Séries de Taylor e MacLaurin

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Vimos que uma Série de Potências da forma 
 
 
pode representar uma função f(x), 
isto é, a partir de uma Série, definimos uma função.
Vamos tentar agora fazer o caminho inverso. Ou seja, dada uma função f(x) vamos tentar obter uma 
Série de Potências que convirja para essa função.
Neste caso, dizemos que vamos expandir a função em Séries de Potências.
A - Série de Taylor:
Seja f uma função continuamente derivável num intervalo e seja .
Supondo que esta função possa ser representada por uma Série de Potências com centro no ponto 
 e também admitindo que essa Série seja convergida num intervalo , então 
podemos escrever:
 
 
 
 
 
 
 •
 
 
 
 •
 
 •
 
(...)
 •
 (derivada de ordem k)•
Assim: 
 
 
 
Substituindo na Série:
 
 
 
 Série de Taylor
B - Série de MacLaurin:
A Série de MacLaurin nada mais é do que a Série de Taylor com o centro , ou seja:
 
 
 
 Série de MacLaurin
Exemplos
Solução
Expandir a função em Série de MacLaurin.1)
Para , temos:
 •
 •
 •
(...)
 •
 •
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
1.16 Séries de Taylor e MacLaurin
sexta-feira, 20 de setembro de 2013 21:05
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Expandir a função em Série de Taylor com centro a=2 e achar o seu intervalo 
de convergência.
2)
Solução
 •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 •
(...)
 
 
 
 
 
 
 •
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
Intervalo de Convergência
Devemos ter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Divergente - Série Harmônica)
•
Para 
 
 
 
 
 
 (Convergente - Série Harmônica Alternada)•
Então: 
Proposta
Fazer a sua expansão em Série de MacLaurin.a)
Estudar o intervalo de convergência da Série obtida.b)
Calcular o valor aproximado da Integral 
 
 
, usando os quatro primeiros termos da 
Série encontrada em (a).
c)
Dada a função 
 
 
 , pede-se:
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