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plano pi).
[9] Ache o ponto simétrico de P = (1,4,2) em relação ao plano pi : x− y + z−2= 0.
[10] Determine a projeção ortogonal
a) do ponto P = (4,0,1) sobre o plano pi : 3x−4y +2= 0;
b) da reta r : x+1= y +2= 3z−3 sobre o plano pi : x− y +2z = 0.
[11] Verifique se os planos pi1 : X = (4,3,1)+λ(−1,0,−1)+µ(3,1,0) e pi2 : y −3z = 0 são perpendi-
culares.
[12] Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto A = (2,1,0) e é perpendicular aos
planos pi1 : x+2y −3z+4= 0 e pi2 :−1
8
x− 1
4
y + 3
8
z−1= 0.
[13] Um cubo tem diagonal AB e uma das faces está contida no plano pi : x − y = 0. Determine
seus vértices, dados A = (1,1,0) e B = (1,3,p2).
[14] Dados os planos pi1 : x− y+z+1= 0, pi2 : x+ y−z−1= 0 e pi3 : x+ y+2z−2= 0, encontre uma
equação geral do plano que contém pi1∩pi2 e é perpendicular a pi3.
Solução. Considere os vetores #«n 1 = (1,−1,1), #«n 2 = (1,1,−1) e #«n 3 = (1,1,2). Então: #«n 1 é
normal a pi1,
#«n 2 é normal a pi2 e
#«n 3 é normal a pi3. Como
#«n 1 e
#«n 2 são LI, os planos pi1 e pi2
são transversais e portanto, pi1∩pi2 é uma reta que denotaremos por r . Em particular, #«n 1 e
#«n 2 são ortogonais à reta r , de onde segue-se que
#«v = #«n 1∧ #«n 2 é um vetor diretor dessa reta:
#«v = #«n 1∧ #«n 2 =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
1 −1 1
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣= (0,2,2).
21
Sejapi4 o plano procurado. Comopi4 ⊥pi3 e #«n 3 é ortogonal api3, concluimos que #«n 3 é paralelo
ao plano pi4. Além disso,
#«v também é paralelo ao plano pi4 já que este plano contém a reta r .
Como #«v e #«n 3 são LI, o vetor
#«n 4 := #«v ∧ #«n 3 é normal ao plano pi4:
#«n 4 := #«v ∧ #«n 3 =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
0 2 2
1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣= (2,2,−2).
Logo, uma equação geral de pi4 é da forma
2x+2y −2z+d = 0,
para algum d ∈ R. Observando que A := (0,0,−1) pertence à reta r , e portanto ao plano pi4,
obtemos d =−2. Logo
pi4 : x+ y − z−1= 0,
que coincide com o plano pi2. Isto já era esperado, visto que
#«n 2 · #«n 3 = 0 e r ⊂pi2.
17 Ângulos
Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) de coordenadas.
[1] Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
(a) X = (−5/2,2,0)+λ(1/2,1,1) e s :
{
3x−2y +16= 0
3x− z = 0
(b) r : x = 1− y
2
= z
3
e s :
{
3x+ y −5z = 0
2x+3y −8z = 1
[2] Ache a medida em radianos do ângulo entre reta e plano nos casos:
(a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometricamente.
(b)

x = 1+λ
y =λ
z =−2λ
e x+ y − z−1= 0
(c)
{
y = 2−x
x = 1+2z e
p
45/7x+ y +2z = 10
[3] Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) 2x+ y − z−1= 0 x− y +3z−10= 0;
b) X = (1,0,0)+λ(1,0,1)+µ(−1,0,0). x+ y + z = 0.
[4] Ache a reta que intercepta as retas r :
x−1
3
= y −1
2
= −z
3
e

x =−1+5λ
y = 1+3z
z =λ
e forma
ângulos congruentes com os eixos coordenados.
22
[5] Ache a retar que passa pelo ponto (1,−2,3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente,
com o eixo dos x e dos y .
[6] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x+ y + z = 0 e que forma 45◦ com o
plano pi2 : x− y = 0.
[7] Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces.
[8] Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r :
{
x−2y +2z = 0
3x−5y +7z = 0 e forma
com o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus.
[9] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta
r :
{
3z−x = 1
y −1= 1
e forma com s : X = (1,1,0)+λ(3,1,1) um ângulo cuja medida em radianos é θ = arccos 2
p
30
11
.
[10] A diagonal BC de um quadrado ABC D está contida na reta r : X = (1,0,0)+λ(0,1,1). Sabendo
que A = (1,1,0), determine os pontos B ,C ,D .
18 Distâncias
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) de coordenadas.
[1] Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
(a) P = (0,−1,0) e r :
{
x = 2z−1
y = z+1 . (b) P = (1,−1,4) e r :
x−2
4
= y−3 =
z−1
−2 .
[2] Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s :
{
2x− z = 3
y = 2 , concorrente com t : X =
(−1,1,1)+λ(0,−1,2), e que dista 1 do ponto P = (1,2,1).
[3] Um quadrado ABC D tem a diagonal BD contida na reta r :
{
x = 1
y = z . Sabendo que A =
(0,0,0), determine os vértices B ,C e D .
[4] Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r :
{
x+ z = 1
y = 0
e s :
{
x+ y = 1
z = 0 . Descreva o lugar geométrico.
[5] Sejam P = (1,0,2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano pi que
contém r e dista 2 do ponto P .
[6] Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax+by + cz+d = 0, mostre que
d(P,pi)= |ax0+by0+ cz0+d |p
a2+b2+ c2
23
[7] Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0,0,2)+λ(−2, 1/2,1) e x−1−2 =
y
1/2
= z.
[8] Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y +2z+9= 0 e 4x−2y +4z−21= 0.
[9] Calcule a distãncia entre as retas r :

x = 2−λ
y = 1+λ
z =−λ
e s :
{
x+ y + z = 0
2x− y −1= 0 .
[10] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z que distam 3 do ponto A = (0,2,1).
[11] Ache os pontos da reta y = 2x+1 que estão situados a distância 2 da origem.
[12] Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+2y −2z = 0
[13] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z que distam
p
14/3 de s : x = y = z+1.
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e é
concorrente com as retas
r : X = (1,−1,−1)+λ(1,2,4) e s :
{
x− y = 1
3y −2z+6= 0 .
[15] Ache os pontos da reta r :
{
y = 2−x
x = y + z que distam
p
6 de pi : x−2y − z = 1.
[16] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1,1,−1), Q = (2,1,1) e que dista
1 da reta r : X = (1,0,2)+λ(1,0,2).
[17] Dê uma equação vetorial da reta r , contida no plano pi : x + y = 0, que forma um ângulo de
30◦ com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x.
[18] Se a distância da origem a um plano é d , e esse plano intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e
(0,0,c), prove que:
1
d 2
= 1
a2
+ 1
b2
+ 1
c2
.
19 Mudança de Coordenadas
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ) de coordenadas em E2.
[1] Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′, #«f1, #«f2, #«f3) dois sistemas de coordenadas tais que #«f1 = #«e1+
#«e2,
#«
f2 = #«e2, #«f3 = #«e2+ #«e3 e O′ = (1,1,1)Σ1 . Obtenha as equações paramétricas da reta r : [X =
(0,0,0)+λ(0,1,1)]Σ1 no sistema Σ2.
[2] Sejapi : [2x−y+z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral depi no sistemaΣ2 do exercício anterior.
[3] Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P = (p3,1) sejam
(
p
3,−1).
24
[4] Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x + 3y − 2 = 0 passe pela (nova) origem,
sabendo que esta tem abscissa −1.
[5] Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+2y+1=O fique paralela ao (novo) eixo das
abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes.
[6] Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio r > 0. Mostre que C ,
em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem equação u2+ v2 = r 2.
[7] Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações:
(a) 9x2−4y2−18x−16y −7= 0;
(b) 4x2−24x y +11y2+56x−58y +95= 0;
(c) 16x2−24x y +9y2−85x−30y +175= 0;
(d) 4x2+ y2+8x−10y +13= 0;
(e) x2−6x−5y +14= 0;
(f) x2+2y2−4x−4y −1= 0;
(g) 8x2−2x y +8y2−46x−10y +11−0;
(h) 12x2+8x y −3y2+64x+30y = 0;
(i) 2x2−12x y +7y2+8x+20y −14= 0;
(j) 25x2+20x y +4y2+30x+12y −20= 0;
(k) 4x2−4x y + y2−8p5x−16p5y = 0;
(l) x2+x y + y2−1= 0;
(m) 4x2 − 12x y + 9y2 − 8p13x − 14p13y +
117= 0;
(n) 3x2−2x y +3y2+2p2x−6p6y +2= 0.
[8] Considere a equação do segundo grau
Ax2+B x y +C y2+Dx+E y +F = 0, (2)
que após uma mudança de coordenadas em E2 é escrita