11-Funcoes_trigonometricas_movimentos.pdf

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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Gráficos de funções obtidas por operações com funções tigonométricas
Assim como ocorreu com as demais funções trabalhadas até o momento, também os
gráficos de funções originadas de funções trigonométricas básicas (como y = senx,
y = cosx e y = tan x) podem ser obtidos por movimentos dos gráficos dessas funções.
Vamos analisar alguns casos, através da exploração de exemplos.
Exemplo 1: Consideremos fx = senx + 2.
A função é obtida de y = senx somando 2 unidades aos valores de y. Dessa forma,
podemos obter o gráfico da f deslocando o gráfico de y = senx duas unidades para cima.
-2 2 4 6 8 10
-1
1
2
3
4
x
y
Veja que Df = R, Imf = 1; 3, P = 2π e A = 1.
Exemplo 2: gx = cosx − 3
A função é obtida de y = cosx tirando 3 unidades dos valores de y. Dessa forma, podemos
obter o gráfico da f deslocando o gráfico de y = cosx três unidades para baixo.
-2 2 4 6 8 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
Veja que Dg = R, Img = −4;−2, P = 2π e A = 1.
Exemplo 3: hx = 2senx
O gráfico de hx é obtido do gráfico de y = senx duplicando as imagens em cada ponto.
1
-2 2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
x
y
Veja que Dh = R, Imh = −2; 2, P = 2π e A = 2.
Exemplo 4: Fx = cos x − π2
O gráfico da F é obtido do gráfico de y = cosx deslocando-o para a direita π2 unidades.
-2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
DF = R, ImF = −1; 1, P = 2π e A = 1
Exemplo 5: Gx = tan x + π2
Aqui também há um deslocamento horizontal. O gráfico da G é obtido do gráfico de
y = tan x deslocando-o para a esquerda π2 unidades.
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-5
5
10
x
y
DG = R − x ∈ R / x = kπ, k ∈ Z , ImF = R, P = π, amplitude não definida e assíntotas
verticais são as retas x = kπ, com k ∈ Z
2
Exemplo 6: hx = cosx3 − 1
Neste caso, há duas operações a considerar: dividimos y1 = cosx por 3 (e, por isso,
tomamos as imagens de y1 = cosx em cada ponto e dividimos por 3) e, em seguida,
tiramos 1 de y2 = cosx3 (por isso, deslocamos o gráfico feito até o momento para baixo 1
unidade). Vamos fazer as duas operações, nessa ordem para obter o gráfico de hx.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1.50
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.25
0.50
0.75
1.00
x
y
Dh = R, Imh = − 43 ;−
2
3 , P = 2π e A =
1
3
Atenção! Há uma operação para a qual não demos destaque até o momento por produzir
uma alteração mais visível em funções periódicas e, por isso, vamos estudá-la para as
funções trigonométricas. Trata-se da multiplicação ou da divisão do arco x da função
trigonométrica fx por uma constante.
Exemplo 7: fx = sen2x
Primeiramente, vamos construir uma tabela de valores para y = senu, sendo u um arco
conhecido da primeira volta positiva na circunferência trigonométrica (uma vez que o
período da função é P=2π). Veja que os valores escolhidos têm suas extremidades em
pontos que dividem a circunferência trigonométrica em cada um dos quadrantes.
u y = senu
0 0
π
2 1
π 0
3 π2 −1
2π 0
Agora, vamos considerar u = 2x (arco da função que estamos focando) e determinar, na
tabela anterior, os valores de x correspondentes.
x u = 2x y = sen2x
0 0 0
π
4
π
2 1
π
2 π 0
3 π4 3
π
2 −1
π 2π 0
Observe na tabela que os valores obtidos para a função y = senx em um período igual a
3
2π, agora são os mesmos obtidos para a função y = sen2x num período igual a π. Isto
significa que o gráfico de fx = sen2x pode ser obtido do gráfico de y = senx,
"encolhendo-o horizontalmente" de modo que seu período passe a ser π. Ainda: o período
da nova função pode ser obtido dividindo o período da função original por 2 (fator que
multiplica o x). Veja: P= 2π2 = π.
Vamos fazer o gráfico em dois passos: no primeiro, considerando apenas um período (no
intervalo 0; 2π) e, no segundo, mantendo seu comportamento de π em π radianos.
2 4 6 8 10 12
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x
y
-2 2 4 6 8 10 12
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.25
0.50
0.75
1.00
x
y
gráfico final
Destacamos que Df = R, Imf = −1; 1, P = π e A = 1
Exemplo 8: Vamos fazer o mesmo para gx = cos x3
O gráfico da g é obtido do gráfico de y = cosx fazendo que seu período seja triplicado (o
período é P = 2π1/3 = 6π pois, cos
x
3 = cos
1
3 x ).
-5 5 10 15 20 25 30
-1.50
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
x
y
-5 5 10 15 20 25 30
-1.50
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
x
y
gráfico final
Por fim, Dg = R, Img = −1; 1, P = 6π e A = 1.
Exemplo 9: hx = tan x2 + 3
1. Obtemos o gráfico de hx do gráfico de y = tan x (cujo período é π).
2. Multiplicamos x por 12 . Portanto, P=
π
1/2 = 2π.
3. Somamos 3 unidades aos valores de y. Portanto, o gráfico é deslocado 3 unidades
para cima.
Primerio, considerar um período de y = tan x (intervalo − π2 ;
π
2 ) e "expandir" 2 vezes(P=2π). Em seguida, repetir isso a cada 2π rad e, para finalizar, subir 3 unidades.
4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
1º passo
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2º passo
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
gráfico final
Assim, Dh = R − x ∈ R / x = kπ, k ∈ Z, k ímpar , Imh = R, P = 2π e assíntotas verticais
são as retas x = kπ, com k ∈ Z, k ímpar .
Exercício extraclasse 9:
Para cada função, esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem, o periodo, a
amplitude e as assíntotas (se for o caso) e descreva como o gráfico pode ser obtido da
função seno, cosseno ou tangente, conforme for definida a função.
(1) y = −2senx
(2) y = |senx|
(3) y = cosx2
(4) y = cosx − π4 
(5) y = −1 + cos2x
(6) y = sen x + π2
(7) y = sen x2
(8) y = 3 cosx + 2
(9) y = tan x − π2
(10) y = 2 + tanx − π
Alguns comentários:
(1) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = senx multiplicando as
imagens por −2. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em que é
5
apresentado o gráfico de y = senx (tracejado).
-4 -2 2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
x
y
D−2senx = R
Im−2senx = −2; 2
P = 2π
A = 2
(2) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = senx tomando o valor
absoluto de cada imagem, isto é, nas partes onde o gráfico de y = senx está acima do eixo
x, fica exatamente igual e, nas partes em que o gráfico de y = senx fica abaixo do eixo x, o
gráfico fica simétrico em relação ao eixo. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo
sistema em que é apresentado o gráfico de y = senx (tracejado).
-4 -2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
D|senx| = R
Im|senx| = 0; 1
P = π
A = 1
(3) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = cosx dividindo as imagens
por 2. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em que é apresentado o
gráfico de y = cosx (tracejado).
-4 -2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
D cosx2  = R
Im cosx2  = −
1
2 ;
1
2
P = 2π
A = 12
(4) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = cosx deslocando-o π4
6
unidades para a direita. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em que é
apresentado o gráfico de y = cosx (tracejado).
-4 -2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Dcosx − π4  = R
Imcosx − π4  = −1; 1
P = 2π
A = 1
(5) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = cosx através de 2
procedimentos: (1) Dividimos o período por 2 (o que multiplica o x) que passará a ser π e
(2) deslocamos o gráfico obtido 1 unidade para baixo. Veja o gráfico da função (preto) feitono mesmo sistema em que é apresentado o gráfico de y = cosx (cinza) e de y = cos2x
(tracejado) .
-4 -2 2 4 6 8 10
-2
-1
1
x
y
D−1 + cos2x = R
Im−1 + cos2x = −2; 0
P = π
A = 1
(6) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = senx deslocando-o π2
unidades para a esquerda. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em
que é apresentado o gráfico de y = senx (tracejado).
-4 -2 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Dsen x + π2  = R
Imsen x + π2  = −1; 1
P = 2π
A = 1
(7) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = senx dividindo o período
por 1′2 (o que multiplica o x) que passará a ser 4π. Veja o gráfico da função (preto) feito no
mesmo sistema em que é apresentado o gráfico de y = senx (tracejado) .
7
-4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Dsen x2  = R
Imsen x2  = −1; 1
P = 4π
A = 1
(8) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = cosx através de 2
procedimentos: (1) Multiplicamos as imagens por 3 e (2) deslocamos o gráfico obtido 2
unidades para cima. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em que é
apresentado o gráfico de y = cosx (cinza) e de y = 3 cosx (tracejado) .
-4 -2 2 4 6 8 10
-2
2
4
6
x
y
D3 cosx + 2 = R
Im3 cosx + 2 = −1; 5
P = 2π
A = 3
(9) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = tan x deslocando-o π2
unidades para a direita. Veja o gráfico da função (preto) feito no mesmo sistema em que é
apresentado o gráfico de y = tan x (tracejado).
As assíntotas (que ocorrem em x = π2 + kπ, com k ∈ Z) também são deslocadas
π
2
unidades para a direita, o que permite escrever as novas assíntotas como
x = π2 + kπ +
π
2 = π + kπ = nπ, com n ∈ Z.
-4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
x
y
D tan x − π2 = R − x ∈ R / x = nπ, com n ∈ Z
Im tan x − π2 = R
P = π
Assíntotas: retas de equação x = nπ, com n ∈ Z
8
(10) Podemos obter o gráfico da função a partir do gráfico de y = tan x através de 2
procedimentos: (1) Deslocamos o gráfico π unidades para a direita e (2) deslocamos o
gráfico obtido 2 unidades para cima.
Observe que, o movimento de "deslocar o gráfico π unidades para a direita" faz com que o
gráfico coincida com o gráfico de y = tan x. Veja a primeira figura (onde construímos os
dois gráficos e precebemos que eles coincidem). Então, na segunda figura, fizemos o
gráfico da função, apenas deslocando o gráfico da primeira figura 2 unidades para cima.
Portanto, o domínio, a imagem o período, as assíntotas são as mesmas que para y = tan x.
-4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
x
y
-4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
x
y
9