Anéis Booleanos

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Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
Departamento de Matemática
Monografia sobre Anéis Booleanos e o
Anel das partes de um conjunto
ALEX SANDRO FARIA MANUEL
RA 078427
MM 445 - Anéis e Corpos
Professor: Dr. Fernando Torres
Outubro de 2013
Campinas - SP
Sumário
1 Anéis Booleanos 2
1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Lemas e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Anel Booleano x Álgebra Booleana 6
2.1 Álgebra Booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Conjunto das Partes de um conjunto 8
3.1 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Lemas e Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Referências Bibliográficas 12
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Capítulo 1
Anéis Booleanos
1.1 Definições
Definição 1.1. Um anel R é chamado de Anel Booleano se todos os seus elementos são
idempotentes, isto é, ∀x ∈ R, x2 = x.
Observação 1.1. Seja R um anel Booleano, então car(R)=2.
Demonstração. Seja x ∈ R. Então x2 = x e (x+x)2 = x+x⇒ x2+x2+x2+x2 = x+x logo
x+ x+ x+ x = x+ x⇒ 2x = 0. Então, car(R)=2. Segue então que x = −x, ∀x ∈ R
Observação 1.2. Se um anel R é Booleano, então R é comutativo.
Demonstração. Sejam x, y ∈ R. Como R é Booleano temos que x2 = x e y2 = y. Agora:
x+y = (x+y)2 = x2+xy+yx+y2 = x+xy+yx+y ⇒ xy = −yx. Usando o lema anterior
temos que x = −x e portanto xy = yx.
Definição 1.2. Seja M um ideal de um anel R, com M 6= R. M é chamado de Ideal
Maximal de R se sempre que U é um ideal de R tal que M ⊂ U ⊂ R, então ou U = R ou
U = M .
Definição 1.3. Seja P um ideal de um anel comutativo R. P é chamado de Ideal Primo
de R se ab ∈ P ⇒ a ∈ P ou b ∈ P , onde a, b ∈ R.
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Definição 1.4. A interseção de todos os ideais maximais de um anel R é chamado de
Radical de Jacobson, denotado por rad(R).
1.2 Lemas e Teoremas
Lema 1.1. rad(R) é o conjunto de todos os r ∈ R tal que 1− rs é invertível à direita para
todo s ∈ R, onde R é um anel associativo com 1.
Demonstração. r ∈ rad(R) se somente se, para todos os ideais maximais M , r ∈ M , isto
é, 1 /∈ M + rR. Então r ∈ rad(R) se somente se, para todo s ∈ R, 1 − rs não pertence a
nenhum ideal maximal, logo 1− rs é invertível à direita.
Lema 1.2. rad(R) é o maior ideal tal que, para todo r ∈ rad(R), 1−r é uma unidade, onde
R é um anel associativo com 1.
Demonstração. Pelo lema anterior, o radical contém todos os ideais que satisfazem a condição
dada. Como o radical é um ideal, apenas resta mostrar que 1− r é uma unidade para todo
r ∈ rad(R). Já sabemos que (1− r)u = 1 para algum u ∈ R. Então 1− u = −ru ∈ rad(R),
portanto u tem uma inversa à direita v, isto é uv = 1. Logo, v = uv+v−uv = uv+(1−u)v =
uv − ruv = (1− r)uv = (1− r)1 = (1− r) então u(1− r) = 1.
Lema 1.3. Um subanel de um anel Booleano é Booleano. Mais ainda, uma imagem homo-
mórfica de um anel Booleano também é Booleano.
Demonstração. Seja S um subanel do anel Booleano R. Então ∀x ∈ S ⇒ x ∈ R ⇒ x é
idempotente ⇒ S Booleano.
Seja T uma imagem homomórfica de R onde ϕ : R −→ T é um epimorfismo. Seja t ∈ T
então t = ϕ(r), para algum r ∈ R. Portanto:
t2 = ϕ(r)ϕ(r) = ϕ(r2) = ϕ(r) = t.
Então todo elemento de T é idempotente. Logo, T é Booleano.
Lema 1.4. Se um anel R é Booleano, então a única unidade em R é o elemento 1.
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Demonstração. Seja x ∈ R qualquer e suponha que ele seja uma unidade de R, então existe
y ∈ R tal que x · y = y · x = 1⇒ x · (x · y) = x · 1⇒ x2 · y = x⇒ x · y = x⇒ 1 = x.
Lema 1.5. O ideal próprio M de um anel comutativo R é maximal se somente se
∀r /∈M ∃x ∈ R : 1− rx ∈M .
Demonstração. Da condição acima temos que: 1− rx = m para algum m ∈M ⇒
1 = m + rx ⇒ 1 ∈ M + rR ⇒ M + rR = R,∀r /∈ M . Isto é claramente equivalente à
maximilidade de M .
Lema 1.6. M é um ideal maximal de um anel comutativo R⇔ R/M é um corpo.
Demonstração. Seja ϕ : R −→ R/M um epimorfismo canônico, então R/M é um corpo se
somente se todo ϕ(r), r /∈M é uma unidade, isto é, ϕ(r)ϕ(x) = 1 para algum x ∈ R, o que
implica que 1− rx ∈M para algum x ∈ R, logo M é maximal pelo lema anterior.
Proposição 1.1. Seja R um anel Booleano com 1. Então todo ideal primo de R é maximal
em R.
Demonstração. Seja P um ideal primo de R. Para mostrar que P é maximal, nós mostrare-
mos que R/P é um corpo.
Seja x+ P ∈ R/P onde x+ P 6= P ; isto é, x /∈ P . Temos que:
(x + P )2 = x2 + P = x + P ⇒ x2 − x ∈ P ⇒ x(x − 1) ∈ P . Como x /∈ P e P é um ideal
primo, temos que x − 1 ∈ P . Logo x + P = 1 + P . Portanto, R/P = {P, 1 + P} como
consequência, R/P é um corpo.
Proposição 1.2. O único anel Booleano que é um domínio de integridade é o conjunto
Z2 = {0, 1}.
Demonstração. Seja R um anel Booleano que também é domínio de integridade. Como um
anel e domínio de integridade, R tem que conter 1 6= 0. Mostraremos agora que os únicos
dois elementos de R são 0 e 1. Suponha a ∈ R e a 6= 0. Como R é Booleano, temos que
a2 = a, portanto 0 = a2 − a = a(a − 1). Mas a 6= 0 e R é um domínio de integridade, logo
a − 1 = 0 =⇒ a = 1. Então R = {0, 1}. O grupo aditivo de R é portanto o grupo Z2,
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e a multiplicação está completamente determinada pelas propriedades de 0 e 1: 0 · 0 = 0,
1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0 e 1 · 1 = 1.
Teorema 1.1 (Cauchy). Se p é um número primo e p | o(G), então G tem um elemento de
ordem p. Onde o(G) é a ordem de G.
Demonstração. Ver [2] na Referência Bibliográfica, página 87.
Teorema 1.2. Se R é um anel Booleano finito, então R tem 2k elementos, para algum k
inteiro positivo.
Demonstração. Suponha que #R = m, onde #R denota o número de elementos do conjunto
R. Mostraremos que m = 2k para algum k inteiro poisitivo. Por absurdo, suponha que
#R 6= m, então m tem um fator primo p diferente de 2. Como R é um grupo aditivo temos
pelo Teorema de Cauchy que R tem um elemento x de ordem p; isto é px = 0. Como p é
ímpar, temos que p = 2n + 1. Então (2n + 1)x = 0 ⇒ 2nx + x = 0, mas como car(R)=2
temos que 2(nx) = 0 e portanto x = 0, um absurdo.
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Capítulo 2
Anel Booleano x Álgebra Booleana
2.1 Álgebra Booleana
A teoria da Álgebra Booleana foi criada por Boole na década de 1840, e depois foi
refinada por De Morgan, Jevons, Schröder, Whitehead, e outros. O nome Álgebra Booleana
foi sugerida por Sheffer em 1913. Foi Stone que descobriu, nos meádos de 1930, que a álgebra
Booleana poderia ser tratada como um anel no qual a operação multiplicação é idempotente.
Ele introduziu a noção de Anel Booleano e desenvolveu a teoria algébrica básica de tais anéis.
Em particular, ele provou que a classe de anéis Booleanos é equivalente em definição à classe
da álgebras Booleanas.
Hoje, as álgebras Booleanas têm muitas aplicações na eletrônica. Foram pela primeira
vez aplicadas nos interruptores por Claude Shannon, no século XX.
Definição 2.1. Uma Álgebra Booleana é um conjunto não-vazio A, junto com 2 ope-
rações binárias ∨ e ∧ em A, uma operação unária ’ , chamadas de encontro, junção e
complemento , respectivamente, e dois elementos distintos 0 e 1, satisfazendo os seguintes
axiomas:
p ∧ 1 = p e p ∨ 1 = 1 (Leis de Identidade)
p ∧ p′ = 0 e p ∨ p′ = 1 (Leis de Complemento)
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p ∧ q = q ∧ p e p ∨ q = q ∨ p (Leis de Comutatividade)
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Leis Distributivas).
A partir dos axiomas acima pode-se provar as seguintes leis:
(p ∧ q)′ = p′ ∨ q′ e (p ∨ q)′ = p′ ∧ q′ (Leis De Morgan)
p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r e p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r (Leis Associativas)
Exemplo 2.1. Devido às similaridades entre os axiomasacima e as leis da Teoria dos
Conjuntos, temos que o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto arbitrário S é
um exemplo de álgebra Booleana, onde as operações união, interseção e complementar são
semelhantes, respectivamente, à junção, encontro e complemento. Temos também que o 1 é
o próprio conjunto S e o 0 é o conjunto ∅.
Teorema 2.1. Toda álgebra Booleana é um anel Booleano e vice-versa.
Demonstração. (=⇒) Seja A uma álgebra Booleana. Defina as seguintes operações para
todo x, y ∈ A : x + y = (x ∧ y′) ∨ (y ∧ x′) e x · y = x ∧ y. Como a junção e o encontro
são comutativas, associativas e distributivas temos que x+ y e x · y também são. O zero e o
elemento unidade do anel são os mesmos da álgebra.
(⇐=) Todo anel Booleano com elemento unidade é uma álgebra Booleana com as seguintes
operações: x ∨ y = x+ y + xy, x ∧ y = x · y e x′ = 1 + x
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Capítulo 3
Conjunto das Partes de um conjunto
3.1 Existência e Unicidade
Na axiomática da Teoria dos Conjuntos o Axioma da Extensionalidade, ocasional-
mente conhecido como Axioma da Extensão, é um dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel.
Na linguagem formal dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel, o Axioma da Extensionalidade
diz o seguinte:
∀A,∀B,A = B ←→ (∀C ∈ A←→ C ∈ B)
Em outras palavras, dado qualquer conjunto A e qualquer conjunto B, A é igual a B se
somente se, dado qualquer elemento C, C é um membro de A se somente se C é membro de
B.
Para entender este axioma, observe que o que está dentro do parentêsis na afirmação
simbólica acima simplesmente afirma que A e B tem precisamente os mesmos membros.
Então, o que o axioma está realmente dizendo é que dois conjuntos são iguais se somemte se
eles tem precisamente os mesmos membros. A essência deste axioma é: UM CONJUNTO É
DETERMINADO UNICAMENTE PELOS SEUS MEMBROS.
Na matemática, o Axioma do Conjunto das Partes é um dos Axiomas de Zermelo-
Fraenkel da axiomática da Teoria dos Conjuntos.
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Na linguagem formal dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel, o Axioma do Conjunto das
Partes diz o seguinte:
∀A,∃B,∀C,C ∈ B ←→ (∀D ∈ C −→ D ∈ A)
Em outras palavras, dado qualquer conjunto A, existe um conjunto B tal que, dado qualquer
conjunto C, C é membro de B se somente se, dado qualquer conjunto D, se D é um membro
de C então D é um membro A.
Para entender este axioma, observe que o que está dentro do parentêsis na afirmação
simbólica acima simplesmente afirma que C é um SUBCONJUNTO de A. Então, o que
o axioma está realmente dizendo é que dado um conjunto A, podemos achar um conjunto
B cujos membros são precisamente os subconjuntos de A. Nós podemos usar o Axioma da
Extensionalidade acima para mostrar que este conjunto B é único. Chamaremos o conjunto
B de Conjunto das Partes de A, e o denotaremos por P(A). Então a essência do axioma
é: TODO CONJUNTO TEM UM CONJUNTO POR PARTES.
3.2 Definição
Dado um conjunto S, o Conjunto das Partes de S, denotado por P(S), é o conjunto
de todos os subconjuntos de S.
A existência e a unicidade de P(S) já foram discutidas na seção anterior.
Exemplo 3.1. Considere o conjunto S = {A,B,C}. Logo teremos que:
P(S) = {∅, {A}, {B}, {C}, {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A,B,C}}.
Se #S = n, então utilizando a análise combinátória não é difícil provar que #P(S) = 2n.
Podemos também considerar o conjunto das partes de conjuntos infinitos. O argumento
da Diagonal de Cantor mostra que o conjunto das partes de um conjunto infinito sempre
tem cardinalidade estritamente maior que o conjunto dado. Informalmente isto significa que
o conjunto das partes tem que ser "mais infinito"que o conjunto original.
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Exemplo 3.2. O conjunto das partes de N pode ser posto em uma correspondência injetora
com o conjunto R, por identificar uma sequência infinita de 0 e 1 com o conjunto dos índices
dos elemento, pondo 0 se eles não ocorrem e 1 caso contrário, ou seja, os subconjuntos podem
ser representados por sequências de 0 e 1, onde a i-ésima posição indica se o elemento si de
S pertence a este subconjunto em particular.
Levando em conta o que diz o exemplo acima e o conjunto S = {A,B,C} podemos fazer
as seguintes correspondências:
∅ = 000, {A} = 100, {B} = 010, {C} = 001, {A,B} = 110, {A,C} = 101, {B,C} = 011 e
{A,B,C} = 111.
3.3 Lemas e Teorema
Nos Lemas e Teorema abaixo, considere S um conjunto não-vazio e P(S) o conjunto das
partes de S. Defina adição e multiplicação em P(S), respectivamente, por:
A+B = (A−B)∪ (B −A) e A ·B = A∩B, isto é, a adição é a Diferença Simétrica e a
multiplicação é a interseção.
Lema 3.1. P(S) é um anel com as operações definidas acima. P(S) e seus subanéis são
frequentemente chamados de Anel de Conjuntos.
Demonstração. Para todo A ⊂ S seja A¯ = S−A o complemento de A. Temos da teoria dos
conjuntos que:
A ∪B = A ∩ B, A ∩B = A ∪ B, A = A, A − B = A ∩ B, A ∩ A = ∅, ∅ ∪ A = A, ∩
e ∪ são associativas e comutativas e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Utilizando estas
propriedades, é simples, porém longos, efetuar os cálculos para se demonstrar que a soma e
a multiplicação definidas acima fazem de P(S) um anel.
Teorema 3.1. O anel P(S) é comutativo.
Demonstração. Com efeito, sabemos que a interseção é comutativa logo: A · B = A ∩ B =
B ∩ A = B · A
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Teorema 3.2. O anel P(S) tem uma identidade.
Demonstração. De fato, como A · S = A ∩ S = A = S ∩ A = S · A, ∀A ⊂ S, temos que S é
a unidade de P(S).
Teorema 3.3. O anel P(S) é um anel Booleano.
Demonstração. Com efeito, ∀A ⊂ S temos que: A2 = A · A = A ∩ A = A
Teorema 3.4. Seja R um anel Booleano. Então existe um conjunto S e um subanel R onde
R ⊆ P (S) tal que R ' R.
Demonstração. Sabemos que R é comutativo, tem característica 2 e 1 é o único elemento
invertível de R, veja o lema 1.4 na página 3. Seja M algum ideal maximal de R. Logo R/M
é um corpo de característica 2 que molda ∀x, x2 = x, e o único tal corpo é F2 = {0, 1}. Seja
S o conjunto de todos os ideais maximais de R. Considere o homomorfismo canônico
de anéis:
pi : R −→
∏
M∈S
R/M '
∏
#S
F2
O núcleo de pi é o Radical de Jacobson rad(R) e consiste de todos a ∈ R tal que 1−a é uma
unidade, ver Lema 1.2 na página 3. Mas 1 é a única unidade então a = 0. Logo pi é uma
aplicação injetora e portanto um mergulho de R em P (S).
Observação 3.1. Se R é um anel Booleano finito sabemos do teorema 1.2, página 5, que
#R = 2n, para algum n inteiro positivo. Utilizando o teorema acima chegamos à conclusão
que para todo anel booleano finito existe um conjunto S finito tal que R 'P(S), onde #S = n
é o número de ideais maximais de R.
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Referências Bibliográficas
[1] El Turkey H.; Generalizations of Boolean Rings, Master’s thesis, The American Univer-
sity of Beirut, Beirut, Lebanon, junho de 2008.
[2] Herstein, I. N.; Topics in Algebra, John Wiley and Sons, 2a. edição, (1975).
[3] Gonçalves, A.; Introdução à Álgebra, IMPA, Projeto Euclides, 5a. edição, Rio de Janeiro
(2005).
[4] Lambek, J.; Lectures on Rings and Modules, AMS Chelsea Publishing, 1a. edição, (1966).
[5] Roman, S.; Lattices and ordered sets, Springer, (2008).
[6] Halmos, P. R. e Givant, S. R.; Introduction on Boolean algebras, Springer, (2009).
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	Anéis Booleanos
	Definições
	Lemas e Teoremas
	Anel Booleano x Álgebra Booleana
	Álgebra Booleana
	Conjunto das Partes de um conjunto
	Existência e Unicidade
	Definição
	Lemas e Teorema
	Referências Bibliográficas