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1 4. FUNÇÃO INVERSA Uma função f : A → B é uma relação entre os conjuntos A e B com propriedades especiais. f como relação é um subconjunto de 𝐴 × 𝐵 . Os pares ordenados (x, y) deste subconjunto são tais que y = f (x). Por exemplo, se A ={-1,1,2}, B ={-1,0,1,4} e f (x)= x2 . Enquanto relação, f se escreve como f ={(-1,1),(1,1),(2,4)}. Suponha que as coordenadas são trocadas para obter uma nova relação g : g ={(1,-1),(1,1),(4,2)} Em que condições podemos garantir que, após a inversão, g é ainda uma função (e não meramente uma relação?). Fonte: http://www.sxc.hu/photo/592411, foto de: Brian Lary Se você pensar um pouquinho vai chegar à conclusão de que g é uma nova função apenas no caso em que a função f for bijectiva. Entre outras palavras, somente as funções bijectivas f possuem inversa f -1 .Entendeu? Vamos tentar te convencer da validade desta resposta através de diagramas. Caso (I): se f não é injectiva então não existe inversa. Veja um exemplo, representado no diagrama a seguir, onde A ={a,b,c} e B ={1,2} A função inversa não pode ser definida para o elemento 1, pois f (a)= f (b)=1 Atenção Nos casos afirmativos g é chamada função inversa de f e geralmente denotada por -1 f . 2 Figura 8: f (a)= f (b) =1 Caso (II): se f não é sobrejectiva então não existe inversa. Veja um exemplo, representado no diagrama abaixo, onde Portanto, uma função f : A → B , possui a função inversa 𝑓−1 se e somente se f é bijectiva. Seja f : A → B uma função bijectiva. Então a função inversa 𝑓−1 : B → A tem as seguintes propriedades: (i) 𝑓−1 é uma função bijectiva de B em A. (ii) D(𝑓−1)= Im (f )= B (iii) Im (𝑓−1)= D(f )= A. A relação entre os pares ordenados de f e 𝑓−1 pode ser expressa simbolicamente por (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⟺ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1 ou 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) { } c b a A , , = e { } 4 , 3 , 2 , 1 = B Figura 9: A função inversa não pode ser definida em 4 ∈ B. 3 Agora que você já sabe quais são as características de uma função inversa, vamos avançar em nosso estudo para descobrir de que forma podemos determinar uma função inversa. Para isso, veja a sequência de exemplos a seguir. Exemplos. (i) Qual a função inversa da função bijectiva f : R → R definida por f (x)= 3x + 2? Solução: se y = f (x) então f -1(y)= x . Partindo de y =𝑓(𝑥), y=3x+2 , procuramos isolar x para encontra x = f -1(y) 𝑦 = 3𝑥 + 2 ⟹ 3𝑥 + 2 = 𝑦 ⟹ 3𝑥 = 𝑦 − 2 ⟹ 𝑥 = 𝑦 − 2 3 Logo, 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑦−2 3 Como a variável pode indiferentemente ser trocada também podemos escrever𝑓−1(𝑥) = 𝑥−2 3 (ii) Qual é a função inversa da função bijectiva em f : R → R definida por f (x)= x3 ? Solução: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3, então 𝑦 = 𝑥3 ⟹ 𝑥3 = 𝑦 ⟹ 𝑥 = √𝑦 3 Portanto: 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = √𝑦 3 ou seja 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 3 (iii) Um exemplo importante é o da função identidade. I : R → R , I(x)=𝑥 . Isto é, se escrevermos y = I(x), temos que y = x . A representação gráfica desta função resulta na bissectriz do primeiro quadrante. Veja a figura 10 a seguir . Figura 10: Função identidade É claro que 𝐼−1 = I. Isto é, a função identidade e sua inversa coincidem. 4 Observações importantes Um exame do gráfico a seguir nos leva à conclusão que os pontos (x,y) e (y,x) do plano, abaixo representados, são simétricos com relação a recta y = x. Lembrando a relação (x, y)∈ f ⇔ (y,x)∈ f -1 Podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma função e sua inversa são simétricos em relação à recta y=x . Isto é os gráficos que representam f e 𝑓−1 são simétricos em relação a recta bissectriz do 1º e 4º quadrante. (ii) Sejam f : A → B e a função inversa 𝑓−1: B → A. Então 𝑓𝑜𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐵 e 𝑓−1𝑜𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐴 são funções identidade. de facto y = f (x) ⟺ x = f -1(y) Implica que fof -1(y)= f (x)= y E então f -1of = Id. Também 𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 E então 𝑓−1𝑜𝑓 = 𝐼𝑑 Exemplo: Seja a função f em R definida por f (x)= 2x -3 , construir num mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f -1 . 5 1. Sendo f a função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8, para todos os valores 𝑥 > 3. Determine o valor de 𝑓−1(3). 2. A função inversa da função bijetiva 𝑓: 𝑅\{−4} definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥−3 𝑥+4 é: a) 𝑓−1(𝑥) = 𝑥+4 2𝑥−3 b) 𝑓−1(𝑥) = 𝑥−4 2𝑥−3 c) 𝑓−1(𝑥) = 4𝑥+3 2−𝑥 d) 𝑓−1(𝑥) = 4𝑥+3 𝑥−2 e) 𝑓−1(𝑥) = 4𝑥+3 𝑥+2 Solução: 6 3. Dada a função real de variável real f, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 𝑥−1 , x≠1. a) determine (𝑓𝑜𝑓)(𝑥) b) escreva uma expressão para 𝑓−1
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