Exercicios_Funções_vetoriais_coordenadas_polares

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(((ri')
O ",,"
y
3
2
9.3 Funções a Valores Vetoriais
(b) A parametrização
x = In (t + 1), y = t2 - 1, O:s:: t:s:: 2
é lisa.e, como x e y são funções crescentes de t, a trajetória é pe
exatamente uma vez quando t aumenta de O para 2 (Figura 9._
comprimento é~O+-------~--~~X
-1
(Gerado pelo Mathematica)
FIGURA 9.29 A trajetória da partícula do
Exemplo 10 para O :s::t :s::2.
Estudando o Movimento
Nos exercícios 1-4 r(l) é o vetor posição de uma partícula no
plano no instante t.
(a) Esboce o gráfico da t~ajetória da partícula.
(b) Encontre os vetores velocidade e aceleração.
(c) Encontre o módulo da velocidade da partícula e o versor
do movimento no valor dado de t.
(d) Escreva a velocidade da partícula nesse instante como
produto de seu versor e do módulo de sua velocidade.
1. r(t) = (2 cos t)i + (3 sen t)j, t = 7T/2
2. r(t) = (cos 'y)i + (2 sen t)j, t = O
3. r(t) = (sec t)i + (tg t)j, t = 7T/6
4. r(t) = (21n (t + 1»i + (t2)j, t = 1
Nos exercícios 5-8, r(t) é o vetor posição de uma partícula no
plano no instante t. Encontre o instante, ou instantes, no intervalo
de tempo dado quando os vetores velocidade e aceleração são per-
pendiculares.
-7 5. r(t) = (t - sen t)i + (1 - cos I)j, 0:<:: 1:<::27T
6. r(t) = (sen t)i + tj, t 2': O
7. r(t) = (3 cos t)i + (4 sen t)j, t 2': O
8. r(t) = (5 cos t)i + (5 sen t)j, t 2': O
Nos exercícios 9 e 10, r(l) é o vetor posição de uma partícula no
plano no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e
aceleração nos valores dados de t.'* 9. r(t) = (2 cos t)i + (sen t)j, t = 7T/4
10. r(t) = (3t + l)i + (t2)j, t = O
limites e Continuidade
Nos exercícios 11 e 12, (a) calcule o limite e (b) encontre os valo-
res de t para os quais a função vetorial é contínua e (c) descontínua.
11 I· [ . t
2
- 9 .]• irn u + -2----j
1-+3 t + 3t
l\'~""lrl~~~l@~
h-""'''''''' .,.". ii~j1i~]!lUit~~~!1~VJ~iFe fm"""":;- R; Gi~r(çt~?)Ulll[.:}!
Tangentes e Normais
Nos exercícios 13 e 14,encontre uma equação para a reta que é
tangente e (b) normal à curva r(t) no ponto determinado pelo
dado de t.
13. r(t) = (sen t)i + (t2 - cos t)j, t = O .~
14. r(t) = (2 cos t - 3)i + (3 sen t + l)j, t = 7T14
Inte~Jão
Nos exercícios 15-18, calcule a integral.
15. f[(6 - 6t)i + 3\IÍj] dt
J
"/4
.16. [(sen t)i + (1 + cos t)j] dt
-,,/4
17. J [(sec t tg t)i + (tg t)j] dt
18. J [+ i+ 5 ~ t j] dt
Problemas de Valor Inicial
Nos exercícios 19-22, resolva o problema de valor inicial para
como uma função vetorial de t.
19 dr =2( + 1)"/2' + -I'• dt 2 t I e J. r(O) = O
20. ~: = (t3 + 4t)i + tj, r(O) = i + j 7lt
d2r .21. dr = -32j, r(O) = 100i,
d2r ..22. 2 = -I - J. r(O) = lOi + IOj,
dt
drl = 8i + 8j
dt I~O
drl - O
dt I~O
Trajetórias e Movimento
.23. Encontrando a distância percorrida A posição de uma partícula
no plano no instante t é dada por
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
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~» ""'--.""
p~ f"1"'}} 134<,;=4 Capítulo 9: Vetares no Plano e Coordenadas Polares
t~ ,
{) ~
LJ!
. ~ ~ r(t) = (1 - cos t)i + (t - sen t)j. '*
,'J] g,: Encontre a distância percorrida pela partícula ao longo da tra-
c.) <~ jetória entre t = Oe t = 27T/3.
~ ~ 24. Comprimento de uma trajetória Seja C a trajetória traçada par
\c' c: r(t) = (~e4' -} + (é')j, Os t S 2.
(a) Encontre os pontos inicial e final de C.
(b) Encontre o comprimento de C.
t25. Velocidade em uma trajetória A posição de uma partícula édada par
r(t) = (sen t)i + (cos 2t)j.
(a) Encontre o vetar velocidade para a partícula.
(b) Para quais valores de t, no intervalo O s t S 27T,drldi é
igual a O?
(c) Escrevendo para aprender Encontre uma equação carte-
siana para uma curva que contém a trajetória da partícula.
Que parte do gráfico da equação cartesiana é traçada pela
partícula? Descreva o movimento quando t aumenta de O
para 27T.
26. Revendo o Exemplo 7 A posição de uma partícula é 'dada por
r(t) = (2t3 - 3t2)i + (t3 - 12t)j.
(a) Encontre dyldx em termos de t.
(b) Escrevendo paro aprender Encontre as coordenadas x e y
para cada ponto crítico da trajetória (ponto onde dyldx é
zero ou não existe). A trajetória tem uma tangente vertical
ou horizontal no ponto crítico? Explique.
27. Encontrando um vetor posição No instante t = O, uma partícula
está localizada no ponto (1, 2). Ela percorre uma linha reta até
o ponto (4, 1), tem módulo de velocidade 2 em (1, 2) e acelera-
ção constante 3i - j. Encontre uma equação para o vetor posição
r(t) da partícula no instante t.
28. Estudando um movimento A trajetória de uma partícula para
t>Oédadapor*' r(t) = (t + i} + (3t2)j.
(a) Encontre as coordenadas de cada ponto na trajetória onde a
componente horizontal da velocidade da partícula é zero.
(b) Encontre dyldx quando t = l.
(c) Encontre d2y/dx2 quando y = 12.
29. Movimento em trajetórias circulares Cada uma das equações de
(a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem
mesma trajetória - regular o círculo unitário 2 + l = 1.
Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma,
o comportamento, ou 'dinâmica', de cada partícula é diferente.
Para cada partícula, responda às questões a seguir.
L A partícula tem módulo de velocidade constante? Em
caso afirmativo, qual é ele?
ii. O vetor aceleração da: partícula é sempre ortogonal a
seu vetor velocidade?
iii, A partícula se move no sentido horário ou anti-horário
ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1, O)?
(a) r(t) = (cos t)i + (sen t)j, t ~ O
(b) r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j, t ~ O
(c) r(t) = cos (t - 7T!2)i + sen (t - 7T/2)j, t ~ O
(d) r(t) = (cos t)i - (sen t)j, t ~ O
(e) r(t) = cos (t2)i + sen (t2)j, t ~ O
30. Movimento em uma parábola Uma partícula se move ao longo
do topo de uma parábola l = 2x da esquerda para a direita
com módulo de velocidade constante de 5 unidades por se-
gundo. Encontre a velocidade da partícula quando ela passa
pelo ponto (2 2).
Aplicações
31. Empinando uma pipa A posição de uma pipa é dada par
r(t) = fi - :4 t(t - 160)j,
onde t ~ O é medido em segundos e a distância é medida em
metros.
(a) Há quanto tempo a pipa está no ar?
(b) Qual é a altura da pipa em t·= 40 s?
(c) A qual taxa a altitude da pipa está aumentando em t = 40s?
(d) Em que instante a pipa começa a perder altura?
32. Partículas colidindo As trajetórias de duas partículas para t ~ O
~ são dadas par
. rl(t) = (t - 3)i + (t - 3)2j,
rit) = (~ - 4} + (~ - 2)j.
(a) Determine o(s) instante(s) exato(s) no(s) qual(is) as partí-
culas colidem.
(b) Encontre o versor do movimento de cada partícula no(s)
instante(s) da colisão.
33. Um satélite em órbita circular Um satélite de massa m está se
movendo a um módulo de velocidade constante v ao redor de
um planeta de massa M em uma órbita circular de raio ro, me-
dido a partir do centro de massa do planeta. Determine o pe-
ríodo arbital T do satélite (o tempo necessário para completar
uma órbita inteira), conforme indicado a seguir.
(a) Coloque um sistema de coordenadas no plano orbital
pondo a origem no centro de massa do planeta, com o sa-
télite sobre o eixo x em t = O e movendo-se no sentido
anti-horário, como na figura a seguir.
J-
y
1=0
/ x
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
~~~~~~~--~~~~~--------------------------------------------~------------------------~~~~
Capitulo 9: Vetares no Plano e Coordenadas Polares
Encontrando IntersecçõesO modo simultâ-
neo de um registrador de gráficos dá um novo
significado para a solução simultânea de um
par de equações de coordenadas polares. Uma
solução simultânea ocorre apenas onde os dois gráficos 'colidem'
enquanto são desenhados simultaneamente, e não onde há intersecção
de um gráfico com o outro em um ponto que tenha sido iluminado
anteriormente. A distinção é particularmente importante nas áreas de
controle de tráfego ou defesa de mísseis. Por exemplo, no controle
de tráfego, o único interesse é se duas aeronaves estão no mesmo lugar
ao mesmo tempo. A questão de se as curvas que as aeronaves traçam
se cruzam não é importante.
Para ilustrar isso, represente graficamente as equações polares
USANDO A
TECNOLOGIA
r = cos 28 r = sen 28e
no modo simultâneo com O :S 8 < 27T, passo 8 = 0,1 e dimensão do
visor [xmin, xmax] = [-1, 1]por [ymin, ymax] = [-1, 1].Enquanto
os gráficos estiverem sendo desenhados no visar, conte o número de
vezes em que os dois gráficos iluminam um único ponto simultanea-
mente. Explique por que esses pontos de intersecção dos dois gráficos
correspondem a soluções simultâneas das equações. (Você pode achar
útil diminuir a velocidade da representação gráfica tomando o passo 8
menor, digamos 0,05, por exemplo.) Em quantos pontos no total há
realmente intersecção dos gráficos?
Pares de Coordenadas Polares Nos exercícios 5 e 6, marque os pontos com as coordenadas carte-
sianas dadas e encontre dois conjuntos de coordenadas polares para
cada um.
os exercícios 1 e 2, determine quais pares de coordenadas polares
designam um mesmo ponto.
(b) (1, -V3)
(d) (-I, O)
(b) (3,4)
(d) (2, O)
1. (a) (3, O)
(d) (2,77T!3)
(g) (-3, 27T)
2. (a) (-2, 7T/3)
(d) (r, IJ+ 7T)
(g) (-r, IJ+ 7T)
5. (a) (-I, I)
(c) (0,3)
6. (a) (-V3, -1)
(c) (0, -2)
(b) (-3, O)
(e) (-3, 7T)
(h) (-2, -7T/3)
(b) (2, -7T!3)
(e) (-r, IJ)
(h) (-2, 27T/3)
(c) (2,21T/3)
(I) (2, 7T/3)
(c) (r, IJ)
(I) (2, -27T/3) Representando Graficamente Equações Polares e
Desigualdades
Nos exercícios 3 e 4, marque os pontos com as coordenadas pola-
res dadas e encontre suas coordenadas cartesianas.
Nos exercícios 7-18, represente graficamente o conjunto de pon-
tos cujas coordenadas polares satisfazem as equações e as desi-
gualdades dadas.
7. r = 2
3. (a) (\12, 7T/4)
(c) (0,7T/2)
4. (a) (-3,57T/6)
(c) (-1, 77T)
(b) (1, O)
(d) (-\12,7T/4)
(b) (5, are tg (4/3»
(d) (2V3,27T/3)
8.0oSroS2
10. ° oS IJ oS 7T/6,9. r >: 1
11. IJ= 27T!3, r oS -2
r?:O
12. IJ= 7T/3, -1 oS r oS 3
Casa
Rectangle
"ç-
i(~:j\ \""J!
r6'(
{~i K]
,;'''-" ,{if'
(i;\\,
~;~~1I~
{~)) ~ol(
-G\~i i("~
'j-'-'-ij
13. O:=; O:=; 7T, r = 1 14. O:=; O:=; 7T, r = -1
15. 0= 7T/2, r s: O
16. 7T/4:=; O:=;37T/4, O:=; r:=; 1
17. -7T/4:=; O:=;7T/4, -I:=; r:=; 1
ís, O:=; O:=; 7T/2, I:=; I r I :=;2
<,;----,]
De Equações Polares para Cartesianas
Nos exercícios 19-36, substitua a equação polar por uma equação
cartesiana equivalente. Então, identifique ou descreva o gráfico.
19. rsenO=O 20. rcosO=O
21. r = 4 cosec O 22. r=-3secO
23. r cos O + r sen O = 1 24. r2 = 1
25. r2 = 4r sen O 26. 51'=
sen O - 2 cos O
27. r2 sen 20 = 2 28. r = cotg Ocosec O
29. r = (cosec O) ercos8 30. cos? O= serr' O
31. rsenO=lnr+lncosO 32. r2 + 2r2 cos Osen O = 1
33. 1'2= -4rcos O 34. r = 8 sen O
35. r=2cosO+2senO 36. r sen (O + ~) = 2
De Equações Cartesianas para Polares
Nos exercícios 37-48, substitua a equação cartesiana por uma
equação polar equivalente.
37. x = 7
39. x = y
41. x2 + l = 4
2 2
43 ~+~= 1. 9 4
45. l = 4x
47. x2 + (y - 2)2 = 4
48. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
38. y = 1
40. x - y = 3
42. x2 -l = 1
44. xy = 2
46. x2 + xy + l = 1
Simetria e Gráficos Polares
Nos exercícios 49-58, (a) represente graficamente a curva polar.
(b) Qual é o menor comprimento que um intervalo para O pode ter
e ainda assim produzir o gráfico completamente?
49. r = I + cos O
51. 1'2 = -sen 20
53. r = 1 - 2 sen 30
55. r = O
57. r = 2cos 30
50. r = 2 - 2 cos O
52. r = 1 - sen O
54. r = sen (0/2)
56. r = 1 + sen O
58. 1'= I + 2 sen O
Nos exercícios 59-62, determine as simetrias da curva.
59. r2 = 4 cos 20 60. 1'2= 4 sen 20
61. r = 2 + sen O 62. 1'2= -cos 20
63. Escrevendo para aprender: retas verticais e horizontais
(a) Explique por que toda reta vertical no plano tem uma
equação polar da forma r = a sec O.
9.5 Coordenadas e Gráficos Polares
(b) Encontre uma equação polar análoga para as retas
zontais. Justifique sua resposta.
64. Escrevendo para aprender: duas simetrias implicam uma.
Se uma curva tiver quaisquer duas simetrias relacio
começo da seção, pode-se dizer algo sobre essa curva
não a terceira simetria? Justifique sua resposta.
lntersecções
65. Mostre que o ponto (2, 37T/4) encontra-se na curva r = _ ~
66. Mostre que (1/2, 37T/2) encontra-se na curva r = -sen -
Encontre os pontos de intersecção dos pares de curvas nos
cios 67-70.
67. r = 1 + cos O, r = 1 - cos O
68. r = 2 sen O, r = 2 sen 20
69. 1'= cos O, r = I - cos O
70.1'= 1, r2=2sen20
11Encontre os pontos de intersecção dos pares de curvas no
cios 71-74.
71. r2 = sen 28, 1'2= cos 20
72. r = 1 + cos ~ , r = 1 - sen ~
73. 1'= 1, r = 2 sen 20
74. r = 1, r? = 2 sen 20
75. Qual destas equações têm o mesmo gráfico que r = 1 - cos -
(a)r=-I-cosO
(b) r = 1 + cos O
Confirme sua resposta com álgebra.
76. Rosáceas Seja r = 2 sen nt).
(a) Represente graficamente r = 2 sen nt) para n = ±2. =-
±6. Descreva as curvas.
(b) Qual o menor comprimento que um intervalo para 8
ter e ainda assim produzir completamente os gráficos.
item (a)?
(c) Com base nas suas observações feitas no item (a), d
va o gráfico de r = 2 sen nO quando n for um inteiro
não-nulo.
(d) Represente graficamente r = 2 sen nt) para n = ±3. --.:
±7. Descreva as curvas.
(e) Qual é o menor comprimento que um intervalo
pode ter e ainda assim produzir completamente os
do item (d)?
(f) Com base nas suas observações feitas no item (d), d
va o gráfico de r = 2 sen nO quando n for um
ímpar diferente de ± I.
1177. Uma rosôceo dentro de uma rosáceo Represente graficam
equação r = 1 - 2 sen 30.
78. A nefróide de Freeth Represente graficamente a nefróide
Freeth:
O
r = 1 + 2 sen"2'
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle
Casa
Rectangle