LISTA 2 ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 2016.1

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UNIJORGE // CURSO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
LISTA DE EXERCÍCIOS – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
PROFESSOR: CAIO EDUARDO P. COSTA 
ALUNO : ___________________________________________________ 
 
 
1) Dados os sistemas seguintes, através do Método de Escalonamento de Gauss 
encontre a matriz ampliada escalonada, encontre o posto da matriz ampliada e 
da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, a nulidade (grau de 
liberdade). Classifique o sistema e, se possível, resolva-o. 
 
a) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 9
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
 𝑥 = 2 , 𝑦 = 5 , 𝑧 = 1 
 
b) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
3𝑥 + 𝑦 + 7𝑧 = 2
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
 
c) {
𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 0
 𝑥 = −𝑡 , 𝑦 = −𝑡 , 𝑧 = 𝑡 
 
d) {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
 𝑥 = −7 − 5𝑡 , 𝑦 = 5 + 3𝑡 , 𝑧 = 𝑡 
 
e) {
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 + 2𝑤 = 0
−𝑥 + 𝑧 + 3𝑤 = 1
−4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3𝑤 = 2
 𝑥 =
−1
2
+ 2𝑡 , 𝑦 =
1
2
+ 4𝑡 , 𝑧 =
1
2
− 𝑡 , 𝑤 = 𝑡 
 
 
f) {
2𝑟 + 𝑠 = 3
4𝑟 + 𝑠 = 7
2𝑟 + 5𝑠 = −1
 𝑟 = 2 , 𝑠 = −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑥 + 𝑦 = −1
𝑥 + 𝑧 + 𝑤 = 2
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
 
 
h) {
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 4
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 + 4𝑑 = 10
𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 + 10𝑑 = 20
𝑎 + 4𝑏 + 10𝑐 + 20𝑑 = 35
 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 , 𝑧 = 1 , 𝑤 = 1 
 
2) Determine o valor de 𝑘 para que o sistema admita solução. Em seguida, 
classifique e resolva-o. 
 
{
−4𝑥 + 3𝑦 = 2
5𝑥 − 4𝑦 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 𝑘
 𝑘 = −6, 𝑆. 𝑃. 𝐷 , 𝑥 = −8 𝑒 𝑦 = −10 
 
 
3) Encontrar o valor de 𝑘 tal que o sistema homogêneo tenha infinitas soluções: 
 
{
2𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑘. 𝑧 = 0
 𝑘 = 2 
 
 
4) Considere o sistema: {
𝑘. 𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 − 4𝑦 = −6
 . Encontre os valores de 𝑘 para que o 
sistema: 
a) Tenha infinitas soluções. 𝑘 = −1 
b) Tenha solução única. 𝑘 ≠ −1 
 
 
5) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais o sistema admite infinitas 
soluções: 
{
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑎
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑏. 𝑧 = 0
 𝑎 =
4
3
 , 𝑏 = 3 
 
 
 
 
 
6) Considere o sistema de equações lineares, nas variáveis 𝑎, 𝑏, 𝑐: 
{
𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 𝑥
2𝑎 − 2𝑐 = 𝑦
𝑏 + 𝑐 = 𝑧
 
Determine a condição satisfeita por 𝑥, 𝑦, 𝑧 para que o sistema acima possua 
solução. −2𝑥 + 𝑦 + 6𝑧 = 0 
 
 
7) Considere o sistema de equações lineares, nas variáveis 𝑎, 𝑏: 
{
𝑎 + 2𝑏 = 𝑥
2𝑎 + 𝑏 = 𝑦
𝑎 − 2𝑏 = 𝑧
 
Determine a condição satisfeita por 𝑥, 𝑦, 𝑧 para que o sistema acima possua 
solução. 5𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 0 
 
 
8) Considere o sistema de equações lineares, nas variáveis 𝑥, 𝑦: 
{
3𝑥 − 2𝑦 = 𝑎
4𝑥 + 𝑦 = 𝑏
𝑥 = 𝑐
 
Determine a condição satisfeita por 𝑎, 𝑏, 𝑐 para que o sistema acima possua 
solução. 𝑎 + 2𝑏 − 11𝑐 = 0 
 
9) Dados os sistemas seguintes, através do Método de Escalonamento de Gauss 
Jordan encontre a matriz ampliada escalonada, encontre o posto da matriz 
ampliada e da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, a nulidade 
(grau de liberdade). Classifique o sistema e, se possível, resolva-o. 
 
a) {
2𝑥 − 𝑦 = −7
−3𝑥 + 4𝑦 = 13
𝑥 + 2𝑦 = −1
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = −3 , 𝑦 = 1 
 
b) {
𝑥 − 𝑦 = 3
2𝑥 + 3𝑦 = 16
𝑥 + 2𝑦 = 9
5𝑥 − 4𝑦 = 17
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = 5 , 𝑦 = 2 
 
 
 
 
c) {
𝑥 − 𝑦 = 3
2𝑥 + 3𝑦 = 16
𝑥 + 2𝑦 = 8
5𝑥 − 4𝑦 = 17
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
 
d) {
2𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = −4
𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 1
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑎 = −1 + 𝑡 , 𝑏 = 2 + 𝑡 , 𝑐 = 𝑡 
 
e) {
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −6
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 21
3𝑥 + 2𝑧 = 15
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = 5 −
2𝑡
3
 , 𝑦 = −16 +
7𝑡
3
 , 𝑧 = 𝑡 
 
 
f) {
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 0
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 =
𝑡
4
 , 𝑦 =
7𝑡
4
 , 𝑧 = 𝑡 
 
g) {
𝑎 + 2𝑏 = 0
3𝑎 − 𝑏 = 0
5𝑎 + 3𝑏 = 0
 𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑎 = 0 , 𝑏 = 0