LISTA 1 ESPAÇOS VETORIAIS 2016.1

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UNIJORGE // CURSO DE ENGENHARIA // DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
LISTA DE EXERCÍCIOS : ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS 
PROFESSOR: CAIO EDUARDO P. COSTA 
ALUNO : ___________________________________________________ 
 
 
1) Verdadeiro ou falso? Justifique. 
a) O conjunto ℤ dos números inteiros, com as operações usuais, é um espaço 
vetorial real. Resp:Falso, pois esse conjunto não é fechado para a 
multiplicação por escalar. 
b) O conjunto ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ≥ 0}, com as operações usuais, não é um 
subespaço vetorial real. Resp:Verdadeiro, pois esse conjunto não é fechado 
para a multiplicação por escalar. 
 
2) Sendo 𝑉 = ℝ², verifique se o conjunto 𝑊 = {(𝑥, 𝑥 + 1), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ ℝ} é um 
subespaço vetorial de 𝑉. Resp:Não, pois (0,0) ∉ 𝑆. 
 
3) Verifique quais dos conjuntos abaixo são subespaços de ℝ³. Justifique. 
a) {(𝑎, 0,0) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ ℝ}. Resp:Sim, pois cumpre as 3 condições de espaço 
vetorial. 
b) {(𝑎, 1,0) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ ℝ}. Resp:Não, pois (0,0,0) não pertence a esse 
conjunto. 
c) {(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1}. Resp:Não, pois (0,0,0) não pertence a esse 
conjunto. 
 
4) Verifique se o conjunto de matrizes da forma (
𝑎 0
0 𝑏
) , 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, é um 
subespaço vetorial de 𝑀2×2(ℝ). Resp: Sim, pois cumpre as 3 condições de 
subespaço vetorial. 
 
5) Verifique que o conjunto solução do sistema: 
 
{
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 3𝑤 = 0
𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 + 3𝑤 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 2𝑤 = 0
 
é o subconjunto de ℝ4 dado por {(0,
−𝑡
2
,
𝑡
2
, 𝑡) , 𝑡 ∈ ℝ}. Em seguida, verifique que 
este subconjunto é um subespaço vetorial de ℝ4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Prove que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo de 𝑚 equações 
e 𝑛 incógnitas é um subespaço vetorial de ℝ𝑛. 
Para isso, considere o sistema escrito na forma matricial 
𝐴. 𝑋 = 𝟎 (1) 
 
 onde 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℝ) é a matriz dos coeficientes, 𝑋 é o vetor coluna (de 𝑛 linhas) 
das incógnitas do sistema, e 𝟎 é o vetor nulo de ℝ𝑚 representado como coluna. 
Verifique então que o conjunto 𝑆 de todos os vetores 𝑋 de ℝ𝑛 que, se 
representados por vetores coluna, satisfazem a equação matricial (1), formam 
um subespaço vetorial de ℝ𝑛. 
 
7) Seja 𝑊 subespaço de ℝ4 definido por 𝑊 = {(2𝑎, 𝑎 + 𝑏, 0, 𝑎 − 𝑏), 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}. 
a) (0,0,0,0) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
b) (0, −2,1,0) ∈ 𝑊? Resp:Não. 
c) (0, −2,0,1) ∈ 𝑊? Resp:Não. 
 
8) Seja 𝑊 subespaço de ℝ3 definido por 𝑊 = {(𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦, 4𝑦) , 𝑐𝑜𝑚 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}. 
a) (7, −2, −12) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
b) (0,2,8) ∈ 𝑊? Resp:Não. 
 
9) Seja 𝑊 subespaço de ℝ4 definido por 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑐𝑜𝑚 𝑦 + 𝑧 = 0}. 
a) (1,0,0,4) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
b) (−3, −4,4,8) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
c) (−2, −2, −2, −2) ∈ 𝑊? Resp:Não. 
 
10) Seja 𝑊 subespaço de ℝ4 definido por 𝑊 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), 𝑐𝑜𝑚 𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0}. 
a) (3,1,0,0) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
b) (−1,0,1,0) ∈ 𝑊? Resp:Sim. 
c) (2,3,1, −3) ∈ 𝑊? Resp:Não. 
 
11) Em cada caso, escreva o vetor 𝑣 como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2 , … , 𝑣𝑛: 
a) Em ℝ3 , 𝑣 = (2,1,4) , 𝑣1 = (1,0,0) , 𝑣2 = (1,1,0) , 𝑣3 = (1,1,1). Resp: 𝑣 = 𝑣1 −
3𝑣2 + 4𝑣3. 
b) Em ℝ3 , 𝑣 = (2, −1,6) , 𝑣1 = (1,0,2) , 𝑣2 = (1,1,0). Resp: 𝑣 = 3𝑣1 − 𝑣2. 
c) Em 𝑃2(𝑥, ℝ), 𝑣 = 𝑥² − 2𝑥 , 𝑣1 = 𝑥 + 1 , 𝑣2 = 𝑥² , 𝑣3 = 2𝑥. Resp: 𝑣 = 0𝑣1 +
𝑣2 − 𝑣3. 
 
12) Determine o valor de 𝑚 para que o vetor 𝑣 = (1, −𝑚, 3) seja escrito como 
combinação linear dos vetores 𝑣1 = (1,0,2) , 𝑣2 = (1,1,1) , 𝑣3 = (2, −1,5). Resp: 
𝑚 = 1.