Álgebra Linear - Lista 1

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1. Sejam
A =
[
1 2 3
2 −1 1
]
, B =
[ −2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
 e D = [ 2 −1 ] .
Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser
efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que
tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada
matriz acima.
2. Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser
falso exibir um contra-exemplo.
1. (−A)t = −At;
2. (A+B)t = Bt + At;
3. (AB)t = AtBt;
4. Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0;
5. (k1A)(k2B) = (k1k2)AB;
6. (−A)(−B) = −(AB);
7. Se AB = 0, então BA = 0;
8. Se A2 = AA = 0, então A = 0;
9. Se for possível efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.
3. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Se A = At, então quanto vale x?
4. Dizemos que uma matriz A é simétrica se At = A e que A é antissimétrica se
At = −A. Mostre que
1. Se Am×n é uma matriz qualquer, então as matrizes Bn×n = AtA e Cm×m = AAt
são simétricas;
2. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as matrizes B = 1
2
(A + At) e
C = 1
2
(A− At) são, respectivamente, simétrica e antissimétrica;
1
3. Usando o item anterior, mostre que toda matriz pode ser escrita de forma única
como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica;
4. Mostre que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a
matriz nula.
5. Se A =
(
1 2
3 −1
)
e B =
(
2 0
1 1
)
, calcule AB e BA.
6. Sejam E1 =
(
1 0 0
)
e A =
 1 0 32 1 2
3 2 1
 , calcule E1A.
7. Sejam A uma matriz de ordem n × n e Ei a n-úpla que possui todas as coordenadas
nulas, com exceção da i-ésima, que é 1. Mostre que EiA = Ai, isto é, a i-ésima linha da
matriz A, e que AtEi = Ai, isto é, a i-ésima coluna da matriz A.
8. Seja A =
 0 1 10 0 1
0 0 0
 , calcule A2, A3. Generalize para matrizes 4× 4.
9. Se A =
[
1 α
0 1
]
, calcule A2 e A3 e, em geral calcule An, onde n é um inteiro positivo.
10. Seja A = (aij)n×n uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A, e
denotamos por Tr(A), a soma das entradas da diagonal principal. Assim,
Tr(A) =
n∑
k=1
akk = a11 + a22 + a33 + a44 + ...+ ann.
Considere, agora, as seguintes matrizes
A =
 1 −1 −31 3 −5
9 −2 1
 e B =
 0 1 11 0 1
0 1 0
 .
Calcule Tr(A), Tr(B) e verifique que:
1. Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B);
2. Tr(λA) = λTr(A),∀λ ∈ R
3. Tr(AB) = Tr(BA);
4. Tr(At) = Tr(A);
5. Tr(AAt) > 0 e Tr(BBt) > 0.
As propriedades de 1 a 4 valem pra qualquer par de matrizes e a 5 vale sempre que A 6= 0.
Tente provar isso.
11. Mostre que não existem matrizes quadradas A e B tais que AB − BA = I. Dica:
Utilize o exercício anterior.
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