2a_Lista

Prévia do material em texto

Nos exercíc ios 01 a 14 , calcule a integral de l inha ao longo do caminho ind icado. 
 
01. 
 
C
ydyxxdx2
, C o segmento ret i l íneo que inicia em 
)0,1(
 e termina em 
)3,2(
. 
02. 
 
C
rdF

, onde 
jyixyyxF

2),( 
 e C é o arco da parábola 
2xy 
, compreendido entre 
)1,1(
 e 
)1,1(
, percorr ido do ponto de maior para o de menor abscissa. 
03. 
ydxxdyx
C
22 
, onde, de acordo com a f igura aba ixo , o caminho C l iga a or igem ao ponto 
)1,2(
 a través 
a) do segmento ret i l íneo r . 
b) do arco p , porção da parábola cujo eixo de simetr ia é OY. 
c) da união dos segmentos ret i l íneos s e t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. 
xd
yx
y
yd
yx
x
C
)()(
2222 


, C a porção da circunferência de centro na or igem e ra io 
2
, 
compreendida entre os pontos 
)0,2(
 e 
)2,2(
, percor r ida no sentido contrár io ao dos 
ponteiros de um relógio. 
05. 
ydxyxdyx
C
)( 22 
, C a fronteira da região fechada , determinada pe los arcos das parábolas 
2xy 
 e 
2yx 
, para 
]1,0[x
. 
06. 
 

C
yx
ydxd
, sendo C o quadrado de vér t ices 
)0,1(,)1,0(,)0,1( 
 e 
)1,0( 
, percorr ido uma 
vez no sentido contrár io ao dos ponte iros de um relógio . 
0 
x 
y 
(2 , 1) 
r s 
t 
p 
07. 

C
x
sen
ydyxxde x 2)( 
, sendo C o caminho do pr imeiro quadrante, o r ientado posi t ivamente, 
dado pelo e ixo OX, de 
0x
 a 
2x
, seguido do arco da circunferência 
422  yx
, do 
ponto 
)0,2(
 ao ponto 
)2,2(
, complementado pelo segmento ret i l íneo que par te desse 
úl t imo ponto e chega à o r igem. 
08. 
 
C
ydyxdxyx )(42
, onde C r esulta da uniã o do segmento re t i l íneo que va i de 
)2,3(
 a 
)0,1(
 com o arco da c ircunferência 
122  yx
, s i tuado no pr imeiro quadrante entre os 
pontos 
)0,1(
 e 
)1,0(
, percorr ido no sentido posit ivo. 
09. 
 

dF

, onde 

 é o segmento de reta que vai do ponto 
)0,
2
(

A
 ao ponto 
)1,(B
 e 
yyxF (),( 
 sen
,x
cos
)x
. 
10. 

C
xe
sen
y dx
xe
cos
ydy
, sendo C a el ipse 
2483 22  yx
, percorr ida uma vez no sentido 
posi t ivo. 
11. 
 
C
ydxxdy 2
, onde C é a fronteira da região de terminada pe lo conjunto dos pontos 
),( yx
 
em R2 , sa t i s fazendo
yxyyx  ,122
, com 
0y
. 
12. 
 
C
rdF

, onde 
jxiyyxF

22),( 
 e C é o caminho que va i do ponto 
)1,0( 
 ao ponto 
)1,0(
 
a través da semi -c ircunferência 
21 yx 
. 
13. 
ydytgyxxd
C
  )(2
2
, C o caminho , percorr ido uma vez no sentido posi t ivo, definido pe la 
circunferência de equação 
1)1( 22  yx
. 
14. 
 
C
xxdytg
sec
ydy2
, onde C é o segmento ret i l íneo que par te do ponto 
)0,2(
 e vai até o 
ponto 
)
4
,4(

. 
15. Qual o trabalho real izado pela força 
jxiyyxF

16)23(),( 2 
, no deslocamento de uma 
par t ícula, do ponto 
)0,1(
 ao ponto 
)0,1(
, segundo o arco super ior da el ipse de equação 
2222 byxb 
? Para que e l ipse es te trabalho terá a t ingido seu menor va lor ? 
16. Se 
g
 é uma função rea l de uma var iável rea l de c lasse C 1 , ver i fique que é conservat ivo o 
campo ve tor ial definido por 
))(,)((),( 2222 yyxgxyxgyxF 
 . 
17. Usando o resul tado da questão anter ior , conclua que é conservat ivo o campo ve tor ial 
))(,)((),( 2222 yyxxyxyxF pp 
 , def inido em R2 – 
})0,0({
, determinando, para ele , 
uma função potencial . 
18. Considere 
)(tf
 uma função de classe C 1 , para 
bta 
, e 
D
 uma região qualquer contida 
em 
),({ yx
R2 / 
}byxa 
. O campo ve tor ial 
))(,)((),( yxfxyxfyyxF 
 , definido em 
D
, é conservat ivo? 
19. 
2
3
)1,2(
)2,1(
2


 y
ydxdxy
, para qualquer caminho l igando os pontos 
)2,1(
 e 
)1,2(
 ? 
20. Calcule , de acordo com a f igura ao lado, 
∫(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦3)𝑑𝑦,
𝐶1
 
sabendo que C 2 é a c ircunferência centrada 
na or igem com raio 1 e que a região D tem 
área igua l a 8 . 
 
 
 
 
 
 
R E S P O S T A S 
 
01. 59/6 02. 0 03. a. 4/3 b . 0 c. 4 
04.  /4 05. – 9/20 06. 0 
07. – 2 08. – (28 +  ) 09. 1 
10. 0 11.  /4 12. 4/3 
13. 2 14. 4 15. 
484 2  bb
. Para a el ipse 
determinada por 
b
. 
17. 









2
2
2
1
22
222
pse,)yx(ln
pse,)yx(
p)y,x(f
p
 18. Sim. 19. Não. 20. 16 + 2𝜋 
