Nota:
Se P (m,n,−5) ∈ r, determinar m e n.
Observe que ~v = (3,−4,−1) e´ o vetor que da´ a direc¸a˜o de s, isto e´, ~v e´ paralelo a s. Como r e´ paralela
a s enta˜o temos que r e´ paralela a ~v.
Logo,
r :

x = 4 + 3t
y = −3− 4t
z = −2− t
P ∈ r =⇒

m = 4 + 3t (i)
n = −3− 4t (ii)
−5 = −2− t (iii)
De (iii) temos que t = 3. O que implica m = 13 e n = −15.
Questa˜o 5 - (3.5 pt)
Determinar uma equac¸a˜o geral do plano nos seguintes casos:
a) - (1.5 pt) O plano passa por A(2, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores
~u =~i−~j + ~k e ~v = 2~i+ 3~j
~w = ~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −1 1
2 3 0
∣∣∣∣∣∣ = 2~j + 3~k + 2~k − 3~i = (−3, 2, 5)
e´ ortogonal ao plano pi que passa por A(2, 0,−2). Assim, pi : −3x+ 2y + 5z + d = 0, onde
d = −[−3 · 2 + 2 · 0 + 5 · (−2)] = −(−6− 10) = 16
Logo,
pi : −3x+ 2y + 5z + 16 = 0 ou pi : 3x− 2y − 5z − 16 = 0
b) - (2.0 pt) O plano conte´m a reta
r :

x = 2 + t
y = 1− t
z = 3 + 2t
e e´ perpendicular ao plano pi1 : 2x+ 2y − 3z = 0.
Observe que A = (2, 1, 3) ∈ pi e ~u = (1,−1, 2) e ~v = (2, 2,−3) sa˜o paralelos a pi
~w = ~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −1 2
2 2 −3
∣∣∣∣∣∣ = 3~i+ 4~j + 2~k + 2~k − 4~i+ 3~j = (−1, 7, 4)
e´ ortogonal ao plano pi que passa por A(2, 1, 3). Assim, pi : −x+ 7y + 4z + d = 0, onde
d = −(−1 · 2 + 7 · 1 + 4 · 3) = −(−2 + 7 + 12) = −17
Logo,
pi : −x+ 7y + 4z − 17 = 0 ou pi : x− 7y − 4z + 17 = 0
BOA PROVA!!! 2