Marques - Funções Reais [Cálculo II]

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Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Matemática II
Jorge Marques
Faculdade de Economia
Universidade de Coimbra
Ano lectivo de 2008/2009
Jorge Marques Matemática II
Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Programa
1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Jorge Marques Matemática II
Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Função Composta
Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso I
Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{
x = φ(t)
y = ψ(t)
em que φ e ψ são funções diferenciáveis em I ⊆ R então
F : I → R definida por F (t) = f (φ(t), ψ(t)) é diferenciável e
F ′(t) =
∂f
∂x
(φ(t), ψ(t))
dx
dt
+
∂f
∂y
(φ(t), ψ(t))
dy
dt
=
∂f
∂x
(φ(t), ψ(t))φ′(t) +
∂f
∂y
(φ(t), ψ(t))ψ′(t)
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Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Função Composta
Exemplo - Regra da Cadeia - Caso I
Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = sin (xy), onde{
x = t2 + 1
y = t3
Então F : R→ R definida por F (t) = sin (t5 + t3) é
diferenciável e
F ′(t) = [t3 cos (t5 + t3)]2t + [(t2 + 1) cos (t5 + t3)]3t2
= (5t4 + 3t2) cos (t5 + t3)
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Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Função Composta
Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso II
Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{
x = φ(r , t)
y = ψ(r , t)
em que φ e ψ são funções de classe C1 em I ⊆ R2 então
F : I → R definida por F (r , t) = f (φ(r , t), ψ(r , t)) é de classe C1
em I e
∂F
∂r
(r , t) =
∂f
∂x
(φ(r , t), ψ(r , t))
∂x
∂r
(r , t) +
∂f
∂y
(φ(t), ψ(t))
∂y
∂r
(r , t) ;
∂F
∂t
(r , t) =
∂f
∂x
(φ(r , t), ψ(r , t))
∂x
∂t
(r , t) +
∂f
∂y
(φ(t), ψ(t))
∂y
∂t
(r , t)
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Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Função Composta
Exemplo - Regra da Cadeia - Caso II
Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = x2 − y2, onde
x = r cos t ∧ y = r sin t
Então F : R2 → R definida por F (r , t) = (r cos t)2 − (r sin t)2 é
de classe C1 em R2 e
∂F
∂r
(r , t) = (2r cos t) cos t + (−2r sin t) sin t
= 2r(cos2 t − sin2 t) = 2r cos (2t)
∂F
∂t
(r , t) = 2r cos t(−r sin t) + (−2r sin t)r cos t
= −4r2 cos t sin t = −2r2 sin (2t)
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Função Composta
Funções Homogéneas
A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homogénea de grau
p ∈ Q se
f (tx1, . . . , txn) = tpf (x1, . . . , xn)
para (x1, . . . , xn) ∈ D e para t ∈ R tais que (tx1, . . . , txn) ∈ D.
Caso a igualdade seja apenas válida para t ≥ 0 diz-se que a
função é positivamente homogénea.
Nota
Se x = (0,0, . . . ,0) ∈ D então f (x) = 0.
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Função Composta
Exemplos de Funções Homogéneas
1 O polinómio com coeficientes reais definido por
f (x , y) = ax + by , a 6= 0 ∨ b 6= 0
é uma função homogénea de grau 1
2 O polinómio com coeficientes reais definido por
f (x , y) = a2 0x2+a1 1xy+a0 2y2 , a2 0 6= 0∨a1 1 6= 0∨a0 2 6= 0
é uma função homogénea de grau 2
3 A função racional f : R2 − {(0,0)} −→ R definida por
f (x , y) = 3xyx2+y2 é uma função homogénea de grau 0
4 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) =
√
x2 + y2 é
positivamente homogénea de grau 1
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Função Composta
Funções Homogéneas
A soma de funções homogéneas de grau p é uma função
homogénea de grau p
O produto de funções homogéneas é uma função
homogénea cujo o grau é a soma dos graus de
homogeneidade das funções dadas
O quociente de uma função homogénea de grau p por
uma função homogénea de grau q é uma função
homogénea de grau p − q
A potência de expoente s de uma função homogénea de
grau p é uma função homogénea de grau sp
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Função Composta
Interpretação Geométrica
Seja f : D ⊆ R2 → R uma função homogénea de grau p.
Consideremos um ponto qualquer P = (a,b) ∈ D, não-nulo,
então
{(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t ∈ R }
é uma recta r que passa por P e pela origem. O valor que f
toma em (x , y) ∈ r é igual a tp vezes o valor de f em P.
Nota
Uma função f : D ⊆ R2 → R homogénea de grau p é
univocamente determinada pelo valor de f em todos os pontos
de
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 }
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Função Composta
Função de Cobb-Douglas
Sejam k , α e β parâmetros reais positivos. A função de
produção
f : [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R
(x , y) 7−→ z = kxαyβ
designa-se por função de Cobb-Douglas, em que x e y
representam respectivamente a quantidade de capital e de
trabalho usados na produção.
Esta função é homogénea de grau α+ β. Diz-se que:
Se α+β > 1 então f tem rendimentos crescentes à escala
Se α+β = 1 então f tem rendimentos constantes à escala
Se α+ β < 1 então f tem rendimentos decrescentes à
escala
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Função Composta
Propriedade das Funções Homogéneas
Seja f : D ⊆ Rn → R uma função homogénea de grau p. Se
x1 6= 0 então f (x1, . . . , xn) = xp1g
(
x2
x1
, . . . , xnx1
)
.
Teorema de Euler
Se a função f : D ⊆ Rn → R é de classe C1 em Int(D) e
homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p então
x1
∂f
∂x1
(x) + . . .+ xn
∂f
∂xn
(x) = pf (x)
sendo x = (x1, . . . , xn). Esta igualdade chama-se identidade de
Euler e pode ser reescrita como
xT ∇f (x) = pf (x)
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Função Composta
Exemplo - Função de Produção
Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. A
função de Cobb-Douglas
f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R
(x , y) 7−→ z = kxαy1−α
é homogénea de grau 1. Então para y > 0 obtemos
f (x , y) = f
(
y
(
x
y
,1
))
= yf
(
x
y
,1
)
= yg
(
x
y
)
ou seja,
f (x , y)
y
= g
(
x
y
)
, o que significa que a produtividade
média do trabalho é uma função da razão entre capital e
trabalho.
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Função Composta
O Reciproco do Teorema de Euler
Se f : D ⊆ Rn → R satisfaz a identidade de Euler então f é
homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p.
Homogeneidade das Derivadas Parciais
Seja f : D ⊆ Rn → R de classe Ck em Int(D), 1 ≤ k ≤ p. Se f
é homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p então
as suas derivadas parciais de ordem k são homogéneas (ou
positivamente homogéneas) de grau p − k .
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Função Composta
Exemplo - Função de Produção
Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. A
função de Cobb-Douglas
f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R
(x , y) 7−→ z = kxαy1−α
é homogénea de grau 1, logo as produtividades marginais do
capital e do trabalho, fx e fy respectivamente, são homogéneas
de grau 0, ou seja, para todo o (x , y) ∈ Int(D) e para todo o
t > 0 obtemos
fx(tx , ty) = fx(x , y) ; fy (tx , ty) = fy (x , y)
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Função Composta
Isoquantas
Consideremos a isoquanta de equação f (x , y) = f (a,b) tal que
f (a,b) > 0. Então a semi-recta
S = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t > 0 }
intersecta a isoquanta em P = (a,b). Para qualquer outro
ponto Q ∈ S obtemos fx(Q)/fy (Q) = fx(P)/fy (P).
Taxa Marginal de Substituição Técnica
Em termos económicos, ao quociente fx(P)/fy (P) chama-se a
taxa marginal de substituição técnica em P.
Assim a taxa é a mesma em P e em Q e portanto a taxa
mantém-se constante ao longo de S.
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Função Composta
Interpretação GeométricaA taxa marginal de substituição técnica num ponto P é igual ao
valor absoluto do declive da recta tangente à isoquanta de
equação f (x , y) = f (a,b) em P.
Propriedades das Isoquantas
As isoquantas de equação f (x , y) = c, para todo o c > 0, são
intersectadas pela semi-recta S em diferentes pontos. Em
qualquer um desses pontos X ∈ S, as rectas tangentes às
isoquantas têm o mesmo declive.
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Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Função Composta
Funções Homotéticas
A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homotética se f é a
função composta, f = g ◦ h, em que h : D ⊆ Rn → R é
homogénea e g : B ⊆ R→ R é estritamente monótona.
Resultado
Toda a função homogénea é homotética. Mas uma função
homotética pode não ser homogénea.
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Função Composta
Exemplos de Funções Homotéticas
1 A função f : R2 → R definida por
f (x , y) =
e3x
ey
2 A função f : {(x , y) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0 } → R definida
por
f (x , y) = 2 ln x + ln y
3 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) =
√
x2 + y2
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Função Composta
Função Implícita
Seja F (x , y) = 0 uma curva que contém o ponto P = (a,b).
Diz-se que F (x , y) = 0 define implicitamente y como função de
x numa vizinhança de P, y = f (x), ou então que y = f (x) está
definida sob a forma implícita por F (x , y) = 0 se verifica
F (x , f (x)) = 0 , para todo o x ∈ I
onde I é um intervalo aberto contendo a.
Geometricamente, o gráfico de f é o lugar geométrico definido
por
{(x , y) ∈ R2 : x ∈ I ∧ y = f (x) ∧ F (x , f (x)) = 0 }
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Função Composta
Exemplo - Função Implícita
Como determinar o declive da recta tangente a x2 + y2 − 4 = 0
no ponto P = (1,−√3)? A função f :]− 2,2[→ R tal que
f (x) = −
√
4− x2 está definida implicitamente pela
circunferência numa vizinhança de P. Vamos agora calcular
y ′(x) derivando ambos os membros da equação em ordem a x
pela regra da cadeia. Assim vem
2x + 2yy ′ = 0
ou seja,
y ′ = −x
y
∧ y 6= 0
e portanto
m = y ′(1) = − 1−√3 =
√
3
3
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Função Composta
Teorema da Função Implícita - Caso I
Sejam F : D ⊂ R2 → R uma função de classe C1 em D e
(a,b) ∈ Int(D). Se
(i) F (a,b) = 0
(ii) Fy (a,b) 6= 0
então F (x , y) = 0 define implicitamente y como função de x
numa vizinhança de (a,b). Além disso y é diferenciável em a e
y ′(a) = −Fx(a,b)
Fy (a,b)
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Função Composta
Nota
Para calcular y ′(a) procede-se da seguinte forma:
1 Deriva-se ambos os membros da equação pela regra da
cadeia
Fx(x , y) + Fy (x , y)
dy
dx
= 0
2 Isola-se y ′ = dydx , ou seja,
y ′(x) = −Fx(x , y)
Fy (x , y)
3 Substitui-se x por a, isto é,
y ′(a) = −Fx(a,b)
Fy (a,b)
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Função Composta
Exemplo
Vamos mostrar que ln (xy) + (y − 1)x2 = 0 define localmente
(na vizinhança de (1,1)) y como função implícita de x .
A função F : D = {(x , y) : xy > 0 } → R definida por
F (x , y) = ln (xy) + (y − 1)x2 é de classe C1 em D pois F e as
suas derivadas parciais:
Fx(x , y) =
1
x
+ 2(y − 1)x ∧ Fy (x , y) = 1y + x
2
são contínuas em D. Como F (1,1) = 0 e Fy (1,1) = 2 6= 0
então y é localmente função de x:
y = f (x) ; x ∈ I =]1− �,1+ �[ , � > 0
e f ′(1) = −Fx(1,1)
Fy (1,1)
= −1
2
.
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Função Composta
Teorema da Função Implícita - Caso II
Sejam F : D ⊂ R3 → R uma função de classe C1 em D e
(a,b, c) ∈ Int(D). Se
(i) F (a,b, c) = 0
(ii) Fz(a,b, c) 6= 0
então F (x , y , z) = 0 define implicitamente z como função de x
e y numa vizinhança de (a,b, c). Além disso as derivadas
parciais de z em (a,b) são dadas por
zx(a,b) = −Fx(a,b, c)Fz(a,b, c) ∧ zy (a,b) = −
Fy (a,b, c)
Fz(a,b, c)
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Função Composta
Exemplo
Vamos mostrar que x2 + y2 + z2 = 25 define localmente (na
vizinhança de (0,3,4)) z como função implícita de x e y .
A função F : R3 → R definida por F (x , y , z) = x2 + y2 + z2− 25
é de classe C1 em R3 pois F e as suas derivadas parciais:
Fx(x , y , z) = 2x ∧ Fy (x , y , z) = 2y ∧ Fz(x , y , z) = 2z
são contínuas em R3. Como F (0,3,4) = 0 e
Fz(0,3,4) = 8 6= 0 então z é localmente função de x e de y :
z = f (x , y) ∧ (x , y) ∈ I = B�(0,3) , � > 0
e
zx(0,3) = −Fx(0,3,4)Fz(0,3,4) = 0 ∧ zy (0,3) = −
Fy (0,3,4)
Fz(0,3,4)
− 3
4
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