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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Funções logarítmicas
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 7 - p. 116.
DEMANA, F. D. et. al. Pré-cálculo: capítulo 12 - p. 143
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Revisão rápida: Logaritmos
Considere as seguintes questões:
(a) A que número se deve elevar o 2 para se obter 8?
(b) A que número se deve elevar o 3 para se obter 181 ?
(a) 2x = 8 ⇔ 2x = 23 ⇔ x = 3
Esse número 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e representa-se por log28 = 3.
Assim, log28 = 3 porque 23 = 8.
Perceba que o logaritmo é um expoente.
(b) 3x = 181  3
x = 1
34
 3x = 3−4 ⇔ x = −4
O valor −4 é o logaritmo de 181 na base 3. Representa-se por log3
1
81 = −4.
Assim, log3 181 = −4 porque 3
−4 = 181 .
O logaritmo de um número está vinculado a uma potência, mais especificamente, é um
expoente de uma potência. Com isso, podemos desenvolver nosso estudo sobre logarítmos usando
nossos conhecimentos sobre potenciação.
Logaritmo
Definição:
Sejam a e b números reais, positivos, com b > 0 e b ≠ 1. Chamamos logaritmo de a na base b
o número real x tal que bx = a.
Escrevemos
logba = x  bx = a
onde b é a base do logaritmo
a é o logaritmando
x é o logaritmo
Exemplos:
Vamos calcular alguns valores de logaritmos usando a definição, isto é, relacionando-os a potências:
1. log232 = 5 pois 25 = 32
2. log5 3 25 = log5 3 52 = log552/3 = 23 pois 5
2/3 = 52/3 = 3 52
3. log61 =. . . . . . . . pois 60 = 1
4. log10000 = log104 =. . . . . . (Obs.: logx = log10x)
5. log0, 000001 =. . . . . . . . . pois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
6. ln e =. . . . . . pois e1 = e (Obs.: e é o número irracional cujo valor aproximado vale 2. 718 3 e
ln x = logex)
7. ln 1 =. . . . . . . . . . . . . . pois . . . . . . . . . . . .
8. log1/24 =. . . . . pois . . . . . . . . . . . . . . .
9. log0,30, 0081 =. . . . . . . . pois . . . . . . . . . . . .
10. log10−5 =. . . . . . pois . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades dos logaritmos
1. logb1 = 0 pois b0 = 1
2. logbb = 1 pois b1 = b
3. blogba = a
4. logbba = a
5. logba = logbc  a = c
6. logbac = logba + logbc
7. logb ac = logba − logbc
8. logbac = c logba
9. logba =
loga
logb =
ln a
ln b
Exemplos:
⋆Dado que log2 = 0, 30 e log3 = 0, 47, use as propriedades de logaritmo para calcular o valor de:
1. log5
Solução: Uma forma de usar as propriedades é:
log5 = log 102 = log10 − log2 = 1 − 0, 30 = 0, 70.
2. log12
3. log 8
⋆Usando a calculadora, calcule o valor de cada logaritmo. Se sua calculadora não tem recurso para
considerar uma base qualquer, use a transformação logba = ln aln b e calcule os logarítmos naturais para,
em seguida, calcular o quociente.
1. log27 = 2. 807 4
Solução: Direto na calculadora ou log27 = ln 7ln 2 =
1. 945 9
0. 693 15 = 2. 807 3.
2. log8175
3. log0,229
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Inversas das funções exponenciais
Lembretes:
1) Uma função y = fx bijetora admite uma função inversa y = f−1x.
2) Se y = fx e y = f−1x são funções inversas uma da outra, então, a, b ∈ f  b, a ∈ f−1.
3) fof−1x = fo−1fx = x.
4) Os gráficos de y = fx e de y = f−1x são simétricos em relação à reta y = x.
Assim, uma função exponencial fx = bx é bijetora e, por isso, ela tem uma inversa que também é
uma função. Essa inversa é a função logaritmica de base b, denotada por logbx.
2
Portanto, se fx = bx com b > 0 e b ≠ 1, então f−1x = logbx.
Veja os gráficos a seguir, construídos com base na propriedade da "simetria" dos gráficos de funções
inversas em relação à reta y = x.
x
y
x
y
Gráficos da função exponencial (com b > 1) e Gráficos da função exponencial (com 0 < b < 1)
da sua inversa, a função logarítmica de mesma e da sua inversa, a função logarítmica de
base. mesma base.
Função Logarítmica
Definição:
Sendo b um número real, positivo e diferente de 1, chamamos função logarítmica de base b a
função f : R+∗  R definida por fx = logbx.
Veja que: Dlogbx = Imbx = 0;+∞ e Imlogbx = Dbx = R
Exemplos de funções logarítmicas:
fx = log2x gx = log1/2x hx = log4x Ix = log0.2x Jx = logx kx = ln x
Gráfico:
Construa o gráfico das seguintes funções nos sistemas apresentados e complete o que se pede:
-1 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
fx = log2x
-1 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
gx = log 1
2
x
3
Para fx = log2x: Para gx = log 12 x:
Df =. . . . . . . . . . Dg =. . . . . . . . . .
Imf =. . . . . . . . . . Img =. . . . . . . . . .
base =. . . . . . . . . base =. . . . . . . . .
Crescente ou decrescente?. . . . . . . . . . Crescente ou decrescente?. . . . . . . . . . . . . .
x→+∞
lim fx =. . . . . . . . . .
x→+∞
lim gx =. . . . . . . . .
x→0+
lim fx =. . . . . . . . .
x→0+
lim gx =. . . . . . . . .
Importante: Observe os gráficos e conclua que:
1) A função y = logbx é crescente quando b > 1 e decrescente quando 0 < b < 1;
2) Dlogbx = 0,+∞ e Imlogbx = R;
3) y = logbx não intercepta o eixo dos y e o gráfico está todo à direita do eixo dos y;
4) O gráfico de y = logbx intercepta o eixo dos x no ponto 1, 0;
5) Se b > 1, então, à medida que percorremos o gráfico de y = logbx da esquerda para a direita, os
valores de logbx crescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a esquerda os
valores de logbx decrescem sem parar, sem nunca atingir o eixo y. Analogamente, se 0 < b < 1, à
medida que percorremos o gráfico de y = logbx da esquerda para a direita, os valores de logbx
decrescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a esquerda os valores de logbx
crescem sem parar, sem nunca atingir o eixo y.
6) O gráfico da função y = logbx tem uma assíntota vertical: a reta x = 0.
Exercícios de aula 10:
1) O gráfico da função fx = ln x é repetido a seguir em quatro sistemas. Em cada um dos sistemas,
desenhe o gráfico de uma das funções definidas abaixo e determine o domínio, a imagem e as
assíntotas.
(a) gx = lnx + 2 (b) hx = 1 + ln x (c) ix = lnx − 3 (d) lx = −2 ln x
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
4
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2) Determine a função inversa das funções:
(a) fx = 3. 5x
(b) gx = 2 log3x
(c) hx = 3 lnx − 2
3) Determine a inversa das funções definidas a seguir e, em cada caso, construa o gráfico da f e,
usando a propriedade da simetria construa também o gráfico da f−1.
(a) fx = −3 ln x
(b) fx = log1/3x − 1
Exercícios extraclasse 7:
1) Calcule os logaritmos sem utilizar calculadora, apenas relacionado-os com potências.
a) log44 b) log232 c) log100. 000 d) ln e−3
2) Determine a função inversa de:
a) fx = 2. 3x
b) gx = log5x + 2
c) hx = 2 lnx − 4
d) lx = logx + 3
3) Descreva como transformar o gráfico de y = logx no gráfico da função dada. Construa o esboço
do gráfico da função e de sua inversa.
a) fx = −1 + logx b) gx = logx − 3 c) Fx = −2 logx
4) Para cada função definida a seguir, esboce o gráfico, analise seu domínio, sua imagem, o
comportamento de crescimento/decrescimento, se tem extremos, as assíntotas e o comportamento nos
extremos do domínio.
a) fx = log2x + 2
b) gx = log1/2x + 2
c) Fx = − log3x + 0, 5
d) Gx = lnx − 1 − 32
5) Em cada sistema, há o gráfico de uma função exponencial ou de uma função logarítmica, além da
reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
Use a propriedade da simetria entre os gráficos de exponenciais e logarítmicasde mesma base em
relação a reta bissetriz e construa o gráfico da inversa. Além disso, determine a equação que define a
5
função inversa da função dada. Comprove, através da composição, que a função determinada de fato, é
a inversa da função dada.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(5.1) fx = −2 ln x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(5.2) fx = 2x+13
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(5.3) fx = log3x + 1 − 2
Algumas respostas:
1) a) log44 = 1 b) log232 = 5 c) log100. 000 = 5 d) ln e−3 = −3
2) a) f−1x = log3 x2 b) g
−1x = 5x−2 c) h−1x = ex/2 + 4 d) l−1x = 10x − 3
3)
a) O gráfico da f é b) O gráfico da g é c) O gráfico da F é
obtido deslocando o obtido deslocando o obtido do gráfico
gráfico de y = logx gráfico de y = logx de y = logx,
uma unidade três unidades multiplicando as
para baixo. para a direita. imagens por -2.
1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
x
y
1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
x
y
1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
x
y
4)
a) Df = −2;+∞; Imf = R; f é crescente, não tem extremos, sua assíntota vertical é a reta
x = −2.
Além disso, lim
x→−2+
fx = −∞ e lim
x→+∞
fx = +∞.
b) Df = 0;+∞; Imf = R; f é decrescente, não tem extremos, sua assíntota vertical é a reta x = 0.
Além disso, lim
x→0+
fx = +∞ e lim
x→+∞
fx = −∞.
c) Df = −0, 5;+∞; Imf = R; f é decrescente, não tem extremos, sua assíntota vertical é a reta
x = −0, 5.
Além disso, lim
x→−0,5+
fx = +∞ e lim
x→+∞
fx = −∞.
d) Df = 1;+∞; Imf = R; f é crescente, não tem extremos, sua assíntota vertical é a reta x = 1.
Além disso, lim
x→1+
fx = −∞ e lim
x→+∞
fx = +∞.
6
-2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
Gráficos
5)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(5.1)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(5.2)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(5.3)
5.1) x = −2 ln y  − x2 = ln y  e
−x/2 = y
Portanto, f−1x = e−x/2.
Além disso, fof−1x = fe−x/2 = −2 lne−x/2 = −2 − x2 = x
e fo−1fx = f−1−2 ln x = e−−2 ln x/2 = e ln x = x.
5.2) x = 2y+13  3x = 2
y+1  log23x = y + 1  log23x − 1 = y
Portanto, f−1x = log23x − 1.
Além disso, fof−1x = flog23x − 1 = 2
log23x−1+1
3 =
2log23x
3 =
3x
3 = x
e fo−1fx = f−1 2
x+1
3 = log23
2x+1
3  − 1 = log22
x+1 − 1 = x + 1 − 1 = x.
5.3) x = log3y + 1 − 2  x + 2 = log3y + 1  3x+2 = y + 1  3x+2 − 1 = y
Portanto, f−1x = 3x+2 − 1.
Além disso,
fof−1x = f3x+2 − 1 = log33x+2 − 1 + 1 − 2 = log33x+2 − 2 = x + 2 − 2 = x
e fo−1fx = f−1log3x + 1 − 2 = 3log3x+1−2+2 − 1 = 3log3x+1 − 1 = x + 1 − 1 = x.
7