Projeto - Zeros de Funções

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
PROJETO CÁLCULO NUMÉRICO
ZEROS DE FUNÇÕES
Professor: Pedro Machado Manhaes de Castro
Turma: T1 (Engenharia Mecânica)
Grupo: Deborah Maria Leite Nascimento
Emilly Cristine Pereira da Silva
João Victor Campos Moraes
Rafael de Lira Pessoa Mota (Líder)
Rayane Maria Cavalcanti Rodrigues
Recife – PE
19 de Maio de 2013 – 2012.2
Zeros de Funções
Deborah Maria Leite Nascimento, Emilly Cristine Pereira da Silva, João Victor Campos Moraes, Rafael de Lira Pessoa Mota, Rayane Maria Cavalcanti Rodrigues.
Alunos da disciplina Cálculo Numérico, turma T1.
Resumo: Este projeto tem como objetivo fazer um estudo sobre os meios de encontrar raízes de funções reais através de métodos numéricos. Para tal, foi elaborado um programa em linguagem computacional Pascal, a fim de encontrar o zero da raiz da função do tipo: , onde os termos i = 0, ..., 7, são constantes reais que serão definidas pelo usuário do programa. Que também terá a liberdade de escolher o intervalo de separação, o número máximo de iterações, o erro máximo permitido, e um parâmetro ( (lambda), que será utilizado em um dos métodos disponíveis. Então o programa implementa simultaneamente os métodos Newton – Raphson, Newton - Raphson modificado e Secante, a fim de obter a resolução por cada método.
Palavras-chave: Função, Zero, Método, Numérico, Newton-Raphson, Secante.
1. Introdução
O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução dos mais variados problemas, tanto de engenharia como de outras ciências. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x), requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0.
Na prática, existem dois meios de se calcular as raízes de uma função, sendo elas a analítica (através de equações na forma de função) e a gráfica. Mas na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que possui uma solução analítica, então é adotado inicialmente o método gráfico para estimar as raízes, já que não pode ser feita a determinação da raiz com precisão com este método, deve-se utilizar um método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da raiz. Cada método numérico tem suas vantagens e desvantagens, por isso deve-se escolher qual método utilizar dependendo da situação, de modo a minimizar o erro.
2. Desenvolvimento
2.1 Teorema de Bolzano
Seja f(x) contínua em um intervalo [ a ; b ] e troca de sinal nos extremos deste intervalo, isto é, . Então a função possui pelo menos uma raiz real no intervalo [ a ; b ].
Figura 1: Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano.
Se, além disso, f´ tiver sinal constante no intervalo [ a ; b ], ou seja, a função for sempre crescente ou decrescente nesse intervalo, existirá uma única raiz real de f nele, o qual será chamado de intervalo de separação.
2.2 Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson, ou também conhecido como método das tangentes, é iterativo, ou seja, segue uma fórmula que calcula aproximações aperfeiçoadas a partir da aproximação anterior. O procedimento cobre as desvantagens do método da bisseção, sendo mais rápido e encontra as raízes de uma função (pontos que tocam a abscissa). O método é esquematizado na Equação (1), a seguir: 
O termo é a raiz de cada iteração, ou seja, o valor que mais se aproxima da raiz real da função. A nomenclatura de método das tangentes se deve ao fato de ser determinado pela interseção da tangente de f em com o eixo x.
Geralmente, o termo inicial () é encontrado a partir do intervalo [ a ; b ], em que se encontra a raiz, a partir da Equação (2):
Partindo do termo inicial, encontramos valores cada vez mais próximos da verdadeira raiz da função. 
Porém, nota-se que o método exige o cálculo da derivada da função trabalhada, o que pode ser um empecilho para desenvolver o mesmo. Além disso, uma das suas desvantagens é que nem sempre converge; os critérios de convergência são:
O método irá convergir se f(x), f´(x) e f´´(x) forem contínuas no intervalo I que contém a raiz de f(x) = 0.
Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que seja escolhido “suficientemente próximo” da raiz.
A seguir, são apresentadas as condições que devem ser satisfeitas para que o método possa ser utilizado:
A função em questão deve ser diferenciável em qualquer ponto do intervalo [ a ; b ], em que se encontra a raiz da função;
A primeira e a segunda derivadas não podem trocar de sinal no mesmo intervalo [ a ; b ].
Para compreender melhor, analisamos o método graficamente a partir de uma função f(x) qualquer que tenha raiz em um dado intervalo, como ilustrado na Figura 2:
Figura 2: Interpretação geométrica do Método de Newton-Raphson para uma função f(x) qualquer.
Atribuído a Isaac Newton (1643 – 1727) e Joseph Raphson (1648 – 1715), o método das tangentes é considerado em muitos casos o melhor método iterativo de achar a raiz de uma função.
2.3 Método de Newton-Raphson Modificado
Consiste numa condição imposta ao denominador da equação do método de Newton-Raphson, demonstrada na Equação (3):
 
Onde é a última aproximação obtida tal que .
2.4 Método das Secantes
É muito semelhante ao Método de Newton, mas substitui os cálculos das derivadas, por um quociente de diferença. Geometricamente, corresponde a substituir o papel da tangente, no método de Newton, por uma secante (de onde vem o nome). 
Uma grande desvantagem no método de Newton é a necessidade de se obter a derivada f´(x) e calcular o seu valor numérico a cada iteração. Que em certos problemas pode consumir muito tempo de computação.
Calculada a partir de dois valores iniciais de e quaisquer, a função de iteração para o método da secante é demonstrada na Equação (4):
Das duas aproximações iniciais e determina-se a reta que passa pelos pontos e , a interseção desta reta com o eixo x fornece o ponto; como ilustrado na Figura 3.
 
Figura 3: Interpretação geométrica da iteração 1 do Método das Secantes.
Em seguida é calculada uma nova aproximação para a raiz a partir dos pontos e , ilustrado na Figura 4. Então, o processo se repete até que seja satisfeito o critério de parada.
Figura 4: Interpretação geométrica da iteração 2 do Método das Secantes.
Tabela 1: Procedimentos do Método das Secantes.
	Inicialização
	Escolher e 
	Repetir
	
	Até
	Verificar critério de paragem
Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas; acrescente-se ainda que o método possa convergir se f. A exigência de que  �� QUOTE ��. A raiz não precisa estar entre as duas aproximações iniciais e .
O erro é dado pela Equação (5):
3. Programa (Código fonte)
Program Zero_Funcao;
// Dada uma função real
// f(x)=(a0*x^3 + a1*x^2 + a2*x + a3)*e^a4x + a5*e^(a6*x + a7)
// Determinar sua raiz com métodos numéricos
var i, j:integer; //Criar variavel para condicao de parada nos metodos iterativos
 Nmax: integer;
 opcao_limite, opcao_metodo: integer;
 lambda: real;
 Emax, Emax_NR, Emax_NRM, Emax_SEC: real;
 raiz_NR, raiz_NRM, raiz_SEC: real;
 constante:array[1..8] of real;
 lim_E, lim_D: real; //Limites iniciais
 x, y, yd: real;
 x1, y1: real; //Variavel auxiliar para o método das secantes		
 yd_M: real; //Valor de f'(xq) para o método de Newton-Raphson modificado
begin
 writeln(' Programa para calculo do zero de funcoes do tipo:');
 writeln(' f(x)=(a0*x^3 + a1*x^2 + a2*x + a3)*e^a4x + a5*e^(a6*x + a7)');
 // DEFININDO CONSTANTES PARA O PROGRAMA
 writeln(' Digite o valor das constantes: ');
 for j := 0 to 7 dobegin
	write('a',j,': '); 
	readln(constante[j+1]);
 end;
 writeln(' f(x)=(', constante[1],'*x^3 + ', constante[2],'*x^2 + ', constante[3],'*x + ', 
 constante[4],')*e^', constante[5],'x + ', constante[6],'*e^(', constante[7],'*x + ', constante[8],')');
 writeln(' Digite o numero maximo de iteracoes:');
 readln(Nmax);
 writeln(' Digite o erro maximo permitido na aproximacao:'); 
 readln(Emax);
 Emax_NR:=Emax * 2;
 Emax_NRM:=Emax_NR; 
 Emax_SEC:=Emax_NR; 
 writeln(' Digite o valor do parametro para o metodo de Newton-Raphson modificado:');
 readln(lambda);
 //INTERVALO DE SEPARACAO
 lim_E:=0;
 lim_D:=0;
 while ((lim_E>lim_D) or (lim_E=lim_D)) do 
 
 begin 
	writeln(' Digite os limites da esquerda e da direita:');
	readln(lim_E, lim_D);
	x1:=lim_E;
	y:=(constante[1]*sqr(x1) * x1 + constante[2]*sqr(x1) + constante[3]*x1 + constante[4]) * 
 exp(constante[5]*x1) + constante[6]*exp(constante[7] * x1 + constante[8]);
	x1:=lim_D;
	y1:=(constante[1]*sqr(x1) * x1 + constante[2]*sqr(x1) + constante[3]*x1 + constante[4]) 
 * exp(constante[5]*x1) + constante[6]*exp(constante[7] * x1 + constante[8]);
	if (((y>0) and (y1>0)) or ((y<0) and (y1<0))) then
	begin
	 writeln(' Com os limites dados nao e possivel calcular a raiz para os metodos 1 e 2.');
	 writeln(' Deseja continuar?');
	 writeln(' 1 - Sim 2 - Nao');
	 readln(x);
	 if (x=2) then lim_E:=lim_D;
	end;	
 end;
 //APROXIMAÇÃO INICIAL
 raiz_SEC:=lim_D;
 x1:=lim_E;
 y1:=(constante[1]*sqr(x1) * x1 + constante[2]*sqr(x1) + constante[3]*x1 + constante[4]) * 
 exp(constante[5]*x1) + constante[6]*exp(constante[7] * x1 + constante[8]);
 raiz_NR:=(lim_E + lim_D)/2;
 writeln(' Para os metodos 1 e 2 escolha uma das opcoes abaixo para aproximacao inicial');
 writeln(' 1 - Usar ', raiz_NR,' como aproximacao inicial'); 
 writeln(' 2 - Escolher um valor no intervalo entre ',lim_E ,' e ', lim_D); 
 writeln(' 3 - Escolher um valor qualquer');
 readln(opcao_limite);
 if (opcao_limite=2) then
 begin
	raiz_NR:=lim_E-1;
	while ((raiz_NR<lim_E) or (raiz_NR>lim_D)) do
	
	begin
	 writeln(' Digite o valor da aproximacao inicial: ');
	 readln(raiz_NR);
	end;
 end;
 if (opcao_limite=3) then
 begin
	writeln(' Digite o valor da aproximacao inicial: ');
	readln(raiz_NR);
 end;
 raiz_NRM:=raiz_NR;
 // CALCULO DO ZERO DA FUNÇÃO
 writeln(' Inicio do Calculo do Zero da funcao:');
 y:=1;
 i:=1;
 while ((i<>Nmax+1) and (y<>23)) do 
 begin 
	// MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
	if (Emax_NR>Emax) then
	begin
	 // CÁLCULO DO VALOR DA FUNÇÃO
	 y:=(constante[1] * sqr(raiz_NR) * raiz_NR + constante[2]*sqr(raiz_NR) + 
 constante[3]*raiz_NR + constante[4]) * exp(constante[5]*raiz_NR) + 
 constante[6]*exp(constante[7] * raiz_NR + constante[8]);
	 yd:=(constante[1] * sqr(raiz_NR) * raiz_NR + constante[2]*sqr(raiz_NR) + 
 constante[3]*raiz_NR + constante[4]) * constante[5] * exp(constante[5]*raiz_NR) + 
 (3 * constante[1]*sqr(raiz_NR) + 2 * constante[2]*raiz_NR + constante[3]) * 
 exp(constante[5]*raiz_NR) + constante[6] * constante[7] *exp(constante[7] * 
 raiz_NR + constante[8]);
 if (yd<>0) then x:=raiz_NR - y / yd
 else writeln(' Erro: Derivada de y=0');
 Emax_NR:=abs(raiz_NR - x);
 raiz_NR:=x;
	end; 
	
	// MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
	if (Emax_NRM>Emax) then 
	begin 
	 // CÁLCULO DO VALOR DA FUNÇÃO
	 y:=(constante[1]*sqr(raiz_NRM) * raiz_NRM + constante[2]*sqr(raiz_NRM) + 
 constante[3]*raiz_NRM + constante[4]) * exp(constante[5]*raiz_NRM) + 
 constante[6]*exp(constante[7] * raiz_NRM + constante[8]); 
	 yd:=(constante[1]*sqr(raiz_NRM) * raiz_NRM + constante[2]*sqr(raiz_NRM) + 
 constante[3]*raiz_NRM + constante[4]) * constante[5] * 
 exp(constante[5]*raiz_NRM) + (3 * constante[1]*sqr(raiz_NRM) + 2 * 
 constante[2]*raiz_NRM + constante[3]) * exp(constante[5]*raiz_NRM) + 
 constante[6] * constante[7] *exp(constante[7] * raiz_NRM + constante[8]); 
	 if (i=1) then yd_M:=yd;
	 if (abs(yd)>lambda) then yd_M:=yd; 
	 if (yd_M<>0) then x:=raiz_NRM - y / yd_M
	 else writeln(' Erro: Deriada de y=0'); 
	 Emax_NRM:=abs(raiz_NRM - x);
	 raiz_NRM:=x; 
	end; 
	// MÉTODO DAS SECANTES
	if (Emax_SEC>Emax) then 
	begin	
	 y:=(constante[1]*sqr(raiz_SEC) * raiz_SEC + constante[2]*sqr(raiz_SEC) + 
 constante[3]*raiz_SEC + constante[4]) * exp(constante[5]*raiz_SEC) + 
 constante[6]*exp(constante[7] * raiz_SEC + constante[8]); 
	 if (y<>y1) then x:=(y * x1 - y1 * raiz_SEC) / (y - y1)
	 else writeln(' Erro: y[x(n)]-y[x(n-1)]=0');
	 x1:=raiz_SEC;
	 y1:=y;
	 Emax_SEC:=abs(raiz_SEC- x);
	 raiz_SEC:=x;
	end;
	// IMPRIMIMDO VALORES OBTIDOS
	writeln(' Iteracao ', i);
	writeln(' Metodo de Newton-Raphson');
	writeln(' Raiz: ', raiz_NR:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_NR:6:6);
	writeln(' Metodo de Newton-Raphson modificado');
	writeln(' Raiz: ', raiz_NRM:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_NRM:6:6);
	writeln(' Metodo de Secantes');
	writeln(' Raiz: ',raiz_SEC:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_SEC:6:6); 
	writeln('');
	if ((Emax_NR<Emax) and (Emax_NRM<Emax) and (Emax_SEC<Emax)) then y:=23
	else
	begin 
	 writeln(' Digite 23 para sair');
	 readln(y);
	 writeln('');
	end;
	i:=i+1;
	end;
	writeln(' Metodo de Newton-Raphson');
	writeln(' Raiz: ', raiz_NR:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_NR:6:6);
	writeln(' Metodo de Newton-Raphson modificado');
	writeln(' Raiz: ', raiz_NRM:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_NRM:6:6);
	writeln(' Metodo de Secantes');
	writeln(' Raiz: ',raiz_SEC:6:6);
	writeln(' Erro: ',Emax_SEC:6:6);
end.
4. Resultados
Figura 5: Representação gráfica da função 
Intervalo = [ 0 ; 1 ]
 = 0.5
Número máximo de iterações = 30
Erro máximo = 0.000001
( = 0.05
Tabela 2: Resultados obtidos através do programa para a função . 
	Iteração
(i)
	Método
	
	Newton-Raphson
	Newton-Raphson Modificado
	Secantes
	
	 
(Raiz da iteração i)
	Erro
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	1
	0.347766
	0.152234
	0.347766
	0.152234
	0.335287
	0.664713
	2
	0.346574
	0.001192
	0.346574
	0.001192
	0.345821
	0.010534
	3
	0.346574
	0.000000
	0.346574
	0.000000
	0.346574
	0.000753
	4
	-
	-
	-
	-
	0.346574
	0.000000
Comentários:
Parou pois atingiu .
Para o método de Newton-Raphson Modificado, o valor de é sempre maior do que λ, portanto os valores resultantes do mesmo são iguais aos resultantes do método Newton-Raphson original.
Figura 5: Representação gráfica da função e sua derivada.
a) Intervalo = [ 0 ; 1 ]
 = 0.5
 Número máximo de iterações = 30
 Erro máximo = 0.000001
 ( = 0.03
Tabela 3: Resultados obtidos através do programa para a função , com os parâmetros a).
	Iteração
(i)
	Método
	
	Newton-Raphson
	Newton-Raphson Modificado
	Secantes
	
	 
(Raiz da iteração i)
	Erro
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	1
	-0,335830
	0,835830
	-0,335830
	0,835830
	0,135335
	0,864665
	2
	-0,057789
	0,278041
	-0,057789
	0,278041
	-0,101607
	0,235943
	3
	0,041267
	0,099056
	0,041267
	0,099056
	0,065060
	0,166667
	4
	0,052342
	0,011075
	0,052342
	0,011075
	0,054321
	0,010738
	5
	0,052469
	0,000127
	0,052469
	0,000127
	0,052445
	0,001876
	6
	0,052469
	0,000000
	0,052469
	0,000000
	0,052469
	0,000024
	7
	-
	-
	-
	-
	0,052469
	0,000000
b) Intervalo = [ 0 ; 1 ]
 = 0.9
 Número máximo de iterações = 30
 Erro máximo = 0.000001
 ( = 0.03
Tabela 4: Resultados obtidos através do programa para a função , com os parâmetros b).
	Iteração
(i)
	Método
	
	Newton-Raphson
	Newton-Raphson Modificado
	Secantes
	
	 
(Raiz da iteração i)
	Erro
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	1
	-6,875436
	7,775436
	-6,875436
	7,775436
	0,135335
	0,864665
	2
	-6,002406
	0,873029
	-6,002406
	0,873029
	-0,101607
	0,235943
	3
	-5,145197
	0,857210
	-5,145197
	0,857210
	0,065060
	0,166667
	4
	-4,307878
	0,837318
	-4,307878
	0,837318
	0,054321
	0,010738
	5
	-3,496151
	0,811727
	-3,496151
	0,811727
	0,052445
	0,001876
	6
	-2,718228
	0,777923
	-2,718228
	0,777923
	0,052469
	0,000024
	7
	-1,986290
	0,731938
	-1,986290
	0,731938
	0,052469
	0,000000
	8
	-1,318866
	0,667424
	-1,318866
	0,667424
	-
	-
	9
	-0,744369
	0,574497
	-0,744369
	0,574497
	-
	-
	10
	-0,304084
	0,440285
	-0,304084
	0,440285
	-
	-
	11
	-0,042738
	0,261346
	-0,042738
	0,261346
	-
	-
	12
	0,043997
	0,086735
	0,043997
	0,086735
	-
	-
	13
	0,052396
	0,008399
	0,052396
	0,008399
	-
	-
	14
	0,052469
	0,000073
	0,052469
	0,000073
	-
	-
	15
	0,052469
	0,000000
	0,052469
	0,000000
	-
	-
Comentários:
Em ambos os casos, parou pois atingiu .
Para o método de Newton-Raphson Modificado, o valor de é sempre maior do que λ, portanto os valores resultantes deste método são iguais aos do método de Newton-Raphson original, para cada tabela separademente.
As tabelas das secantes são iguais para ambos os casos, pois esse método não utiliza a aproximação inicial dada, apenas os limites do intervalo (único item que difere o item a do item b). 
 
Figura 7: Demonstração gráfica da função e sua derivada.
Intervalo = [ -1.5 ; 1 ]
 = -1.275
Número máximo de iterações = 30
Erro máximo = 0.000001
( = 0.05
Tabela 5: Resultados obtidos através do programa para a função .
	Iteração
(i)
	Método
	
	Newton-Raphson
	Newton-Raphson Modificado
	Secantes
	
	 
(Raiz da iteração i)
	Erro
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	
(Raiz da iteração i)
	Erro 
	1
	1.732992
	3.007992
	1.732992
	3.007992
	0.310345
	0.689655
	2
	757.080974
	755.347982
	-0.059895
	1.792888
	0.341528
	0.031184
	3
	504.723290
	252.357685
	0.333780
	 0.393676
	0.337621
	0.003907
	4
	336.486152
	168.237138
	0.337607
	0.003827
	0.337609
	0.000012
	5
	224.330036
	112.156115
	0.337609
	0.000002
	0.337609
	0.000000
	6
	149.562254
	74.767783
	0.337609
	0.000000
	-
	-
	7
	99.721499
	49.840755
	-
	-
	-
	-
	8
	66.500960
	33.220538
	-
	-
	-
	-
	9
	44.363842
	22.137118
	-
	-
	-
	-
	10
	29.620537
	14.743306
	-
	-
	-
	-
	11
	19.813633
	9.806904
	-
	-
	-
	-
	12
	13.308240
	6.505393
	-
	-
	-
	-
	13
	9.019289
	4.288951
	-
	-
	-
	-
	14
	6.230333
	2.788955
	-
	-
	-
	-
	15
	4.473533
	1.756800
	-
	-
	-
	-
	26
	3.449487
	1.024047
	-
	-
	-
	-
	17
	2.962541
	0.486945
	-
	-
	-
	-
	18
	2.827612
	0.134929
	-
	-
	-
	-
	19
	2.816979
	0.010633
	-
	-
	-
	-
	20
	2.816914
	0.000065
	-
	-
	-
	-
	21
	2.816914
	0.000000
	-
	-
	-
	-
Comentários:
Parou pois atingiu ;
Foram encontradas duas raízes distintas. Os métodos das Secantes e Newton-Raphson Modificado convergiram para raiz que se encontra dentro do intervalo considerado, enquanto que o original foi para a raiz positiva que se encontra fora do intervalo.
Observações:
Notamos a eficácia do método Newton-Raphson modificado para corrigir overflows, pois quando o valor de no denominador da fórmula do método fica muito pequeno após algumas iterações, o erro se eleva. No caso do método modificado o valor de é substituído pela última aproximação obtida, corrigindo o erro. No entanto o overflow só é corregido caso a derivada seja muito pequena, se o valor for muito alto, o erro persiste.
Se o valor da derivada for muito alto, precisará de mais iterações para chegar no zero da função, secantes chega primeiro. 
5. Limitações
Para f(x) = 0, ou seja, se os valores atribuídos as constantes forem zero, f(x) será igual à zero para qualquer valor de x pertencente aos reais, ou seja, todo valor de x pertencente ao conjunto de números reais é uma raiz da função fornecida. Sendo assim o programa mostrará uma mensagem de erro, informando que o valor de impossibilitando o cálculo usando o método de Newton-Raphson, tanto o original quanto o modificado. O programa também informará que o cálculo usando o método das Secantes também não será possível, pois , sendo a e b os limites.
Para e , com todos os outros parâmetros iguais a zero, o resultado é QUOTE � ��, que é umafunção exponencial, a qual não possui raízes reais. Primeiramente o programa informará que não será possível calcular pelos métodos 1 e 2, seja qual for o intervalo escolhido, pois para qualquer x pertencente ao grupo dos reais, a imagem da função será maior que zero, descumprindo o teorema de Bolzano. No entanto os métodos continuarão a trazer aproximações cada vez menores ate atingir o erro pré-estabelecido.
Para , ou seja, se os valores atribuídos aos demais parâmetros forem iguais a zero e for diferente de zero, o teorema de Bolzano não se aplica, pois para qualquer valor de x, f(x) será positivo, uma mensagem pedindo que o usuário indique um novo intervalo aparecerá no programa. 
O método das Secantes não rodará caso a função escolhida for uma função par e o intervalo determinado for simétrico, pois ficará sendo a e b os limites.
O método das Secantes continuará a trazer aproximações até o intervalo for menor do que o erro máximo preestabelecido mesmo que a função dada não tenha raízes reais ou tenha mais de uma raiz. 
6. Conclusões
Através deste projeto, pusemos em prática os métodos numéricos para encontrar zero de funções por meios computacionais. Foram testados os métodos de Newton-Raphson, Newton-Raphson Modificado e Secantes. Entre esses métodos concluímos que o mais eficiente é de Newton-Raphson, pois chega à raiz com menor erro e com menos interações do que os demais. Porém há situações distintas e particulares em que é recomendável utilizar tal método ao invés do outro, a fim de facilitar os cálculos do zero de funções, as quais seriam bastante complicadas para se resolver sem computadores, além de levarem mais tempo.
7. Referências
[1]	 Métodos Numéricos – J. D. Santos & Z. C. Silva, Editora Universitária - UFPE, 3ª Ed. – 2010.
[2] http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/notasDeAula/raizes
[3] file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\como_isolar_raizes.htm
[4] file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\AULAS\zeros\metodo_newton.htm
[5] http://rechneronline.de/function-graphs/
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