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#«u = (a1,b1,c1)F e #«v = (a2,b2,c2)F . Calcule #«u ∧ #«v .
10 Duplo Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal positiva (
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ).
[1] Prove que
(a) ( #«u ∧ #«v )∧ #«w =−( #«v · #«w) #«u + ( #«u · #«w) #«v ;
(b) #«u ∧ ( #«v ∧ #«w)= ( #«u · #«w) #«v − ( #«u · #«v ) #«w .
[2] (Identidade de Jacobi) Use as fórmulas acima para concluir que
( #«u ∧ #«v )∧ #«w + ( #«w ∧ #«u )∧ #«v + ( #«v ∧ #«w)∧ #«u = #«0 .
[3] Dados #«u = (1, −32 , 12 ), #«v = (6,−2,−4), #«w = ( 17 , 27 , 37 ), calcule
( #«u ∧ #«v )∧ #«w e #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[4] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que
# «
AH é paralelo a (
# «
AB ∧ # «AC )∧ # «BC .
Sugestão: Calcule [(
# «
AB ∧ # «AC )∧ # «BC ]∧ # «AH .
[5] Resolva o sistema
{
#«x ∧ ( #«i + #«j )=−#«i + #«j
#«x · ( #«i + #«j )= 2
[6] Fixe um vetor #«u não nulo. Resolva o sistema
{
#«x ∧ #«u = #«0
#«x · #«u = 1 ,
[7] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[8] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
12
11 Produto Misto
Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do determinante.
Também fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva.
[1] Mostre que #«u , #«v e #«w são LI se, e somente se, [ #«u , #«v , #«w ] 6= 0.
[2] Sejam r e s retas, #«u vetor não nulo paralelo à r e, #«v vetor não nulo paralelo à s. Se P ∈ r e
Q ∈ s, mostre que r e s são coplanares se, e somente se, [ #«u , #«v , # «PQ]= 0.
[3] Seja F = ( #«u , #«v , #«w) uma base de V3. Mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= det MEF .
[4] Dados #«u , #«v e #«w , mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= #«u ∧ #«v · #«w .
[5] Seja ABC DEFG H um paralelepípedo, e defina #«u = # «AB , #«v = # «AD e #«w = # «AE . Mostre que o
volume desse paralelepípedo é igual a [ #«u , #«v , #«w ].
[6] Mostre que o volume de um tetraedro ABCD é igual a |[ # «AB , # «AC , # «AD]|/6.
[7] O produto misto é trilinear, isto é,
(a) [α# «u1+β# «u2, #«v , #«w ]=α[ # «u1, #«v , #«w ]+β[ # «u2, #«v , #«w ]
(b) [ #«u ,α#«v1+β#«v2, #«w ]=α[ #«u , #«v1, #«w ]+β[ #«u , #«v2, #«w ].
(c) [ #«u , #«w ,α# «w1+β# «w2]=α[ #«u , #«w , # «w1]+β[ #«u , #«w , # «w2]
[8] O produto misto é alternado, isto é, [ #«u , #«v , #«w ]=−[ #«v , #«u , #«w ]= [ #«v , #«w , #«u ]=−[ #«u , #«w , #«v ]= [ #«w , #«u , #«v ]=
−[ #«w , #«v , #«u ].
[9] Prove que #«u ∧ #«v · #«w = #«u · #«v ∧ #«w .
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[10] Prove que ( #«u ∧ #«v ) · ( #«w ∧ #«t )=
∣∣∣∣#«u · #«w #«u · #«t#«v · #«w #«v · #«t
∣∣∣∣.
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[11] Prove que, para quaisquer α,β ∈R vale:
(a) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u +α#«v +β#«w , #«v , #«w ].
(b) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v +α#«u +β#«w , #«w ].
(c) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v , #«w +α#«u +β#«v ].
Sugestão: Revise Escalonamento.
[12] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2,0), #«v = (0,1,0) e #«w =
(−2,−1,−1).
[13] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados
# «
AB = (1,1,0), # «AC = (0,1,1) e # «AD = (−4,0,0).
[14] Calcule [ #«u , #«v , #«w ] sabendo que ‖#«u ‖ = 1,‖#«v ‖ = 2 e ‖#«w‖ = 3, e que ( #«u , #«v , #«w) é uma base nega-
tiva, sendo #«u , #«v , #«w dois a dois ortogonais.
13
[15] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = #«o então #«u , #«v , #«w são linearmente dependentes.
[16] Prove que a altura do tetraedro ABC D relativa à base ABC é
h = | [
# «
AB ,
# «
AC ,
# «
AD] |
‖# «AB ∧ # «AC‖
Sugestão: Volume =
1
3
(área ∆ABC )h
12 Sistema de Coordenadas
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (2,−1,3) e Q =
(5,−2,1).
[2] Encontre as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (−1,3,0) em relação ao ponto
M = (1,0,1).
[3] Mostre que os pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,2) e C = (1,1,1) são vértices de um triângulo
retângulo (sistema ortogonal).
[4] Considere os pontos A = (1,2,−1), B = (0,1,1) e C = (2,0,0). Mostre que4ABC é equilátero.
[5] Suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal. Encontre a área do triângulo ABC sabendo-
se que A = (2,−1,0), B = (0,1,1) e C = (−1,0,0).
[6] (a) Mostre que os pontos P = (−1,0,0), Q = (2,−1,−1), R = (0,3,1) e S = (4,5,1) são vértices
de um quadrilátero plano, convexo. Em seguida, especifique quais são seus lados e quais
são suas diagonais (um quadrilátero é convexo se e só se nenhum de seus vértices é
interior ao triângulo determinado pelos outros três).
(b) Verifique se os pontos A = (2,6,−5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) são vértices
de um paralelogramo.
(c) Mostre que os pontos E = (3,0,−1), F = (0,3,0), G = (5,1,−2), H = (−4,1,2) são vértices
de um trapézio.
13 Estudo da reta
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos
pontos A= (−1,1,0) e B= (0,−1,1).
[2] Escreva uma equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que
tem como vetor diretor
#«v =
(p
3
49
,
3
p
3
98
,
−p3
7
)
.
São dados A= (1,1,3) e B= (3,1,0).
14
[3] Dê dois vetores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
X = (1,2,0)+λ(1,1,1) (λ ∈R)
[4] Considere a reta r : X = (1,0,1)+λ(2,−1,1) (λ ∈R), e sejam P = (2,1,−1) e Q = (5/3,−1/3,4/3)
pontos de E3. Verifique se P e Q estão em r .
[5] São dadas as equações
1−2x
3
= 2−3y
5
= 1− z
(a) Mostre que elas representam uma reta r .
(b) Elas são equações na forma simétrica de r ? Caso não sejam, passe-as para a forma si-
métrica.
(c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r .
[6] Sejam P = (1,0,1) e Q = (0,1,1). Dados A = (1,2,1) e B = (1,2,−1), verifique se existe um ponto
C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2 (sistema ortogonal).
Solução. Seja (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) o sistema de coordenadas ortogonal do problema (figura 7).
Figura 7: Triângulo ABC
Como
# «
PQ = (−1,1,0) é um vetor diretor da reta PQ,
X = (1,0,1)+λ(−1,1,0) (λ ∈R)
é uma equação vetorial dessa reta. Se C é um ponto qualquer dessa reta, existe λ ∈R tal que
C = (1−λ,λ,1)
15
Com isso,
# «
AC = (−λ,λ−2,0) e # «AB = (0,0,−2),
e portanto,
# «
AC ∧ # «AB =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
−λ λ−2 0
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣= (−2λ+4,−2λ,0).
Em particular, ‖# «AC ∧ # «AB‖ = 2
√
(λ−2)2+λ2. Logo
área(4ABC )= ‖
# «
AC ∧ # «AB‖
2
=
√
(λ−2)2+λ2
Por outro lado, para todo λ ∈R tem-se
(λ−2)2+λ2 = 2(λ−1)2+2≥ 2,
e portanto,
área(4ABC )≥p2,
para todo ponto C sobre a reta PQ. Como
p
2 > 1/2, segue-se que não existe um ponto C
sobre a reta PQ tal que área(4ABC )= 1/2.
[7] Dados os pontos A = (0,0,1), B = (1,2,1) e C = (1,0,1), obtenha equações paramétricas das
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC , relativas ao vértice C .
[8] Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal
que o comprimento de PB seja o triplo de PA.
[9] Escreva equações paramétricas para a reta r , que passa pelo ponto A = (2,0,−3) e:
(a) é paralela à reta s :
1−x
5
= 3y
4
= z+3
6
.
(b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1,0,4) e C = (2,1,3).
(c) é paralela à reta t :

x = 1−2λ
y = 4+λ
z = −1−λ
(λ ∈R).
[10] Sejam r e s duas retas com vetores diretores #«u e #«v , respectivamente. Suponha que #«u // #«v e
r ∩ s 6=ø. Mostre que r = s.
[11] Dados A = (0,2,1), r : X = (0,2,−2)+λ(1,−1,2), encontre os pontos de r que distamp3 de A.
Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual a