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LISTÃO PROVA COLEGIADA 
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 Cálculo Integral 
 
 
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Questões subjetivas 
1. A área da região de uma região está à direita do eixo e à esquerda da 
parábola (a região sombreada na figura). Imagine que esta região 
representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemos 
afirmar que tal área é:. 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
(D) 
2. De uma chapa metálica de de área, foi recortado um molde de uma 
peça para uso industrial. A parte hachurada da figura abaixo representa a 
sobra da peça metálica após a retirada do moldete. Determine a quantidade em 
 da sobra desta peça. 
 
 
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2 
 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
3. A função que descreve a velocidade de uma partícula é dada em metros por 
segundo por . Considerando o movimento desta partícula no 
intervalo de segundos é possível determinar seu deslocamento neste 
intervalo. Sendo assim podemos afirmar que este deslocamento (em metros) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Considerando a mesma função velocidade dada no exercício anterior, é 
possível determinar também a distância percorrida pela partícula. Lembrando 
que a distância percorrida não considera apenas as posições final e inicial da 
partícula, a distância, em metros, que a partícula percorreu foi de: 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
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3 
 
5. A função aceleração e a velocidade inicial de uma partícula 
movendo-se ao longo de uma reta são descritas respectivamente por: 
 e num intervalo de a segundos. Podemos afirmar 
que a função que descreve a velocidade da partícula no instante é: 
(A) 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
6.Considerando os dados da questão anterior podemos afirmar que a distância 
percorrida durante o intervalo dado é de: 
(A) 
 
 
 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
 
 
7. Durante um intervalo de 0 a 3 segundos, uma partícula move-se em linha 
reta e sua aceleração instante é dada pela função . 
Sabendo que a velocidade inicial da partícula é , a função que 
descreve sua velocidade no instante é descrita por: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
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8. A distância percorrida no intervalo de a segundos da partícula do 
exercício anterior em metros é de: 
(A) 
 
 
 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
 
 
9. A densidade linear de um objeto é dada pela razão entre sua massa e seu 
comprimento linear. Para um barra de de comprimento, a densidade linear, 
 é dada pela expressão: medida em quilogramas por 
metro, onde é a medida em metros a partir de um extremo da barra.Sendo 
assim, a massa total desta barra é: 
(A) 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
10. A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de 
 litros por minutos, onde . Encontre a quantidade de 
água que flui do tanque durante os primeiros dez minutos. 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
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11. A função custo marginal de uma empresa é representada por onde 
 onde representa o número de peças produzidas sendo . 
Considerando , podemos afirmar que a função que representa o 
custo total da produção de unidades é dada por: 
(A) 
(B) 
 
 
 
 
 
 
(C) 
(D) 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um pesquisador estima que horas após a meia-noite, em um período 
típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada, em graus Celsius, 
pela função: 
 
 
 , sendo . A temperatura média na 
cidade entre 6h da manhã e 4h da tarde é: 
(A) a temperatura média no período é 5,22 . 
(B) a temperatura média no período é − 5,22 . 
(C) a temperatura média no período é − 24,4222. 
(D) a temperatura média no período é 24,4222. 
 
13. Os registros mostram que meses após o início do ano, o preço, em reais, 
de um determinado produto vendido nos supermercados a granel foi 
representado por: o quilo. O preço médio deste 
produto durante os 3 primeiros meses do ano foi de: 
(A) 1,56 reais 
(B) 4,70 reais 
(C) 1,57 reais 
(D) 4,71 reais 
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14. Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma cultura 
após minutos foi . O número médio aproximado de bactérias 
presentes nesta cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento é: 
(A) 10.272 
(B) 2.272 
(C) 2.275 
(D) 10.273 
15. A temperatura , em graus, em qualquer ponto de uma placa plana é: 
 
 
 
 
Se a distância for medida em centímetros, a taxa de variação da temperatura 
em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos 
positivos e , respectivamente, no ponto (3,1) é: 
(A) 
(B) 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
16. As dimensões de uma caixa retangular são e , e as 
medidas são corretas até . O valor aproximado do erro máximo 
cometido no cálculo do volume desta caixa a partir das medidas dadas é: 
(A) 9,38 cm3 
(B) 9,00 cm3 
(C) 8,00 cm3 
(D) 8,38 cm3 
 
 
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17. Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem 
altura interna de 6 cm, raio interno de 2cm, a espessura de 0,1 cm. Se o custo 
do metal a ser usado é de R$ 10,00 o centímetro cúbico, o custo aproximado 
do metal que será empregado na produção do recipiente é: 
(A) R$ 200,34 
(B) R$ 120,32 
(C) R$ 100,53 
(D) R$ 190,34 
18. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como e 
 , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, . 
Podemos utilizar os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no 
cálculo da área do retângulo que será de: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
19. Uma caixa retangular com tampa tem sua superfície total de . Uma 
empresa usará esta caixa para o estoque de um de seus produtos e para isso 
pretende encontrar as dimensões desta caixa, em centímetros, quando seu 
volume atinfir seu valor máximo. Podemos afirmar que tais dimensões 
correspondem a: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
d) 
 
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20. Uma peça mecânica será construída e seu formato é obtido através da 
revolução da curva em torno do eixo , no intervalo . 
Considerando e expressos em centímetros, o volume desta peça em é: 
(A) 
(B) 
(C) 
 
 
 
(D) 
21 - Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade 
 onde v é medida em metros por segundo. A distância percorridapela partícula durante o intervalo [0,5] corresponde, aproximadamente, a: 
(A) 29,2 m 
(B) 54,2 m 
(C) 100 m 
(D) 150 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 - A curva que descreve a parte frontal de um túnel é dada por: 
 – . A figura mostra este túnel no sistema cartesiano considerando o chão 
sobre o eixo . 
 
Podemos afirmar que a área desta parte frontal do túnel é: 
 
(A) 
(B) 
(C) au.3
20
 
(D) au.3
32
 
 
23 - Uma mina produz mensalmente 500 toneladas de um certo minério. 
Estima-se que o processo extrativo dure 30 anos (360 meses) a partir de hoje e 
que o preço por tonelada do minério daqui a t meses seja 
 unidades monetárias. Qual a receita (em reais) será gerada pela 
mina ao longo dos 360 meses? 
(A) 1000000 
(B) 300240000 
(C) 500000 
(D) 20000000 
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24 - De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão a temperatura e o volume 
de um gás estão relacionados por 
V
KT
P 
, sendo K uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que V é medido em polegadas cúbicas pol3, T é 
medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de 
proporcionalidade é k = 10 pol.lb/K. Determinar, em 
Kpol
lb
.2
 a taxa de variação 
instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o 
volume permanecer fixo em 50 pol3. 
(A) 
25
8
 
(B )
50
1
 
(C) 
250
1
 
(D) 5
1
 
25. Uma peça será produzida através da rotação da regiao limitada pelas 
curvas , em torno do eixo y. Para calcular o preço da fabricação 
desta peça é necessário saber a quantidade de matéria prima que sera 
utilizada. Sendo assim podemos afirmar que o volume da peça, em unidades 
de volume é: 
(A) 
 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
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26 - Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Para 
minimizar a quantidade de papelão utilizado, devemos ter comprimento, largura 
e altura da caixa, respectivamente, iguais a: 
(A) 40cm, 40cm, 20cm 
(B) 40cm, 40cm, 40cm 
(C) 20 3 4 cm, 203 4 cm, 203 4 cm 
(D) 20cm, 40cm, 40cm 
27 - Na figura abaixo, a curva q = f (p) é a função de demanda de um produto. 
Para um nível de preço p0, o consumo é q0. Aumentando-se o preço, a 
quantidade procurada diminui, isto é, apenas parte dos compradores está 
disposta a pagar o novo preço. A área sombreada na figura representa o 
excedente do consumidor, ou seja, o total procurado pelos compradores 
quando o preço se desloca a partir de p0. 
 
O excedente do consumidor para um produto cuja demanda é dada pela 
função – para p variando no intervalo de [1, 4] é 
(A) 14. 
(B) 18 
(C) 27 
(D) 64. 
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28 - Na construção de um espaço de lazer, ou seja um parquinho para crianças 
num condomínio, um engenheiro se depara com a necessidade de calcular a 
área existente entre duas curvas. A primeira curva é dada por: y = 1 – x2 e a 
segunda é dada por y = -3. Ao apresentar os cálculos da área a ser construída, 
o engenheiro errou os cálculos e apontou como resposta 12m2 . Quantos 
metros ele calculou a mais. 
(A) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1, 67m2 
(B) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1,33m2 
(C) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 4 m2 
(D) ele aumentou a área a ser construída em aproximadamente 1 m2 
 
 
 
29 - (ENADE-2011) Considere a função f : R 

 R definida por 
 – , para cada x 

 R. A área da região limitada pelo gráfico da 
função , o eixo e as retas e é igual a: 
(A) 
15
38
unidades de área 
(B) 
15
16
unidades de área 
(C) 
15
44
unidades de área 
(D) 
15
60
unidades de área 
 
 
 
 
 
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30 - Suponha que a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um 
eixo seja , medida em metros por segundo. A velocidade média 
da partícula no intervalo de 1 segundo a 4 segundos é de: 
 
(A) 
sm /
4
789
 
(B) 
sm /
4
263
 
(C) 
sm /9
 
(D) 
sm /
2
199
 
 
31 - Consideremos um sólido metálico no qual a temperatura (em graus 
Celsius) em um de seus pontos é dada por 
2221
),,(
zyx
xyz
zyxT


. 
A taxa de variação da temperatura com relação a coordenada é dada por: 
(A) 
2222
222
)1(
)1(
zyx
xzyyz

 
(B) 
2222
222
)1(
)31(
zyx
xzyyz

 
(C) 
x
yz
2
 
(D) 
22221 zyx
yz

 
 
 
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32 - Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução, em torno 
do eixo , do gráfico de 
 
 
 entre e . Podemos afirmar que o 
volume desta tigela é: 
 
(A) 5 unidades cúbicas 
(B) 

6
125
unidades cúbicas 
(C) 
3
310 unidades cúbicas 
(D) 2 unidades cúbicas 
 
33 - Temos que o coeficiente angular de uma curva é obtido 
através de sua derivada, isto é, . Se uma determinada curva tem 
como coeficiente angular e passa pelo ponto P(4,2), podemos 
dizer que esta curva tem por lei a função: 
304)()( 3  xxfA
 
x
xfB
3
)()( 
 
34)()( xxfC 
 
2
213
)()( 
x
xfD
 
34 - A aceleração de uma partícula obedece à equação 
determine a equação velocidade da partícula, sabendo que : 
 – 
 
 
 
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35 - Um pintor deve pintar uma placa cuja forma é definida pelas curvas 
 , x = 0 e x = 1. Para calcular a quantidade de tinta necessária, ele 
teve que calcular a área da placa. Qual dos seguintes valores ele encontrou 
para essa área? 
(A) 
2
5
 
(B) 
2
3
 
(C) 
5
2
 
(D) 
4
1
 
 
36 - Ao construir um parquinho a empresa responsável pela execução do 
projeto tem que se preocupar com a fixação de alguns brinquedos. Entre eles, 
um brinquedo que imita um sólido de revolução gerado pela região limitada 
pela parábola cúbica , pelo eixo vertical e pela reta que gira em 
torno do eixo vertical. O engenheiro com o intuito de saber quantos metros de 
areia deve ser colocado no parquinho necessita saber o volume deste 
brinquedo quando rotacionado em torno do eixo vertical. (use π = 3,14) 
(A) Aproximadamente 50 m3 
(B) Aproximadamente 64 m3 
(C) Aproximadamente 512 m3 
(D) Aproximadamente 60 m3 
 
 
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37 - A igreja de São Francisco de Assis, cartão postal de Belo Horizonte, 
localiza-se no conjunto arquitetônico da Lagoa da Pampulha. Marco do 
Modernismo, ela foi projetada por Oscar Niemeyer e construída durante o 
governo de Juscelino Kubistchek a frente da Prefeitura Municipal. Foi também 
alvo de polêmica, visto que Dom Cabral recusou-se a consagrá-la ao usoeclesiástico, considerando-a apenas um galpão. Com painéis de azulejos de 
Portinari e jardins de Burle Marx, tem a sua vista frontal construída como um 
arco de parábola. 
 
 
Considere, por suposição, que o arco de parábola que modela tal construção 
tenha equação 
 
 
 , no intervalo real em que as ordenadas são 
positivas, com e medidos em metros. O cálculo da área da fachada da 
igreja, segundo esta função resulta em: 
(A) 
2
3
392
m
 
(B) 
(C) 
2
3
1568
m
 
(D) 
2
3
1120
m
 
 
 
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38 - Um engenheiro estuda o comportamento de um gás ideal, ao se expandir 
passando por pequenos orifícios, fenômeno denominado de efusão gasosa. Ao 
realizar um experimento, o engenheiro constata que o vazamento de gás a alta 
pressão, através de um orifício de um cilindro de alumínio, é modelado pela 
função , em que representa o vazamento instantâneo de gás 
em um determinado instante de tempo . Calculando o vazamento médio entre 
os instantes e , este engenheiro encontrou o valor: 
(A) 
2
1
1
e

 
(B) 
2
2
2
e

 
(C) 
1
1
2

e
 
(D) 
2
2
2

e
 
 
39 - A tensão V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à 
medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar 
com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para encontrar 
como a corrente I está variando no momento em que , I=0,08A, 
 
 
 e 
 
 
 . 
(A) – 1 A/s 
(B) 10 A/s 
(C) -0,000031 A/s 
(D) – 0,1 A/s 
 
 
 
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40 - Maria quer armazenar água para o período de seca. Preocupada com a 
situação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela 
rotação da região abaixo em torno do eixo y e obteve: 
 
Determine o volume de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame: 
 
(A) unidades de volume 
(B) 
8
unidades de volume 
(C) 

3
16
 unidades de volume 
(D) unidades de volume 
 
 
41 - Uma mancha de óleo tem formato retangular. A que taxa está variando a 
área da mancha de óleo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 
uma taxa de 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros está crescendo a 
uma taxa de 2 m/s. 
 
(A) 36 
(B) 6 
(C) 48 
(D) 34 
 
 
 
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42 - (Cesgranrio 2012, Engenheiro de Petróleo) A figura a seguir mostra uma 
parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x3 e g(x) 
= x2. A parte pintada representa a região do plano R2 em que , 
com . Se o quadrado formado pelos pontos (0,0) ; (0,1); (1,1) e (1,0) tem 
área igual a 1 unidade de área, quantas unidades de área tem a região pintada 
? 
 
(A) 
12
1
 
(B) 
6
1
 
(C) 
5
1
 
(D) 
4
1 
43 - Se uma partícula se move ao longo de uma reta com velocidade igual a 
v(t) = t e- t m/s após t segundos, então a distância percorrida durante o 
primeiros 5 segundos é: 
(A) 4e- 5 + 1 
(B) - 6 e- 5 -1 
(C) - 6 e- 5 + 1 
(D) - e- 5 
 
 
 
 
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44 - Um tanque contém 25g de sal dissolvido em 100 litros de água. Uma 
solução de sal em água, com 1/4 g de sal por litro entra no tanque a uma vazão 
de 3 litros por minuto e a solução do 
tanque, bem misturada, sai com a 
mesma vazão. 
Considerando todos os dados 
relatados acima encontrou-se a 
expressão que dá a quantidade de 
sal Q(t) no tanque no instante t que 
é: 
 
 
 
 
Determine o valor médio da quantidade sal neste tanque, nos primeiros 10 
minutos. 
Sabe-se que o valor médio de uma função em um intervalo [a,b] é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
 
 
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45 - Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica 
maciça que corresponde ao solido gerado pela revolução da região sob a 
função , no intervalo [1,2] em torno do eixo x, sendo assim 
determine o volume desta peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 – Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada 
pela função , sendo t dado em segundos e a velocidade em 
metros por segundo. Se a posição do corpo no instante 0 seg é 1 m, a função 
posição dessa partícula será: 
(A) 
ttts 43)( 2 
 
(B) 
1
3
2
4
)(
34
 t
tt
ts
 
(C) 
1
3
2
4
)(
34

tt
ts
 
(D) 
12
7
3
2
4
)(
34
 t
tt
ts
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
47 - Uma área de lazer localizada em um condomínio está limitada pelas 
curvas – e 
 , como mostra a figura abaixo. O valor da área da região 
sombreada na figura corresponde a 
 
(A) 
3
22
 
(B) 
3
32
 
(C) 
3
58
 
(D) 
3
104
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
48 - Uma estufa para cultivo de hortaliças foi dimensionada com uma 
configuração esférica. Foram instalados três sensores de temperatura, dois nos 
pontos A (1, 7, 2) e B(2, 4, 2) e o terceiro no centro da esfera como mostra a 
figura abaixo. 
 
A distância entre o os sensores C e B é de: 
(A) 5 unidades de comprimento 
(B)
10
unidades de comprimento 
(C) 9 unidades de comprimento 
(D) 3 unidades de comprimento 
 
49 - Um reservatório de água apresenta um pequeno vazamento na sua parte 
inferior. Água flui do fundo do reservatório a uma taxa de 
ttr 4200)( 
 litros 
por minuto onde 
500  t
 minutos. Mantida esta taxa, qual o volume de água, 
em litros, que flui do reservatório nos primeiros 10 minutos? 
(A) 1800 
(B) 1600 
(C) 180 
(D) 160 
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24 
 
 
50 - A temperatura em um ponto é medida em graus Celsius. Um 
inseto rasteja de modo que sua posição depois de segundos seja dada por 
 
 
 
 onde e são medidos em centímetros. A função 
temperatura satisfaz e Quão rápido a temperatura 
aumenta no caminho do inseto depois de três segundos? 
(A) 2 ºC/s 
(B) 4 ºC/s 
(C) 8 ºC/s 
(D) 17 ºC/s 
 
51 - Sabendo-se que a construção de um funil é baseada na rotação da curva 
2
4
1
xy  sob o eixo dos x e limitada pelas retas x = 1 e x = 4, sendo cm a 
unidade de comprimento usada no eixo x. Qual o volume de líquido necessário 
para preencher o funil caso este esteja fechado? Considere π =3,14. 
 
(A) 40,15 cm3 
(B) 12,79 cm3 
(C) 3,0 cm3 
(D) 5,25 cm3 
 
 
 
 
 
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25 
 
52 - Um fornecedor de peças para a indústria automobilística projetou uma 
peça para determinado modelo de veículo conforme a figura abaixo – constitui-
se de uma região delimitada pelos eixos x e y e pelo gráfico da função 
29)( xxfy 
. 
 
 
 A área da peça é: 
(A) 
9
 unidades de área. 
(B) 
18
 unidades de área. 
(C) 
24
 unidades de área. 
(D) 
27
 unidades de área. 
53. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 cm/s ao passo 
que sua altura está decrescendo à uma taxa de 2,5 cm/s. A que taxa o volume 
do cone está mudando quando o raio vale 120 cm e aa altura 140 cm? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
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26 
 
54. A voltagem em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à 
medida que a bateria se descarrega. A resistência está aumentando devagar 
com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, , para achar 
como a corrente está variando no momento em que , , 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
55. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de , e 
a temperatura é elevada à taxa de . Utilize a equação para 
achar aproximadamente a taxa de variação do volume quando a pressão é 
 e a temperatura é de . 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
 
 
 
 
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27 
 
Questões subjetivas 
 
1. Considere que a taxa de crescimento de uma criança em quilogramas por 
ano é denotada por . Como podemos expressar o ganho de massa desta 
criança entre 5 a 10 anos? 
 
2. A corrente elétrica de um fio condutor é definida como a derivada da 
quantidade de carga, ou seja, . Supondo que, em certo circuito uma 
corrente varia com o tempo de acordo com a função 
 
 
. Determine 
a quantidade de carga transportada neste circuito entre um intervalo de e 
 segundos. 
 
3. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade 
 
onde é medida em metros por segundo. Determine: 
(a) o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo . 
(b) a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 
. 
4. Uma colméia com uma população inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa 
de abelhas por semana. Com o uso da integral, podemos expressar o 
número total de abelhas nesta colméias após 15 dias por: 
 
 
 
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28 
 
5. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de forma que sua velocidade 
em cm/s seja representada por v . Após decorridos um tempo em segundos 
representado por t, a velocidade é expressa por: 
 
 
 
 
 
A fórmula da distância percorrida pela partícula do instante ao instante 
 é: 
 
6. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A 
figura mostra os gráficos de suas velocidades. 
 
a) Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique. 
b) Qual o significado da área da região sombreada? 
c) Qual carro estará na frente após 2 segundos? 
d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado. 
 
 
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29 
 
7. Uma partícula de massa que se move através de um fluido está submetida 
a uma resistência devido à viscosidade, a qual é função da velocidade . A 
relação entre a resistência , a velocidade e o tempo está dada pela 
equação a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha-se que para um determinado fluido, onde é dado em 
Newtons e em . Sendo e , estime o 
tempo requerido para que a partícula diminua sua velocidade para . 
 
8. A temperatura em um ponto é , medida em graus Celsius. Um 
inseto rasteja de modo que sua posição depois de segundos seja dada por 
 , e 
 
 
 , onde e são medidas em centímetros. A função 
temperatura satisfaz e . Quão rápido a temperatura 
aumenta no caminho do inseto depois de ? 
 
9. A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de , e 
a temperatura é elevada à taxa de . Sabendo que para um mol de gás 
ideal a pressão , o volume e a temperatura , estão relacionadas através da 
fórmula , encontre a taxa de variação do volume quando a pressão 
é de e a temperatura é de . 
 
10. Um engenheiro deseja encontrar três medidas (números positivos) de modo 
que o produto entre elas seja máximo considerando que a soma das mesmas é 
100 u.c. A medida de cada uma destas medidas é de? 
 
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30 
 
11 - Uma equação que descreve o crescimento de uma população é descrita 
por: 
 
 
 
 
 
 
Na busca da solução desta equação, a mesma pode ser escrita como: 
 
 
 
O método de resolução desta equação envolve o cálculo da integral em ambos 
os lados desta equação. 
Desenvolva a integral apenas do termo do lado esquerdo da Eq. 2: 
 
 
12 - Um reservatório deve ser dimensionado para uma capacidade de 
310m
 e 
deve ter a forma de um parabolóide de revolução, observe a figura abaixo. 
Desta maneira, qual deve ser o valor de C? 
 
 
 
 
 
 
13 - Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de . No 
instante , a partícula passava pela marca da trajetória, com 
velocidade de . 
A. Determine a velocidade da partícula em função do tempo. 
B. Determine a posição da partícula em função do tempo. 
C. Determine o tempo necessário para que a partícula passe pela 
marca de 103,75 cm. 
y 
 
y 
 
 C x 
y = x2 
 x =
y
 
x 
 
 
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31 
 
 
14 - Deseja-se conhecer o volume um tanque com 3 metros de profundidade e 
sua forma determinada pela revolução da função em torno do eixo y. 
Use a integral para determinar o volume. 
15 - Um reservatório de água, com 2m de altura, tem o formato mostrado na 
figura a seguir que foi obtida girando-se a curva em torno do eixo y. 
 
Encontre o volume total de água suportado pelo reservatório. 
16– Estima-se que daqui a t meses a população de um pequeno bairro estará 
variando a uma taxa de 
t
dt
dP
62
 pessoas por mês. A população atual do 
bairro é de 5000 pessoas. Qual será a população deste bairro daqui a 9 
meses? 
 
17 - Um fabricante estima que o custo marginal para produzir 
q
 unidades de 
um certo produto é dado por 
400603 2  qq
dq
dC
 reais por unidade. O custo 
para produzir as 2 primeiras unidades é de R$ 900,00. Determine o custo total 
para produzir as 12 primeiras unidades. 
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32 
 
18 - Um reservatório tem a forma de um parabolóide de revolução obtido 
girando-se o gráfico de em torno do eixo y. Determine o volume de 
água no instante em que seu nível está a 4 metros de altura em relação ao 
solo.19 - A posição é dada pela integral da velocidade. Um móvel se desloca e tem 
sua velocidade dada por . Calcule sua função de posição, 
sabendo que instante 
 
 
 sua posição era 
 
20- A lei dos gases ideais é a equação de estado do gás ideal, um gás 
hipotético formado por partículas pontuais, sem atração nem repulsão entre 
elas e cujos choques são perfeitamente elásticos (conservação do momento e 
da energia cinética). Os gases reais que mais se aproximam ao 
comportamento do gás ideal são os gases monoatômicos em condições de 
baixa pressão e alta temperatura. Empiricamente, observam-se uma série de 
relações entre a temperatura, a pressão e o volume que dão lugar à lei dos 
gases ideais, deduzida pela primeira vez por Émile Clapeyron, em 1834. 
A lei de um gás ideal confinado é P V = k T, onde P é a pressão, V é o volume, 
T é a temperatura e 
 k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de 2 graus/min e a 
pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certo instante, a temperatura é 
de 200 graus e a pressão é de 10 kg/cm2, ache a razão com que varia o 
volume para k = 8. 
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33 
 
Respostas 
Questões objetivas 
1) A 2) D 3) B 4) D 
5) C 6) A 7) B 8) D 
9) C 10) B 11) A 12) B 
13) C 14) B 15) A 16) B 
17) C 18) C 19) A 20) C 
21) A 22) D 23) B 24) D 
25) A 26) A 27) C 28) B 
29) D 30) B 31) A 32) D 
33) A 34) B 35) C 36) D 
37) A 38) A 39) C 40) B 
41) D 42) A 43) C 44) B 
45) A 46) B 47) B 48) D 
49) A 50) A 51) A 52) B 
53) B 54) A 55) D 
Questões subjetivas 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
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34 
 
4) 100 + 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
6) a) O carro A pois a área sob a curva A é maior que a área sob a curva B. 
b) A área da região sombreada tem valor numérico SA – SB, que é a distância 
em que A está a frente de B depois de 1 minuto. 
c) Depois de dois minutos, o carro B está viajando mais rápido do que o carro A 
e sendo assim ganhou uma certa distância em comparação com o carro A, mas 
a área sob a curva de A a partir de t = 0 a t = 2 é ainda maior do que a área 
correspondente à curva de B, e então o carro A ainda está a frente de B 
d) Em aproximadamente 2,2 minutos. 
7) Em aproximadamente 2,6197 segundos. 
8) 
9) Aproximadamente 
10) 
 
 
 
11) 
 
 
 
12) 
 
 
 
13) a) b) c) 7,5 segundos 
14) 15) 
 
 
 16) 5.126 pessoas 
17) R$ 2420,00 18) 19) 
20) 
min/
5
32 3cm