Provas - Teoria dos Conjuntos

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4105 A		Teoria dos Conjuntos		Prof. Hércules
P2 30/11/2012
1) [2,0] Dadas as operações #, abaixo, definidas sobre ℝ, verificar para cada uma se é associativa, comutativa e se tem elemento neutro:
(i) x # y = 
 Trab. exercício 33 (i)
(ii) x # y = x + y – x.y. Trab. exercício 31 (ii)
2) [2,0] (i) Dar uma definição precisa de operação binária e apresentar um exemplo; Apos. p. 53
	(ii) Seja ∗ a operação sobre ℝ³ definida por: 
(x, y, z)∗(w, t, u) = (x.w, y.t, z.u).
Mostrar que ∗ é associativa e tem elemento neutro. Quais são os elementos simetrizáveis de ∗? Trab. exercício 32
3) [2,0] Mostrar que: a é transitivo  P(a) é transitivo. Apos. p. 74, exercícios 8 e 9
4) [2,0] (i) Definir os números inteiros ℤ a partir dos números naturais ℕ; Apos. p. 75
	(ii) Dar um exemplo de conjunto não transitivo. Apos. p. 64
5) [2,0] Sejam a = [(m, n)], b = [(p, q)]  ℤ (m, n, p, q  ℕ). A multiplicação de dois inteiros a = [(m, n)] e b = [(p, q)] é definida por:
a.b = [(m, n)].[(p, q)] = [(m.p+nq, mq+np)].
(i) Mostrar que se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0; Apos. p. 80 (vi)
(ii) Mostrar que a divisão não é uma operação em ℤ. Contra-exemplo
Boa Prova!
4105 A		Teoria dos Conjuntos		Profs. Hércules e Luiz henrique
P3 24/11/2011
1) [2,5] Mostrar que: D ( (A(B) ( (D ( A) ( (D ( B).
2) [2,5] Mostrar que R é uma relação de equivalência se, e somente se, a sua inversa R-1 também é uma relação de equivalência.
 3) [2,5] Dado o conjunto dos números racionais ℚ e B = {x ( ℚ : -4 ( x < 1/3}, determinar em ℚ, caso existam, o máximo e mínimo, os limitantes superiores e inferiores, o supremo e o ínfimo, o maximal e o minimal de B.
4) [2,5] Dada a relação S = {(x, y) ( ℝ(ℝ : 2x+3y-12 ( 0}. Fazer um gráfico da relação, determinar o seu domínio e imagem. Então, descrever a relação S-1 e apresentar o seu gráfico de S-1.
5) [2,5] Seja # uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x tem um simétrico segundo #, então ele é único.
6) [2,5] Definir:
(i) sucessor e número natural;
(ii) número inteiro.
7) [2,5] Mostrar que o conjunto a é transitivo see a ( P(a).
8) [2,5] Sejam a = [(r, s)] e b = [(t, u)] dois números racionais.
(i) Indicar como é feita a multiplicação de a e b e o elemento neutro desta multiplicação;
 (ii) Mostrar que se a é diferente do zero de ℚ, então existe b ( ℚ tal que a.b = 1. Como chama-se este elemento b?
Boa Prova!
		
4105 A		Teoria dos Conjuntos		Prof. Hércules
P3 07/12/2012
1) [1,5] (i) Usando a álgebra dos conjuntos, verificar que: (AB)B = AB
	(ii) Mostrar que A  B  AB = A.
2) [1,5] Dado o conjunto dos números racionais ℚ e B = {x  ℚ : -5  x < 1/2}, determinar em ℚ, caso existam, o máximo e mínimo, os limitantes superiores e inferiores, o supremo e o ínfimo, o maximal e o minimal de B.
3) [2,0] Sejam f, g: ℝ  ℝ duas funções reais definidas por f(x) = x2 +1 e g(x) = 1 - x. Calcular fog(x) e gof(x). Fazer o gráfico de fog(x) e determinar a sua imagem. A composição de funções reais é uma operação comutativa? Explicar. Quem seria o elemento neutro da composição de funções?
4) [1,5] Dada a seguinte operação sobre ℝ: x#y = 
 verificar se:
	(i) a operação # é comutativa
	(ii) a operação # é associativa
	(iii) a operação # tem elemento neutro.
5) [2,0] Definir sucessor de um número natural e número inteiro.
6) [1,5] Sejam a = [(r, s)] e b = [(t, u)] dois números inteiros:
(i) indicar como é feita a soma e a multiplicação de a e b em ℤ;
(ii) quem são os elementos neutros da soma e da multiplicação de ℤ?
(iii) calcular x tal que a + x = b.
Boa Prova!
		
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