p1 GUIDI Simulado

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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico
Simulado – 01 de aril de 2016
Código:
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1.2 ponto): O número 1011,011011100112 quando representado como um ponto flutuante com
10 dígitos no significando é arredondado para o número (arredondamento par):
a) 1011,0110112
b) 1011,0111002
c) 1011,01101110102
d) 1011,01101110012
e) 1011,0110102
Questão 2 (1.2 ponto): A expressão sen(x)−(1− ex) apresenta cancelamento catastrófico quando calculada
para valores pequenos de x via aritmética de ponto flutuante. A partir das aproximações sen(x) ≈
x�1
x −
x3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . . e ex ≈
x�1
1+ x+
x2
2
+
x3
3!
+ . . ., quais dos valores abaixo corresponde ao arredondamento
(par) correto quando x = 1,298663× 10−8:
a) 2,597325990× 10−8
b) 2,597326008× 10−8
c) 2,597325999× 10−8
d) 2,597326000× 10−8
e) 2,597325998× 10−8
Questão 3 (1.2 ponto): Considere a função f : R3 → R, (x, y, z) 7→ cos(xy)ez. A partir da expressão para
propagação de erros, determine uma aproximação para a incerteza (erro absoluto) em f quando x =
pi
6
±0.02,
y = 2± 0.01 e z = 2± 0.01:
a) 0,253
b) 0,326
c) 0,260
d) 0,353
e) 0,229
Questão 4 (1.2 ponto): Qual das expressões abaixo permite construir uma sequência {xn}∞n=0 de aproxima-
ções para a localização dos máximos da função f : R→ R, x 7→ x sen(x) através do método Newton-Raphson
com uma aproximação inicial conveniente x0?
a)xn+1 = xn −
(
xn cos (xn) + sen (xn)
2 cos (xn)− xnsen (xn)
)
, n = 0, 1, . . .
b) xn+1 = xn−1 −
(
xn−1 cos (xn−1) + sen (xn−1)
2 cos (xn)− xnsen (xn)
)
, n = 1, 2, . . .
c) xn+1 = xn −
(
xn−1sen (xn−1)
xn cos (xn) + sen (xn)
)
, n = 1, 2, . . .
d) xn+1 = xn −
(
2 cos (xn)− xnsen (xn)
xn cos (xn) + sen (xn)
)
, n = 0, 1, . . .
e) xn+1 = xn −
(
xnsen (xn)
xn cos (xn) + sen (xn)
)
, n = 0, 1, . . .
Questão 5 (1.2 ponto): Seja a função f : R → R, x 7→ e−x − x2. Se x∗ é um zero de f próximo de 0,7 ,
então o 8º e 9º dígito de x∗ são iguais a :
a) 7 e 8.
b) 4 e 9.
c) 2 e 2.
d) 4 e 2.
e) 7 e 4.
Questão 6 (1.2 ponto): Se x0 = 1,5 e x1 = 1,6 são respectivamente a primeira e segunda aproximações
para o zero de f : R\{0} → R, x 7→ x ln (x+ x3), a sexta aproximação (ou seja, a quarta iterada) obtida via
método da secante vale aproximadamente
a) 0,682328.
b) 0,682356.
c) 0,774569.
d) 0,699179.
e) 0,683851.
Questão 7 (1.2 ponto): Quantas iteradas do método Newton-Raphson são necessárias para que a estimativa
de erro relativo (tolerância) seja menor do que 10−8 na aproximação do zero x∗ = pi da função f : R →
R, x 7→ (sen(x))2 a partir da aproximação inicial x0 = 6.
a) 15.
b) 7.
c) 10.
d) 23.
e) 30.
Questão 8 (1.2 ponto): Uma função contínuamente diferenciável f : R → R possui um único máximo
local x∗ no intervalo [5, 7]. Se utilizarmos o método da bissecção para determinar o valor de x∗ a partir das
extremidades 5 e 7, quantas iteradas serão necessárias para que o erro absoluto seja menor do que 10−10?
a) 35.
b) 25.
c) 15.
d) 45.
e) 55.
Questão 9 (1.2 ponto): A equação
cos(x) = −0.12x+ 0.003x2
admite quatro soluções reais positivas x∗1 < x∗2 < x∗3 < x∗4. O valor correto do arredondamento de |x∗3 − x∗1|
com seis dígitos é:
a) 4,584643.
b) 6,977639.
c) 8,824793.
d) 5,650553.
e) 7,048919.
Questão 10 (1.2 ponto): O 6º e o 7º dígitos da aproximação obtida na 4ª iterada via método Newton-
Raphson com aproximação inicial x0 = 0,3 para um do zeros de f : [0, 1) → R, x 7→ − ln (1− x) −
√
x são
iguais a:
a) 8 e 0.
b) 8 e 2.
c) 3 e 9.
d) 1 e 8.
e) 0 e 8.