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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Composição de funções e Funções inversas
Introdução
Uma maneira de obter novas funções é aplicar operações usuais (adição, subtração,
multiplicação e divisão) sobre funções conhecidas em domínios que possuem valores comuns.
Por exemplo, consideremos as funções fx = x + 3 e gx = x2.
Temos que Df = −3,+∞ e Dg = R e que a intersecção entre esses conjuntos é o intervalo
−3,+∞.
Assim teremos:
hx = f + gx = fx + gx = x + 3 + x2 com Dh = −3,+∞
ix = f − gx = fx − gx = x + 3 − x2 com Di = −3,+∞
jx = fgx = fx × gx = x + 3 × x2 = x2 x + 3 com Dj = −3,+∞
kx = fg x =
fx
gx
=
x + 3
x2
com Dk = −3,+∞ − 0
Composição de funções
Ainda podemos obter novas funções a partir de outras duas aplicando as leis envolvidas,
primeiro uma e depois a outra. Essa operação é chamada composição.
Definição: Dadas duas funções f : A → B e g : B → C, chamamos de função composta de g com f
a função gof : A → C, tal que gofx = gfx, para x ∈ A.
Exemplo 1:
1) Dadas as funções fx = 1
x − 1 e gx = x , determine f ∘ g e g ∘ f.
Solução:
fogx = fgx = f x  = 1
x − 1
gofx = gfx = g 1
x − 1 =
1
x − 1
2) Dadas as funções fx = 2x − 3 e gx = x2, determine f ∘ g e g ∘ f.
Solução:
fogx = fgx = fx2 = 2x2 − 3
gofx = gfx = g2x − 3 = 2x − 32 = 4x2 − 12x + 9
Exemplo 2:
Determine fx e gx de modo que y = fgx.
a) Para y = x2 − 5x , temos fx = x e gx = x2 − 5x.
b) Para y = x − 53 + 2, temos fx = x3 + 2 e gx = x − 5.
Exercícios de aula 7
(1) Considerando as funções reais fx = 2x − 32 e gx = x + 1, determine as regras que definem as
funções compostas: gofx, fogx, fofx e gogx.
(2) Se fx = x + 2 e gx = x2 − 2, quais os valores de x para que fogx = gofx?
1
(3) Determine a função gx sabendo que fx = 5x e fgx = 10x + 1.
(4) Se gx = x3 + 1 e hx = x2 , determine goh−1.
Função inversa
Definição: Dada uma função bijetora f : A → B, chamamos de função inversa de f a função
f−1 : B → A tal que, para todo x ∈ A e y ∈ B, temos y = fx se e somente se x = f−1y.
Na prática, se x, y ∈ f, então, y, x ∈ f−1.
Obs.: Uma função f : A → B é bijetora se for sobrejetora (Imf = B) e injetora
(x1 ≠ x2  fx1 ≠ fx2).Podemos reconhecer se uma função é ou não bijetora através do seu
gráfico. Para isso traçamos retas paralelas ao eixo x passando pelos pontos do gráfico .Se cada
uma dessas retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função será bijetora. (Teste da Reta
Horizontal)
Exemplo 1: Considerando os conjuntos A = 7, 8, 9, 10 e B = 4, 5, 6, 7, a função f : A → B,
definida por f = 7, 4, 8, 5, 9, 6, 10, 7 é bijetora e, portanto, admite função inversa. Sua inversa
f−1 : B → A é definida por f−1 = 4, 7, 5, 8, 6, 9, 7, 10.
Exemplo 2: Se fx = 5x então f−1x = x5 . Alguns pontos que pertencem à f são 1, 5, −3,−15,
2, 10 e 12 ,
5
2 . Observe que os pontos simétricos 5, 1, −15,−3, 10, 2 e
5
2 ,
1
2 pertencem à
f−1, isto é, satisfazem a equação f−1x = x5 .
Observações:
1) Apenas funções bijetoras apresentam função inversa.
2) O símbolo f−1 deve ser lido como "função inversa" e jamais deve ser confundido com a recíproca
de f. Se f é uma função, o símbolo f−1 pode somente representar a inversa de f. A recíproca de f
deve ser escrita como 1f .
3) Df = Imf−1 e Df−1 = Imf.
Determinação da função inversa algebricamente:
Observe o procedimento para determinar a função inversa de uma função bijetora:
1) Determine a inversa da função fx = 3x − 6.
1.1. Considere a equação que define a função: y = 3x − 6
1.2 Troque x por y e y por x: x = 3y − 6
1.3 Isole y na última equação escrita:
x = 3y − 6  x + 6 = 3y
 x + 63 = y
Portanto, f−1x = x + 63 .
Veja que Df = Imf−1 = R e Df−1 = Imf = R.
2) Determine a inversa da função gx = 2x − 3
x + 1 , sabendo que Dg = R − −1 e Img = R −2.
1.1. Considere a equação que define a função: y = 2x − 3
x + 1
2
1.2 Troque x por y e y por x: x = 2y − 3y + 1
1.3 Isole y na última equação escrita:
x =
2y − 3
y + 1  xy + 1 = 2y − 3
 xy + x = 2y − 3
 xy − 2y = −3 − x
 yx − 2 = −3 − x
 y = −3 − x
x − 2
Portanto, g−1x = −3 − x
x − 2 , ou g
−1x = − x + 3
x − 2 .
Veja que Dg−1 = Img = R −2 e Img−1 = Dg = R −−1.
3) Proceda de forma semelhante para mostrar que a função inversa de hx = x − 3 é
h−1x = x2 + 3.
Veja que Dh = 3,+∞ e Imh = 0;+∞ e conclua a respeito do domínio e da imagem da função
inversa.
Gráfico da função inversa:
 Veja os gráficos de fx = 3x − 6 e de sua  Veja os gráficos de hx = x − 3 e de sua
inversa f−1x = x + 63 no mesmo sistema de inversa h
−1x = x2 + 3 no mesmo sistema de
eixos coordenados: eixos coordenados:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8
10
x
y
Observe a simetria dos dois gráficos , da f e Observe a simetria dos dois gráficos , da h e
da f−1, em relação à reta pontilhada. da h−1, em relação à reta pontilhada.
Os gráficos de uma função f e de sua função inversa f−1
são simétricos em relação à reta y = x.
A composição de funções inversas:
Observe os itens a seguir, em que determinamos a função composta de uma função e de sua
função inversa:
1) fx = 3x − 6 e sua inversa f−1x = x + 63 :
fof−1x = ff−1x = f x + 63 = 3
x + 6
3 − 6 = x + 6 − 6 = x
3
fo−1fx = f−1fx = f−13x − 6 = 3x − 6 + 63 =
3x
3 = x
2) hx = x − 3 e inversa h−1x = x2 + 3:
hoh−1x = hh−1x = hx2 + 3 = x2 + 3 − 3 = x2 = x
ho−1hx = h−1hx = h−1 x − 3 = x − 3
2
+ 3 = x − 3 + 3 = x
A composição de uma função f e de sua função inversa f−1
resulta na função identidade (y = x).
Exercícios de aula 8
(1) Determine a lei que define a função inversa da função bijetora fx = −5x + 1. Em seguida,
a) Determine as compostas fof−1 e fo−1f, comprovando que a lei determinada define, de fato, a
função inversa f−1.
b) Construa os gráficos da f e da f−1 no mesmo sistema de eixos, comprovando sua simetria em
relação à reta y = x.
(2) Determine a lei que define a função inversa das funções:
(2.1) fx = x3
(2.2) gx = x + 22x − 3
(3) Em cada caso, há o gráfico de duas funções. Assinale com um (x) os itens que representam os
gráficos de funções inversas.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
(4) Considere o gráfico de uma função bijetora, f, dado a seguir. Construa no mesmo sistema o
gráfico da função inversa, f−1.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
4