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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico – Turma B1
1ª Avaliação – 08 de abril de 2016
Código:
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1.2 ponto). Dadas as sentenças:
III) O menor ponto flutuante normalizado positivo em um registro ponto flutuante do padrão IEEE754 com
64 bits é igual a 2−1022.
III) O numeral (2263,35)7 é resultado do arredondamento para o mais próximo, desempate par, do numeral
(2263,354)7.
III) A representação exata do número 25 + 25 + 2−6 exige 12 dígitos binários.
É correto afirmar que
a) apenas a sentença I é correta.
b) apenas a sentença II é correta.
c) apenas a sentença III é correta.
d) apenas as sentenças II e III são corretas.
e) apenas as sentenças I e III são corretas.
Questão 2 (1.2 ponto): Dadas as sentenças:
III) x∗ é um zero de uma função continuamente diferenciável f : R→ R com f ′ (x∗) = 0 e
dkf
dxk
(x∗) 6= 0 para
algum k inteiro maior que 1. Se a sequência de aproximações
{
x(n)
}∞
n=0
dada pelo método Newton converge
para x∗, então existe uma constante positiva C < 1 (C pode depender de x∗) tal que limn→∞
∣∣∣∣∣x
(n+1) − x∗
x(n) − x∗
∣∣∣∣∣ =
C.
III) x∗ é um zero de uma função continuamente diferenciável f : R → R com f (x∗) = 0. Se a sequência de
aproximações
{
x(n)
}∞
n=0
dada pelo método da secante converge para x∗, então limn→∞
∣∣∣∣∣x
(n+1) − x∗
x(n) − x∗
∣∣∣∣∣ = 0.
III) x∗ é o único zero de uma função contínua f : R→ R no intervalo não nulo [a, b] onde f(a)f(b) < 0. Então
o erro absoluto na n-ésima aproximação,
∣∣x(n) − x∗∣∣, se comporta como ∣∣x(n) − x∗∣∣ ≈
n≫1
2−n para quaisquer
a e b.
É correto afirmar que
a) apenas a sentença I é correta.
b) apenas a sentença II é correta.
c) apenas a sentença III é correta.
d) apenas as sentenças II e III são corretas.
e) apenas as sentenças I e II são corretas.
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Lucas Vieira Garcia 224130
Revisada em 
11/04
Questão 3 (1.2 ponto): A relação entre a taxa de reação (simbolizada por k) e temperatura (simbolizada
por T ) em uma reação química é dada pela seguinte fórmula empírica
k(T ) = αT exp
(
−
β
T
)
,
onde α e β são constantes com unidades K−1s−1 e K, respectivamente. Supondo que a constante α =
2,08366× 1010s−1 é conhecida com incerteza desprezível, utilize a fórmula para propagação de erros em uma
função f de várias variáveis σf ≈
√∑n
j=1
(
∂f
∂xj
)2
σx2j e determine a incerteza σk quando T = (400± 0.5)K
e β = (298,77± 0,02)K.
a) σk ≈ 8,6× 109s−1..
b) σk ≈ 8,9× 109s−1.
c) σk ≈ 9,3× 109s−1.
d) σk ≈ 9,7× 109s−1.
e) σk ≈ 1,1× 108s−1.
Questão 4 (1.2 ponto): A expressão
x2 cos (x) + ln(1− x2)
está sujeita a cancelamento catastrófico quando |x| ≪ 1. Utilize as expansões em série cos(z) = 1 −
z2
2
+
z4
4!
− . . . e ln(1−z) =
|z|<1
−z−
z2
2
−
z3
3
− . . . para aproximar o valor dessa expressão quando x = 4,753×10−18.
a) - 5,10354×10−70
b) -3,82735×10−36
c) - 8,00231×10−20
d) 3,90556×10−70
e) 7,21103×10−36
Questão 5 (1.2 ponto): A equação
(x− 2)2 = ln(x)
possui duas soluções reais positivas. Se
{
x(n)
}∞
n=0
é uma sequência de aproximações para uma dessas soluções
construída a partir do método Newton-Raphson, então uma relação de recorrência para os elementos dessa
sequência é da forma
a) x(n+1) = x(n) −
((
x(n) − 2
)2
− ln
(
x(n)
)
2
(
x(n)
)2
− 4x(n) − 1
)
, n = 0, 1, 2, . . .
b) x(n+1) = x(n) −
((
x(n) − 2
)2
− ln
(
x(n)
)
2
(
x(n)
)2
− 4x(n) − 1
)
x(n), n = 0, 1, 2, . . .
.
c) x(n+1) = x(n) +
( (
x(n) − 2
)2
− ln
(
x(n)
)
2
(
x(n) − 2
)
−
(
x(n)
)−1
)
x(n), n = 0, 1, 2, . . .
d) x(n+1) = x(n) −
( (
x(n) − 2
)2
− ln
(
x(n)
)
2
(
x(n−1) − 2
)
−
(
x(n−1)
)−1
)
x(n−1), n = 1, 2, 3, . . .
e)x(n+1) = x(n) −
( (
x(n) − 2
)2
− ln
(
x(n)
)
2
(
x(n−1) − 2
)
−
(
x(n−1)
)−1
)(
x(n) − x(n−1)
)
, n = 1, 2, 3, . . .
Questão 6 (1.2 ponto): A função f(x) = exp(x) − 7 cos(x) + 2−x possui um zero x∗− < 0. A sequência de
aproximações para x∗,
{
x(n)
}∞
n=0
, obtida através do método da secante com aproximações iniciais x(0) = −0,5
e x(1) = −0,4 converge com tolerância 10−12 após um número de iteradas igual a
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
Questão 7 (1.2 ponto): A função f(x) = exp(x) − 3x2 admite três zeros reais. A partir da aproximação
inicial x(0) = 3, a aproximação x(3) da sequência
{
x(n)
}∞
n=0
dada pelo método Newton-Raphson é igual a
a) 4,211903. . .
b) 4,751646. . .
c) 4,923174. . .
d) 5,251903. . .
e) 5,892883. . .
Questão 8 (1.2 ponto): A função f(x) = exp(x)− 7 cos(x) + 2−x possui um zero x∗ > 0. O elemento x(4)
da sequência de aproximações para x∗,
{
x(n)
}∞
n=0
, obtida através do método da secante com aproximações
iniciais x(0) = 0,2 e x(1) = 0,3 é igual a
a) 0,92229437. . .
b) 0,95023519. . .
c) 0,98561042. . .
d) 1,05023519. . .
e) 1,12156802. . .
Questão 9 (1.2 ponto): Uma reta que passa pela origem (cuja equação é da forma r(x) = αx) tangencia
o gráfico da função f(x) := exp
(
−0.2 (x− 5)4
)
em um ponto 1 < x∗ < 5. O valor do coeficiente angular
α∗ dessa reta tangente é igual a: (Obs.: No ponto de tangência x∗, temos r (x∗) = f (x∗) e r′ (x∗) = f ′ (x∗).
Dessas equações, conclui-se que x∗ = −
1
0.8 (x∗ − 5)3
).
a) 0,221834. . .
b) 0,189367. . .
c) 0,0942381. . .
d) -0,0130280. . .
e) -0,348353. . .
Questão 10 (1.2 ponto): Seja uma função f : U → R, U ⊆ R. A distância entre um ponto (x, f(x)) do
gráfico de f e a origem é igual a d(x) :=
√
x2 + f(x)2. A menor distância entre um ponto do gráfico de
f(x) = (cos(x))2 e a origem vale aproximadamente:
a) 0,90114637
b) 0,90500931
c) 0,90727212
d) 0,90837271
e) 0,91132873