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Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4 Leandro Chaves Rêgo, Ph.D. 2015.1 Prefácio Estas notas de aula foram feitas para compilar o conteúdo de várias referências bibliográ�cas tendo em vista o conteúdo programático da disciplina ET584-Probabilidade 4 do curso de graduação em Estatística da Universidade Federal de Pernambuco. Em particular, elas não contém nenhum material original e não substituem a consulta a livros textos. Seu principal objetivo é dispensar a necessidade dos alunos terem que copiar as aulas e, deste modo, poderem se concentrar em entender o conteúdo das mesmas. Recife, março de 2015. Leandro Chaves Rêgo, Ph.D. i Conteúdo Prefácio i 1 Revisão de Sequências de Números Reais e Séries Numéricas 1 1.1 Sequências de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Valores de aderência, lim inf, lim sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Séries de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Critérios de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Ordens de Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Convergência Estocástica 21 2.1 Seqüência de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Borel-Canteli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Covergência de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Relação Entre os Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Convergência de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Funções Características 36 3.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Exemplos de Funções Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Teorema da Continuidade de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Soma de um Número Aleatório de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Função Característica de um Vetor Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Funções Geratrizes de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7 Teorema de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ii 4 Lei dos Grandes Números 54 4.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Lei Fraca dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Lei Forte dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Um Exemplo de Divergência das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Teorema Central do Limite 66 5.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 Teoremas e provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 Teorema Central do Limite: Caso Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4 Método Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Referências Bibliográ�cas 77 iii Capítulo 1 Revisão de Sequências de Números Reais e Séries Numéricas 1.1 Sequências de Números Reais Intuitivamente, uma sequência de números reais x1, x2, x3, . . . é uma sequência de pontos da reta e o seu limite é um ponto do qual os pontos xn tornam-se e permanecem arbitrariamente próximos, desde que se tome o índice n su�cientemente grande. Exemplo 1.1.1: Seja xn = 1 + 1 n , para n = 1, 2, 3, . . .. Note que a medida que n cresce todos os pontos desta sequência se tornam arbitrariamente próximos de 1, que como veremos adiante é o limite desta sequência. Formalmente, De�nição 1.1.2: Uma sequência de números reais é uma função x : IN → IR, de�nida no conjunto IN = {1, 2, 3, . . .} dos números naturais e tomando valores no conjunto IR dos números reais. O valor x(n), para todo n ∈ IN , será representado por xn e chamado de n-ésimo termo da sequência. Escreveremos (x1, x2, . . . , xn, . . .), ou (xn) para indicar a sequência x. Não se deve confundir a sequência x com o conjunto x(IN) dos seus termos. Para este conjunto usaremos a notação x(IN) = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. A função x não é necessariamente injetiva: pode-se ter xm = xn com m 6= n, ou seja, podem haver termos diferentes que assumem o mesmo valor, ou em outras palavras, podem haver termos repetidos em uma sequência. Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais a, b tais que a ≤ xn ≤ b para todo n ∈ IN . Quando uma sequência não é limitada, diz-se que ela é ilimitada. Uma sequência (xn) é limitada superiormente quando existe um número real b tal que xn ≤ b para todo n ∈ IN . Analogamente, (xn) é limitada inferiormente quando existe a real tal que a ≤ xn para todo n ∈ IN . É fácil ver que uma sequência é limitada se, e somente se, ela for limitada inferiormente e superiormente. Por outro lado, existem algumas sequências 1 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 2 ilimitadas que são limitadas inferiormente ou superiormente. O próximo exemplo, ilustra melhor a questão. Exemplo 1.1.3: A sequência xn = 1 + 1 n é limitada, pois por exemplo, temos que 0 ≤ xn ≤ 3 para todo n ∈ IN . Por outro lado, a sequência xn = n2 é ilimitada, mas limitada inferiormente pois xn ≥ 0 para todo n. Finalmente, a sequência xn = (−2)n é ilimitada, não é limitada inferiormente nem superiormente. Dada uma sequência (xn) de números reais, uma subsequência de (xn) é um sequência (portanto, deve conter in�nitos termos) cujos termos são termos da sequência (xn) e a ordem em que estes termos aparecem na subsequência deve ser a mesma em que eles aparecem na sequência original (xn). Exemplo 1.1.4: Seja a sequência x = (−2, 4,−8, 16,−32, 64,−128, . . .), uma subsequência de x é y = (4, 16, 64, 256, . . .). Por outro lado, z = (4, 16) não é uma subsequência de x, pois não é uma sequência já que possui apenas 2 termos. Também temos que w = (4,−2, 16,−8, 64,−32, . . .) não é uma subsequência de x já que os termos em w não aparecem na mesma ordem em que aparecem em x, ou seja, por exemplo, em x o termo -2 precede o termo 4, mas o mesmo não é verdade em w. Formalmente, dada uma sequência x, uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto in�nito IN ′ = {n1 < n2 < . . . < ni < . . .} de IN . Escreve-se x′ = (xn)n∈IN ′ , ou (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) ou (xni)i∈IN para indicar a subsequência x ′ . Uma sequência chama-se crescente (resp., decrescente) quando x1 < x2 < x3 < . . . (resp., x1 > x2 > x3 > . . .). Se vale xn ≤ xn+1 (resp., xn ≥ xn+1) para todo n, a sequência diz-se não-decrescente (resp., não-crescente). As sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes são chamadas sequências monótonas. Exemplo 1.1.5: xn = 0, para todo n ∈ IN . Ela é limitada, não-crescente e não-decrescente. Neste caso, temos que x(IN) = {0}. Exemplo 1.1.6: xn = 1 para todo n ímpar; e xn = −1 para todo n par. Ela é limitada, porém não é monótona, e temos x(IN) = {−1, 1}. Exemplo 1.1.7: xn = 1/n para todo n ∈ IN . Ela é monótonadecrescente e limitada. 1.1.1 Limite de uma sequência Intuitivamente, dizer que o número real a é limite da sequência (xn) signi�ca a�rmar que, para valores muito grandes de n, os termos xn tornam-se e se mantém tão próximos de a quanto se deseje. Com um pouco mais de precisão: estipulando-se um �erro� por meio de um número real � > 0, existe um índice n0 (que depende de �, em geral, quanto menor o �erro� � maior terá que ser o n0) tal que todos os termos xn que têm índice n maior que n0 são valores aproximados de a com erro inferior a �. Formalmente, Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 3 De�nição 1.1.8: O número real a é limite da sequência (xn) de números reais, e escreve-se a = limn xn, quando para todo número real � > 0, existe um número natural n0 tal que |xn − a| < � (o que é equivalente a xn ∈ (a− �, a+ �)), sempre que n > n0. Como a de�nição implica que para qualquer � > 0 arbitrário, a distância entre xn e a se torna menor que � para n su�cientemente grande, podemos escrever de forma equivalente a de�nição da seguinte maneira: o número real a é limite da sequência (xn) de números reais, quando para alguma constante K real positiva, temos que para todo número real � > 0, existe um número natural n0 tal que |xn − a| < K�, sempre que n > n0. A equivalência se dá pelo fato que K� também é um número positivo e pode se tornar tão pequeno quanto se deseje apenas fazendo � ser um número pequeno também. Observe que se limn xn = a, então qualquer intervalo (a − �, a + �), de centro a e raio � > 0, contém todos os termos xn da sequência, com exceção de no máximo um número �nito de índices n (os termos de x1 até xn0). Reciprocamente, se qualquer intervalo de centro a contém todos os xn, salvo talvez um número �nito de índices n, então limxn = a. Quando limn xn = a, diz-se que a sequência (xn) converge para a, ou tende para a e escreve-se xn → a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. Dentre as sequências divergentes destacamos duas que possuem limites in�nitos: De�nição 1.1.9: Uma sequência (xn) de números reais tem limite∞ (resp., −∞), e escreve- se limn xn = ∞ (resp., limn xn = −∞), quando para todo número real M > 0, existe um número natural n0 tal que xn > M (resp., xn < −M), sempre que n > n0. Exemplo 1.1.10: A sequência xn = 1/n para todo n converge para 0. Pois, dado qualquer � > 0 existe n0 > 1/�, então para todo n > n0, temos 1/n < 1/n0 < �, ou seja, n > n0 ⇒ |xn − 0| < �. Exemplo 1.1.11: Vamos provar que limn n2+1 3n+10 =∞. Para isto notamos que n2+1 3n+10 > n 2 3n+10 , e que para n ≥ 10, vale a desigualdade n2 3n+ 10 ≥ n 2 3n+ n = n2 4n = n 4 . Por sua vez, n/4 > M se n > 4M . Portanto, tomando n0 = max{10, 4M}, teremos n > n0 ⇒ n 2 + 1 3n+ 10 > M. Exemplo 1.1.12: A sequência xn = 1 n +(−1)n é divergente. Note que dado qualquer � > 0, para n > 1 � e par, temos que |xn − 1| < �. Por outro lado, para n > 1� e ímpar, temos que|xn + 1| < �. Logo, a sequência �ca oscilando entre vizinhanças dos números -1 e 1, para n grande. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 4 Exemplo 1.1.13: A sequência x2n = 1 e x2n−1 = (n+1) n , n = 1, 2, 3, . . . converge para 1. Pois, dado qualquer � > 0, existe n0 > 1/�, então para todo n > n0 e ímpar, temos |n+ 1 n − 1| = | 1 n | < �. Por outro lado, para todo n > n0 e par, temos |xn − 1| = 0 < �. Portanto, xn → 1. Para facilitar o cálculo do limite de sequências, vamos recordar a noção de limite de funções reais. Intuitivamente, temos que dada uma função real f(x) dizemos que o limite quando x tende a um número a é igual a L, se quando x se aproxima de a o valor de f(x) se aproxima de L. Mais formalmente, temos que limx→a f(x) = L se para todo �erro� � > 0 existe um δ > 0 (que depende de �) tal que para todo x ∈ (a − δ, a + δ) que é diferente de a, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �). Por outro lado, quando queremos calcular o limite assintótico de uma dada função, estamos interessados em saber se quando x cresce arbitrariamente a função f(x) tende a algum valor, deste modo dizemos que o limite quando x tende a in�nito é igual a L, se para x grande o su�ciente f(x) se torna tão próximo de L quanto se queira. Mais formalmente, temos que limx→∞ f(x) = L se para todo �erro� � > 0 existe um número natural n0 > 0 (que depende de �) tal que para todo número real x > n0, temos que f(x) ∈ (L− �, L+ �). Suponha que dada uma função real f(x), uma sequência seja de�nida por xn = f(n) para todo n ∈ IN . Então, se limx→∞ f(x) = L, temos que para todo � > 0, existe um número natural n0 > 0 tal que para todo número real x > n0, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �). Como todo número natural é um número real, temos que para todo natural n > n0, xn = f(n) ∈ (L − �, L + �). Logo, limxn = L. Assim, toda vez que uma sequência (xn) for uma restrição, para x natural, de uma função f(x) de�nida para x real, ou x > 0, temos que se limx→∞ f(x) = L, podemos concluir que xn → L. Deste modo, podemos utilizar nosso conhecimento sobre limites de funções reais para calcularmos o limite de sequências. Em particular, podemos utilizar a regra de L'Hopital que diz que se limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = 0, ou, se limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) =∞, então lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f ′(x) g′(x) . Exemplo 1.1.14: Seja xn = n(1−e−a/n). Vamos calcular o limite da função real x(1−e−a/x) quando x→∞. Podemos reescrever esta função da seguinte maneira: (1− e−a/x) 1/x . Note que tanto o numerador quanto o denominador convergem para zero quando x → ∞. Utilizando a regra de L'Hopital, temos: lim x→∞ (1− e−a/x) 1/x = lim x→∞ (−ax−2e−a/x) −x−2 = limx→∞ ae −a/x = a. Portanto, o limite de xn é igual a a. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 5 É importante ressaltar que mesmo que a sequência seja de�nida a partir da restrição de uma função real, o fato da sequência convergir para um certo limite L não implica que a função real tenderá a L quando x→∞. Por exemplo, considere a função real f(x) tal que f(x) = 0 para x /∈ IN e f(x) = 1 para x ∈ IN , temos que xn = f(n) = 1 para todo n ∈ IN . Logo, xn → 1, porém limx→∞ f(x) 6= 1. A seguir provaremos alguns resultados sobre limites. Teorema 1.1.15: (Unicidade do limite). Se limn xn = a e limn xn = b, então a = b. Prova: Seja limn xn = a. Dado qualquer número real b 6= a, mostraremos que não se tem limn xn = b. Para isso, tomemos � = |b−a| 2 . Com essa escolha de �, temos que os intervalos (a− �, a + �) e (b− �, b + �) são disjuntos. Ora, como limn xn = a, existe n0 tal que n > n0 implica que xn ∈ (a − �, a + �), e, portanto, xn /∈ (b − �, b + �) para todo n > n0. Logo, limn xn 6= b. Teorema 1.1.16: Se limn xn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite a. Prova: Seja (xni) uma subsequência de (xn). Dado � > 0, existe n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ |xn− a| < �. Como os índices da subsequência formam um subconjunto in�nito, existe entre eles um ni0 > n0. Então, ni > ni0 ⇒ ni > n0, o que por sua vez implica que |xni − a| < �. Logo limi xni = a. Observação 1.1.17: Há duas aplicações dos Teoremas 1.1.15 e 1.1.16. Uma delas é para mostrar que uma certa sequência não converge: basta obter duas subsequências de (xn) com limites distintos. A outra é para determinar o limite de uma sequência (xn) que, a priori, se sabe que converge: basta determinar o limite de alguma subsequência. Ele será o limite procurado. Exemplo 1.1.18: A sequência (1, 0, 1, 0, 1, . . .) não é convergente pois admite duas sub- sequências constantes que convergem para limites diferentes. Teorema 1.1.19: Toda sequência convergente é limitada. Prova: Seja a = limn xn. Então, tomando � = 1, vemos que existe n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ xn ∈ (a−1, a+1). Consideremos o conjunto �nito F = {x1, x2,. . . , xn0 , a−1, a+1}. Seja c o menor e d o maior elemento de F . Então, para n ≤ n0, é óbvio que c ≤ xn ≤ d e para n > n0, temos que c ≤ a− 1 < xn < a+1 ≤ d. Então, todos os termos xn da sequência estão contidos no intervalo [c, d]; logo a sequência é limitada. Dado um conjunto de números reais A, de�ne-se como uma cota superior (resp. inferior) para A como sendo qualquer número real c tal que c ≥ x (resp. c ≤ x) para todo x ∈ A. Por exemplo, se A = (−1, 1], então qualquer número maior ou igual a 1 é uma cota superior para A e qualquer número menor ou igual a -1 é uma cota inferior para A. De�ne-se como o supremo (resp. ín�mo) de um conjunto A a menor (resp. maior) cota superior (resp. inferior) de A. No exemplo anterior, temos que supA = 1 e infA = −1. Note que o supremo e/ou o ín�mo de um conjunto, ao contrário de seu máximo e mínimo, não precisam ser elementos do conjunto. No exemplo, note que infA /∈ A. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 6 Teorema 1.1.20: Toda sequência monótona limitada é convergente. Prova: Para �xar as idéias, seja (x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . .) uma sequência não-decrescente limitada. Tomemos a = sup{xn : n = 1, 2, . . .}. A�rmamos que a = limn xn. Com efeito, dado qualquer � > 0, como a − � < a, o número a − � não é cota superior do conjunto dos xn. Logo, existe algum n0 ∈ IN tal que a − � < xn0 . Como a sequência é não-decrescente, n > n0 ⇒ xn0 ≤ xn e, portanto, a − � < xn. Como xn ≤ a para todo n (pela de�nição de supremo), vemos que n > n0 ⇒ a− � < xn < a+ �, ou seja, limn xn = a. 1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites Estudaremos agora como se comportam os limites de sequências relativamente às operações aritméticas e às desigualdades. Teorema 1.1.21: Se limn xn = 0 e (yn) é uma sequência limitada, então limn xn · yn = 0 (mesmo que não exista limn yn). Prova: Existe c > 0 tal que |yn| < c para todo n ∈ IN . Dado � > 0, como limn xn = 0, podemos encontrar n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ |xn| < �c . Logo, n > n0 ⇒ |xn · yn| =|xn| · |yn| < �c · c = �. Isto mostra que xn · yn → 0. Exemplo 1.1.22: Qualquer que seja x ∈ IR, temos limn sen(nx)n = 0. Com efeito, sen(nx)n = sen(nx) · 1 n , com |sen(nx)| ≤ 1 e 1 n → 0. Teorema 1.1.23: Se limn xn = a e limn yn = b, então 1. limn(xn + yn) = a+ b; limn(xn − yn) = a− b; 2. limn(xn · yn) = a · b; 3. limn(xn/yn) = a/b se b 6= 0 e yn 6= 0, ∀n. Prova: Para parte 1, dado � > 0 existem n1 e n2 em IN tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < �2 e n > n2 ⇒ |yn − b| < �2 . Seja n0 = max{n1, n2}. Então, n > n0 ⇒ n > n1 e n > n2. Logo n > n0 implica: |(xn + yn)− (a+ b)| = |(xn − a) + (yn − b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b| < � 2 + � 2 = �. Isto prova que limn(xn + yn) = a+ b. O caso da diferença xn − yn se trata do mesmo modo. Para parte 2, temos xnyn−ab = xnyn−xnb+xnb−ab = xn(yn−b)+(xn−a)b. Ora, (xn) pelo Teorema 1.1.19 é uma sequência limitada e pela parte 1, temos que limn(yn − b) = 0. Logo, pelo Teorema 1.1.21, limn[xn(yn−b)] = 0. Por motivo semelhante, limn[(xn−a)b] = 0. Assim, pela parte 1, já demonstrada, temos limn(xnyn−ab) = limn[xn(yn−b)]+ limn[(xn−a)b] = 0, donde limn xnyn = ab. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 7 Para parte 3, notemos que, como pela parte 2, ynb → b2, existe n0 tal que n > n0 ⇒ ynb > b2 2 (basta tomar � = b 2 2 ). Segue-se que, para todo n > n0, 1 ynb é um número positivo inferior a 2 b2 . Logo, a sequência ( 1 ynb ) é limitada. Como temos que, xn yn − a b = bxn − ayn ynb = (bxn − ayn) 1 ynb . Como pelas partes 1 e 2, limn(bxn − ayn) = ab − ab = 0, segue-se do Teorema 1.1.21 que limn( xn yn − a b ) = 0 e, portanto, limn xn yn = a b . Observação 1.1.24: É claro que resultados análogos aos ítens 1 e 2, do Teorema 1.1.23 valem para qualquer número �nito de sequências. Por exemplo, se limn xn = a, limn yn = b, e limn zn = c, então limn(xn+yn+zn) = a+b+c e limn(xnynzn) = abc. Contudo, deve-se tomar cuidado de não tentar aplicar o teorema para certas somas (ou produtos) em que o número de parcelas é variável e cresce acima de qualquer limite. Por exemplo, seja sn = 1 n + . . .+ 1 n (n parcelas). Então, sn = 1 e, portanto, limn sn = 1. Por outro lado, cada parcela 1 n tem limite zero. Uma aplicação descuidada do Teorema 1.1.23 levaria ao absurdo de concluir que lim n sn = lim n 1/n+ . . .+ lim n 1/n = 0 + . . .+ 0 = 0. Teorema 1.1.25: Sejam xn ≤ yn para todo n ∈ IN , limn xn = a, e limn yn = b, então a ≤ b. Prova: Suponha por contradição que a > b. Seja � = a−b 2 . Então, por hipótese existem n1 e n2 tais que n > n1 ⇒ xn ∈ (a − �, a + �) e n > n2 ⇒ yn ∈ (b − �, b + �). Pondo n0 = max{n1, n2}, vemos que n > n0 implica yn < b+ � = a+b2 = a− � < xn, absurdo. Observação 1.1.26: O resultado análogo ao do Teorema 1.1.25 para desigualdades estritas não é válido. Ou seja, não é verdade que se xn < yn para todo n ∈ IN , limn xn = a, e limn yn = b, então a < b. Por exemplo, seja xn = 0 e yn = 1/n para todo n ∈ IN . Temos que limn xn = limn yn = 0. Teorema 1.1.27: Sejam xn ≤ zn ≤ yn para todo n ∈ IN . Se limn xn = limn yn = a, então limn zn = a. Prova: Dado � > 0, existem n1 e n2 tais que n > n1 ⇒ xn ∈ (a− �, a+ �) e n > n2 ⇒ yn ∈ (a−�, a+�). Pondo n0 = max{n1, n2}, vemos que n > n0 implica a−� < xn ≤ zn ≤ yn < a+�. Portanto, limn zn = a. Vamos a seguir provar que limites são preservados a aplicações de funções contínuas. Recorde que uma função f : IR→ IR é contínua em a ∈ IR se para todo � > 0, existe δ > 0, tal que |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < �. Teorema 1.1.28: Se limn xn = a e g : IR → IR é uma função contínua em a, então limn g(xn) = g(a). Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 8 Prova: Escolha � > 0, arbitrário. Como g é contínua em a, existe δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ |g(x) − g(a)| < �. Por outro lado, como xn → a, temos que existe n0 tal que n > n0 ⇒ |xn − a| < δ. Portanto, para n > n0, temos que |g(xn) − g(a)| < �. Ou seja, limn g(xn) = g(a). 1.1.3 Valores de aderência, lim inf, lim sup De�nição 1.1.29: Um número real a chama-se valor de aderência de uma sequência (xn) quando a é limite de alguma subsequência de (xn). Exemplo 1.1.30: Se limn xn = a, então a é o único valor de aderência de (xn). A sequência (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .) tem 0 como seu único valor de aderência, embora não seja convergente. A sequência (0, 1, 0, 1, 0, . . .) tem como valores de aderência 0 e 1. Seja xn = n, a sequência (xn) não possui valores de aderência. O próximo teorema mostra que um número real a é valor de aderência de uma sequência (xn) se, e somente se, toda vizinhança de a contem in�nitos termos de (xn). Teorema 1.1.31: a é valor de aderência de (xn) se, e somente se, para todo � > 0 e todo n0 ∈ IN existir n ∈ IN tal que n > n0 e xn ∈ (a− �, a+ �). Prova: Suponha que a é um valor de aderência de (xn). Então, existe uma subsequência (xni) tal que limi xni = a, ou seja, para todo � > 0, existe ni0 , tal que i > i0 ⇒ xni ∈ (a− �, a+ �). Então, dado qualquer n0, como (xni) contém in�nitos termos de (xn), existe ni > n0 tal que i > i0 e, consequentemente, xni ∈ (a− �, a+ �). Reciprocamente, suponha que para todo � > 0 e todo n0 ∈ IN exista n ∈ IN tal que n > n0 e xn ∈ (a − �, a + �). Vamos construir uma subsequência (xni) tal que limi xni = a, mais especi�camente, vamos construir uma subsequência tal que xni ∈ (a − 1/i, a + 1/i). Por suposição, existe n1 tal que xn1 ∈ (a − 1, a + 1), vamos de�nir os demais termos da subsequência por indução. Suponha que exista ni > ni−1 tal que xni ∈ (a − 1/i, a + 1/i), queremos provar que existe ni+1 > ni tal que xni+1 ∈ (a− 1i+1 , a+ 1i+1). Por suposição, para � = 1 i+1 e n0 = ni, existe um n > n0 tal que xn ∈ (a − 1i+1 , a + 1i+1). Chamemos este n de ni+1, e construímos a desejada subsequência. Então, temos que a é limite desta subsequência (xni)e, portanto, valor de aderência de (xn). Seja (xn) uma sequência limitada de números reais. Mostraremos que o conjunto de valores de aderência de (xn) não é vazio, que entre eles existe um que é o menor de todos e outro que é o maior, e que a sequência converge se, e somente se, possui apenas um valor de aderência. Suponha que α ≤ xn ≤ β para todo n ∈ IN . Escrevamos Xn = {xn, xn+1, . . .}. Temos [α, β] ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . . Logo, de�nindo an = infXn e bn = supXn, temos α ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1 ≤ β Como toda sequência monotônica e limitada é convergente, temos que an → a e bn → b. Escreve-se a = lim inf xn e b = lim supxn e diz-se que a é o limite inferior e que b é o limite superior da sequência (xn). Como an ≤ bn, tem-se lim inf xn ≤ lim sup xn. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 9 Exemplo 1.1.32 : Sejam x2n−1 = − 1n e x2n = 1 + 1n . Veri�ca-se sem di�culdade que infX2n−2 = infX2n−1 = − 1n e supX2n−1 = supX2n = 1 + 1n . Logo, lim inf xn = 0 e lim sup xn = 1 e estes são os dois únicos valores de aderência da sequência (xn). Teorema 1.1.33: Seja (xn) uma sequência limitada. Então, lim inf xn é o menor valor de aderência e lim sup xn é o maior valor de aderência de (xn). Prova: Provaremos inicialmente que a = lim inf xn é valor de aderência de (xn). Para isto, usaremos o Teorema 1.1.31, e mostraremos que dados � > 0 e n0 ∈ IN arbitrários, existe n ∈ IN tal que n > n0 e xn ∈ (a − �, a + �). Como a = limn an, existe n1 > n0 tal que a − � < an1 < a + �. Como an1 = infXn1 , segue-se da última igualdade que a + � (sendo maior que an1) não é cota inferior de Xn1 . Logo, existe n ≥ n1 tal que an1 ≤ xn < a+ �. Isto nos dá n > n0 com a− � < xn < a+ �. Mostremos agora que nenhum número c < a pode ser valor de aderência de (xn). Ora, como a = limn an, segue-se de c < a que existe n0 ∈ IN tal que c < an0 ≤ a. Como an0 = infXn0 , concluímos que n ≥ n0 ⇒ c < an0 ≤ xn. Tomando � = an0 − c, vemos que c+ � = an0 , logo o intervalo (c− �, c+ �) não contém termo xn algum com n ≥ n0. Isto exclui a possibilidade de c ser valor de aderência de (xn). A demonstração para lim sup se faz de modo semelhante. Corolário 1.1.34: Uma sequência limitada de números reais (xn) é convergente se, e so- mente se, lim inf xn = lim supn xn, isto é, se, e somente se, possui um único valor de ade- rência. Prova: Se (xn) convergir para a, então vimos que a é o único valor de aderência. Portanto, lim inf xn = lim supn xn = a. Se lim inf xn = lim supn xn = a, então suponha que xn não convirja para a. Logo, existe � > 0, tal que para todo n0 ∈ N existe n > n0 tal que xn /∈ (a − �, a + �). Então existe uma subsequência de (xn) cujos termos não estão no intervalo (a − �, a + �). Pelo Teorema 1.1.33, esta subsequência possui valores de aderência que são valores de aderência de (xn) e estão fora do intervalo (a− �, a+ �), uma contradição. 1.1.4 Sequências de Cauchy Provamos anteriormente que toda sequência monótona limitada é convergente. Isto nos permite concluir que uma sequência possui limite mesmo sem conhecermos o valor deste limite. Veremos agora o critério de Cauchy, que nos dá uma condição necessária e su�ciente para a convergência de números reais. De�nição 1.1.35: Uma sequência (xn) de números reais é uma sequência de Cauchy quando dado qualquer � > 0, existe um n0 ∈ IN tal que n > n0 e m > n0 implica |xm − xn| < �. A �m de que (xn) seja uma sequência de Cauchy, exige-se que seus termos xm, xn, para valores su�cientemente grandes de índices n e m, se aproximem e permaneçam arbitraria- mente próximos uns dos outros. Compare com a de�nição de limite, onde se exige que os termos xn se aproximem e permaneçam arbitrariamente próximos de um número real a dado a priori. Aqui se impõe uma condição apenas sobre os termos da própria sequência. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 10 Teorema 1.1.36: Toda sequência convergente é de Cauchy. Prova: Seja limnxn = a. Então, dado � > 0 existe n0 tal que n > n0 ⇒ |xn − a| < �/2 e m > n0 ⇒ |xm−a| < �/2. Logo, m,n > n0 ⇒ |xm−xn| ≤ |xm−a|+ |xn−a| < �/2+�/2 = �, ou seja (xn) é uma sequência de Cauchy. Intuitivamente: se limn xn = a então, para valores grades de n, os termos xn se aproximam de a, e portanto necessariamente aproximam-se uns dos outros. Teorema 1.1.37: Toda sequência de Cauchy de números reais é convergente. Prova: Iremos provar este teorema utilizando dois Lemas. Lema 1.1.38: Toda sequência de Cauchy é limitada. Prova: Seja (xn) uma sequência de Cauchy. Tomando � = 1, obtemos n0 ∈ IN tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < 1. Em particular para m = n0 + 1, n > n0 ⇒ |xn0+1 − xn| < 1, ou seja, n > n0 ⇒ xn ∈ (xn0+1 − 1, xn0+1 + 1). Sejam α o menor e β o maior elemento do conjunto X = {x1, x2, . . . , xn0 , xn0+1 − 1, xn0+1 + 1}. Então, xn ∈ [α, β] para todo n ∈ IN , logo (xn) é limitada. Lema 1.1.39: Se uma sequência de Cauchy (xn) possui um valor de aderência a ∈ IR, então limn xn = a. Prova: Dado � > 0, como (xn) é uma sequência de Cauchy, existe n0 ∈ IN tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < �2 . Como a é valor de aderência de (xn), existe também n1 > n0 tal que|xn1 − a| < �/2. Portanto, n > n0 ⇒ |xn − a| ≤ |xn − xn1 | + |xn1 − a| < �. Isto mostra que limn xn = a. Então, seja (xn) uma sequência de Cauchy. Pelo Lema 1.1.38, ela é limitada. Logo, pelo Teorema 1.1.33, possui um valor de aderência e segue do Lema 1.1.39 que (xn) converge. 1.2 Séries de Números Reais Nesta seção, estenderemos a operação de adição de modo a atribuir signi�cado a uma igual- dade do tipo 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2n + . . . = 1, na qual o primeiro termo é uma �soma� com uma in�nidade de parcelas. É claro que não tem sentido somar uma sequência in�nita de números reais. O que o primeiro membro da igualdade acima exprime é o limite limn( 1 2 + 1 4 + . . .+ 1 2n ). A a�rmação contida naquela igualdade signi�ca que para todo � > 0 existe n0 tal que, para todo n > n0, a soma 1 2 + 1 4 + . . .+ 1 2n difere de 1 por menos de �. De�nição 1.2.1: Seja (an) uma sequência de números reais. A partir dela, formamos uma nova sequência (sn) cujos elementos são as somas s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + . . .+ an, que são chamados de soma parcial ou reduzida da série ∑ an. A parcela an é chamada o n-ésimo termo ou o termo geral da série. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 11 Se existir o limite s = lim sn = lim n→∞ (a1 + . . .+ an), diremos que a série ∑ an é convergente e o limite s será chamado a soma da série. Escreve- remos então s = ∑ an = ∞∑ n=1 an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . . Se a sequência de somas parciais não convergir, diremos que a série ∑ an é divergente. Observação 1.2.2: Toda sequência (xn) de números reais pode ser considerada como a sequência das reduzidas de uma série. Basta tomar a1 = x1 e an+1 = xn+1 − xn para todo n ∈ IN . Então, a1 + . . .+ an = x1 + (x2 − x1) + . . .+ (xn − xn−1) = xn. A série ∑ an assim obtida converge se, e somente se, a sequência (xn) é convergente. No caso a�rmativo, a soma desta série é igual a limn xn. Assim falando, pode-se dar a impressão de que a teoria das séries coincide com a teoria dos limites de sequências. Isto não é verdade, pelo seguinte motivo. Ao estudar a série cujas reduzidas são sn, estaremos deduzindo suas propriedades a partir das diferenças an = sn − sn−1. Em vez de tomar como ponto de partida o comportamento dos números sn, concentraremos atenção sobre os termos an. A primeira condição necessária para convergência de uma série é que seu termo geral tenda para zero. Teorema 1.2.3: Se ∑ an é uma série convergente, então limn an = 0. Prova: Seja sn = a1 + . . . + an. Então, existe s = limn sn. Evidentemente, tem-se também s = limn sn−1. Logo, 0 = s− s = limn sn − limn sn−1 = limn(sn − sn−1) = limn an.Exemplo 1.2.4: A recíproca do Teorema 1.2.3 é falsa. O contra-exemplo clássico é dado pela série harmônica ∑ 1 n . Seu termo geral, 1 n , tende para zero mas a série diverge. Com efeito, temos s2n = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + . . .+ ( 1 2n−1 + 1 + · · · 1 2n ) > 1 + 1 2 + 2 4 + . . .+ 2n−1 2n = 1 + n · 1 2 . Segue-se que limn s2n = +∞ e, por conseguinte, como sn é monotonicamente crescente, temos limn sn = +∞. Resulta daí que, para 0 < r < 1, a série ∑ 1 nr diverge, pois 1 nr > 1 n para todo n > 1. Exemplo 1.2.5: A série geométrica ∑∞ n=0 a n é divergente quando |a| ≥ 1, pois neste caso seu termo geral não tende a zero. Quando |a| < 1, a série geométrica converge, pois sn − asn = (1 + a+ . . .+ an)− (a+ a2 + . . .+ an+1) = 1− an+1 ⇒ sn(1− a) = 1− an+1 ⇒ sn = 1− a n+1 1− a . Então, ∑∞ n=0 a n = limn sn = 1 1−a . Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 12 Exemplo 1.2.6: A série ∑∞ n=1(−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . é divergente pois seu termo geral não tende a zero. Suas somas parciais de ordem ímpar são iguais a 1 e as de ordem par são iguais a zero. Uma série ∑ an pode divergir por dois motivos. Ou porque as reduzidas sn = a1+. . .+an não são limitadas ou porque elas oscilam em torno de alguns valores de aderência. Quando os termos da série têm todos o mesmo sinal, esta última possibilidade não ocorre, pois, neste caso, as reduzidas formam uma sequência monótona. A seguir nós estudaremos alguns critérios de convergência de séries. Teorema 1.2.7: Seja an > 0 para todo n ∈ IN . A série ∑ an converge se, e somente se, as somas parciais sn = a1 + . . .+ an formam uma sequência limitada. Prova: Sendo an > 0, temos s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ . . .; logo a sequência (sn) sendo monótona converge se, e somente se, é limitada. Dada uma série de termos não negativos a1, a2, . . ., suponha que os termos sejam reinde- xados numa outra ordem qualquer, a′1, a ′ 2, . . ., de forma que a ′ 1 pode ser a15, a ′ 2 pode ser a1, etc. Então, como os termos são todos não negativos, a nova soma parcial s′n = a ′ 1 + . . .+ a ′ n é dominada por alguma soma parcial sm com m > n. Se a série original converge para s, teremos s′n ≤ sm ≤ s, logo s′n é limitada e portanto convergente. Seu limite s′ é seu supremo, de sorte que s′ ≤ s. Mas a série original pode também ser interpretada como obtida de∑ a′n por reindexação de seus termos a′n, logo temos também s ≤ s′. Concluímos que uma série de termos não negativos que converge tem a mesma soma, independente da ordem de seus termos. É fácil ver também que se a série de termos não negativos diverge, ela será sempre divergente, não importa a ordem de seus termos. O próximo teorema estabelece mais uma caracterização de séries convergentes e diver- gentes. Teorema 1.2.8: Seja ∑∞ n=1 an uma série de termos não-negativos. Então, (a) se ∑∞ n=1 an <∞, então limk ∑∞ n=k+1 an = 0; (b) se ∑∞ n=1 an =∞, então ∀k, ∑∞ n=k an =∞. Prova: Para parte (a), como sk = ∑k n=1 an é uma sequência monótona não-decrescente e limitada, então ela é convergente. Logo, pelo critério de Cauchy para sequências temos que ∀� > 0, ∃m tal que k, p > m ⇒ |sp − sk| < �. Assumindo sem perda de generalidade que p > k, temos que ∀� > 0, ∃m tal que k, p > m⇒ |∑pn=k+1 an| < �. Fazendo p→∞, temos que ∀� > 0, ∃m tal que k > m⇒ |∑∞n=k+1 an| ≤ �, ou seja, ∑∞n=k+1 an → 0. Para parte (b), suponha por contradição que ∑∞ n=1 an = ∞ e que exista k tal que∑∞ n=k ak <∞. Seja L = ∑k−1 n=1 an, então ∑∞ n=1 an = L+ ∑∞ n=k ak <∞, uma contradição. 1.2.1 Critérios de Convergência Um dos problemas centrais no estudo das séries consiste em saber se uma dada série converge ou não. Há vários critérios para se testar a convergência de uma série, nós vamos destacar dois dos mais importantes: o teste da comparação e o teste da razão. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 13 Teste de Comparação Teorema 1.2.9: Sejam ∑ an e ∑ bn duas séries de termos não negativos. Suponhamos ainda que a primeira seja dominada pela segunda, an ≤ bn para todo n ∈ IN . Então, (i) ∑ bn converge ⇒ ∑ an converge; (ii) ∑ an diverge ⇒ ∑ bn diverge. Prova: As somas parciais das séries dadas sn = a1 + . . . + an e tn = b1 + . . . + bn são sequências não decrescentes, satisfazendo à desigualdade sn ≤ tn, pois 0 ≤ an ≤ bn. No caso (i), tn converge para um certo limite t, então sn ≤ t para todo n, ou seja, sn é uma sequência monótona limitada e, portanto, convergente. Para provar (ii), raciocinamos por absurdo: se ∑ bn convergisse, então, pela parte (i),∑ an também teria de convergir, contrariando a hipótese. Exemplo 1.2.10: Um modo de provar a convergência da série ∑ 1 n! consiste em compará-la com a série geométrica de razão 1/2. Observemos que 1 n! = 1 2 · 3 . . . n < 1 2 · 2 . . . 2 = 1 2n−1 , donde se vê que a série dada é dominada pela série ∑ 1 2n−1 . Como esta é convergente, concluímos que a série original também é convergente. Exemplo 1.2.11: Vamos provar que a série ∑ 1 nr é convergente quando r > 1. Para isso, majoramos as somas parciais da série, diminuindo os denominadores de seus termos, de acordo com o seguinte esquema: 1 + ( 1 2r + 1 3r ) + ( 1 4r + 1 5r + 1 6r + 1 7r ) + . . . ≤ 1 + ( 1 2r + 1 2r ) + ( 1 4r + 1 4r + 1 4r + 1 4r ) + . . . = 1 + 2 2r + 4 4r + . . . = 1 + 1 2r−1 + 1 4r−1 = 1 + ( 1 2r−1 ) + ( 1 2r−1 )2 + . . . Isto nos mostra que ∑ 1 nr é dominada pela série geométrica de razão q = 1 2r−1 < 1, que é convergente. Exemplo 1.2.12: A série ∑∞ k=1 1 k sen 1 k é convergente, pois como para todo x ∈ (0, pi/2), senx < x, temos que para todo k ≥ 1: 0 ≤ 1 k sen 1 k ≤ 1 k · 1 k . Como ∑∞ k=1 1 k2 é convergente, segue do critério da comparação que ∑∞ k=1 1 k sen 1 k é conver- gente. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 14 Exemplo 1.2.13: A série ∑∞ k=0 k k2+2k+1 é convergente ou divergente? Justi�que. Solução: k k2 + 2k + 1 = 1 k · 1 1 + 2 k + 1 k2 . Para todo k ≥ 1, 1 + 2 k + 1 k2 ≤ 4 e, portanto, para todo k ≥ 1, k k2 + 2k + 1 ≥ 1 4k . Como ∑∞ k=1 1 4k =∞, resulta que ∑∞k=0 kk2+2k+1 =∞ e, portanto, a série é divergente. Teste da Razão Teorema 1.2.14: Seja ∑ an uma série de termos positivos tal que an+1/an converge para um certo limite r. Então, a série converge se r < 1 e diverge se r > 1. Prova: Supondo r < 1, seja � > 0 tal que c = r + � < 1. Como an+1/an → r, existe um índice N su�cientemente grande tal que, para n ≥ N , r − � < an+1/an < r + � = c. Fazendo n sucessivamente igual a N , N + 1, N + 2, . . . , essa desigualdade nos dá aN+1 < aNc, aN+2 < aN+1c < aNc 2, em geral, aN+n < aNc n , de modo que a série ∑∞ n=N+1 an é dominada pela série geométrica aN ∑∞ n=1 c n . Como c < 1, esta série converge, logo o mesmo ocorre com a série original, pelo teste de comparação. Ao contrário, se r > 1, então, dado � = r − 1, a partir de certo índice n = N teremos r − � < an+1/an < r + �. Como r − � = 1, a primeira desigualdade acima nos dá an+1 > an a partir de n = N . Portanto, aN < aN+1 < aN+2 < . . . e a série original diverge para ∞. Exemplo 1.2.15: A série ∑∞ k=0 2k k! é convergente ou divergente? Justi�que. Solução: Como ak = 2k k! , temos ak+1 ak = 2k+1 (k+1)! 2k k! = 2 k + 1 . Segue que limk ak+1/ak = 0, então, pelo critério da razão, a série ∑∞ k=0 2k k! é convergente. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2.SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 15 1.2.2 Convergência Absoluta De�nição 1.2.16: Diz-se que uma série ∑ an converge absolutamente, ou é absolutamente convergente, se a série ∑ |an| é convergente. Teorema 1.2.17: Toda série absolutamente convergente é convergente. Além disso, a soma da série independe da ordem em que se consideram os termos. Prova: Sejam pn a soma dos termos ar positivos e qn a soma dos valores absolutos dos termos ar negativos, onde, em ambos os casos, r ≤ n. Então, as somas parciais das séries∑ |an| e ∑ an são dadas por Tn = |a1|+ |a2|+ . . .+ |an| = pn + qn e Sn = a1 + a2 + . . .+ an = pn − qn, respectivamente. As sequências (Tn), (pn) e (qn) são não decrescentes, a primeira delas converge, por hipótese, digamos, para T . Ao mesmo tempo, pn ≤ Tn ≤ T e qn ≤ Tn ≤ T , logo pn e qn também convergem, digamos para p e q, respectivamente. Concluímos que (Sn) também converge: Sn = pn − qn → p− q. Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta notar que pn e qn são somas parciais de séries de termos não negativos, cujas somas independem da ordem em que se considerem seus termos. Exemplo 1.2.18 : A série −1 + 1 4 − 1 9 + . . . = ∑∞ n=1 (−1)n n2 é convergente, já que ela é absolutamente convergente. Teste da Razão Para Séries de Termos Quaisquer Teorema 1.2.19: Seja a série ∑∞ k=0 ak, com ak 6= 0 para todo natural k. Suponhamos que limk |ak+1ak | = r. Então, a série converge se r < 1 e diverge se r > 1. Prova: Se r < 1, a série ∑∞ k=0 |ak| será convergente pelo teste da razão; logo ∑∞ k=0 ak será, também, convergente. Se r > 1, existirá um natural p tal que k ≥ p ⇒ |ak+1||ak| > 1. Então, para todo k > p, |ak| > |ap|. Como ap 6= 0, limk |ak| não poderá ser zero e o mesmo acontecerá, então, com limk ak. Pelo critério do termo geral, a série ∑∞ k=0 ak será divergente. Exemplo 1.2.20: Determine x para que a série ∑∞ n=1 nx n seja convergente. Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que x 6= 0 e apliquemos o critério da razão. lim n |(n+ 1)x n+1 nxn | = |x| lim n n+ 1 n = |x|. Segue do critério da razão, que a série é convergente para |x| < 1 e divergente para |x| > 1. Para |x| = 1, a série é divergente pelo critério do termo geral. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 16 Exemplo 1.2.21: Determine x para que a série ∑∞ n=1 xn n! seja convergente. Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que x 6= 0 e apliquemos o critério da razão. lim n | n!x n+1 (n+ 1)!xn | = |x| lim n 1 n+ 1 = 0. Segue do critério da razão, que a série é convergente para todo x real. Exemplo 1.2.22: Determine x para que a série ∑∞ n=1 n!xn nn seja convergente. Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que x 6= 0 e apliquemos o critério da razão. lim n |(n+ 1)!n nxn+1 n!(n+ 1)n+1xn | = |x| lim n (n+ 1)nn (n+ 1)n+1 = |x| lim n ( n n+ 1 )n = |x| e . Segue do critério da razão, que a série é convergente para todo |x| < e e divergente para |x| > e. Se |x| = e, utilizando a aproximação de Stirling, segundo a qual limn→∞ n!(n e )n √ 2pin = 1, temos que limn→∞|an| = lim n→∞ n!en nn = lim n→∞ n!en nn (n e )n √ 2pin (n e )n √ 2pin = lim n→∞ n! (n e )n √ 2pin lim n→∞ en(n e )n √ 2pin nn = 1 lim n→∞ √ 2pin =∞. Portanto, o termo geral da série diverge, logo a série diverge. 1.2.3 Ordens de Magnitude Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x) g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0, dizemos que f é de ordem pequena em relação a g, para x→ x0 e escrevemos f(x) = o(g(x)), x→ x0. Por exemplo, sen2x = o(x) e cos( 1 x ) = o( 1 x ) para x → 0, pois ambos quocientes, sen2x x e cos(1/x) 1/x tendem a zero com x→ 0. Quando apenas sabemos que o quociente permanece limitado numa vizinhança de x0, isto é, quando existem números positivos δ e M tal que se |x − x0| < δ, então |f(x)||g(x)| ≤ M , dizemos que f é de ordem grande em relação a g, para x→ x0 e escrevemos f(x) = O(g(x)), x→ x0. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.3. SÉRIE DE TAYLOR 17 Por exemplo, ex− 1−x = O(x2) e senx−x = O(x3) para x→ 0, pois usando L'Hopital, temos que os quocientes ex−1−x x2 e senx−x x3 tendem a 1/2 e −1/6, respectivamente, quando x tende a zero. Note que f(x) = o(g(x))⇒ f(x) = O(g(x)), x→ x0, mas a recíproca não é verdadeira. No caso de sequências de números reais, também podemos analisar o comportamento comparativo de duas sequências {an}n≥1 e {bn}n≥1, quando n tende ao in�nito. Dizemos que an = o(bn) se lim an bn = 0 e dizemos que an = O(bn) se existir um número inteiro positivo n0 tal que a subsequência de |an| |bn| que contém todos os termos a partir de n0 seja limitada. Em particular, temos que se (bn) for uma sequência constante bn = c, para todo n, então an = o(c) se an → 0 e an = O(c) se (an) for uma sequência limitada. Exemplo 1.2.23: 1. nk = o(en), para todo k. 2. log n = o(nk), para todo k > 0. 3. 10n2 + n = O(n2). 1.3 Série de Taylor As funções polinomiais são as mais simples quando se quer calcular seus valores, derivá-las ou integrá-las. A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois permite obter propriedades das funções em termos de propriedades análogas dos polinômios que as aproximam. Vamos considerar o problema de aproximar a função f , numa vizinhança de x = 0, por um polinômio de grau n: pn(x) = a0 + a1x+ . . .+ arx r + . . .+ anx n. Suponha que f seja derivável em x = 0 até ordem n. Observamos que: p′n(x) = a1 + 2a2x+ . . .+ rarx r−1 + . . .+ nanxn−1 p′′n(x) = 2a2 + 6a3x+ . . .+ r(r − 1)arxr−2 + . . .+ n(n− 1)anxn−2 Em geral, p(r)n (x) = r!ar + . . .+ n(n− 1) . . . (n− r + 1)anxn−r. Portanto, fazendo x = 0 nessa expressão, obtemos p (r) n (0) = r!ar, r = 0, 1, 2, . . . , n. Como queremos aproximar f por pn em x = 0, queremos que todas as derivadas até ordem n dessas funções em x = 0 coincidam, ou seja, que elas se toquem (f(0) = pn(0)) no ponto x = 0, tenham a mesma inclinação (f ′(0) = p′n(0)) neste ponto, e assim por diante. Então, segue-se que ar = p (r) n (0) r! = f (r)(0) r! . Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.3. SÉRIE DE TAYLOR 18 Então, temos que pn(x) = n∑ r=0 f (r)(0) r! xr, onde f (0)(x) = f(x). Este é chamado de polinômio de Taylor de ordem n da função f em torno de x = 0. Sua importância reside no teorema que enunciamos e provamos a seguir. Teorema 1.3.1: Seja f uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0. Então, o polinômio pn aproxima f em V com erro ou resto dado por Rn(x) = f(x)− pn(x) = f (n+1)(cn)x n+1 (n+ 1)! , onde cn é um número compreendido entre 0 e x. Prova: Começaremos enunciando e provando o seguinte Lema, conhecido como Teorema do Valor Médio Generalizado. Lema 1.3.2: Se F e G são funções deriváveis num intervalo (a, b), contínuas em [a, b], com G(a) 6= G(b) e G′(x) 6= 0 para x ∈ (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que F (b)− F (a) G(b)−G(a) = F ′(c) G′(c) Prova: Considere a função H(x) = (F (b)− F (a))(G(x)−G(a))− (G(b)−G(a))(F (x)− F (a)). Então, H é contínua em [a, b], derivável em (a, b), e H(a) = H(b) = 0. Logo pelo Teorema do Valor Médio existe c ∈ (a, b) tal que H(b)−H(a) = 0 = H ′(c)(b− a), ou seja, H ′(c) = 0. Portanto, existe c tal que (F (b)− F (a)G′(c)− (G(b)−G(a))F ′(c) = 0. Como G(b) 6= G(a), o resultado está provado. Usaremos repetidamente o Teorema do Valor Médio Generalizado para provar o teorema. Seja F (x) = f(x) − pn(x), G(x) = xn+1, a = 0, e b = x. Então aplicando o Lema notando que f(0) = pn(0), obtemos Rn(x) xn+1 = f(x)− pn(x) xn+1 = f ′(c)− p′n(c)(n+ 1)cn , onde c está entre 0 e x. Aplicando novamente o Lema com F (x) = f ′(x) − p′n(x), G(x) = (n+ 1)xn, b = c e a = 0, temos (note que f ′(0)− p′n(0) = 0) Rn(x) xn+1 = f ′(c)− p′n(c) (n+ 1)cn = f ′′(c1)− p′′n(c1) (n+ 1)ncn−11 , Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.3. SÉRIE DE TAYLOR 19 onde c1 está entre 0 e c. Continuando desta maneira, levando sempre em conta que f (r) n (0) = p (r) n (0), para 0 ≤ r ≤ n e o fato que p(n+1)n (y) = 0 para todo y real, obtemos Rn(x) xn+1 = f (n+1)(cn) (n+ 1)! , onde cn está entre 0 e x. A fórmula f(x) = n∑ r=0 f (r)(0) r! xr +Rn(x) é chamada de série, expansão ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da função f em torno de x = 0. Podemos generalizar este resultado e obter a série de Taylor de uma função em torno de um outro ponto qualquer x = a, onde a não é necessariamente igual a zero. Este problema se reduz facilmente ao problema tratado anteriormente, introduzindo-se a variável h = x− a e a função g(h) = f(a+h) = f(x). Dessa maneira a variável x se aproxima de a se, e somente se, h se aproxima de 0. Suponha que f seja derivável até ordem n + 1 numa vizinhança de x = a, digamos |x − a| < δ. Então, g terá n + 1 derivadas em |h| < δ. Além disso, g(r)(h) = f (r)(a + h) = f (r)(x), 0 ≤ r ≤ n + 1. Portanto, a série de Taylor de g de ordem n em torno de h = 0 é: g(h) = n∑ r=0 g(r)(0) r! hr + g(n+1)(c) (n+ 1)! hn+1, e pode ser reescrita como f(x) = n∑ r=0 f (r)(a) r! (x− a)r + f (n+1)(c′) (n+ 1)! (x− a)n+1, onde c′ = a + c é um número entre a e x, do mesmo modo que c é um número entre 0 e h. Esta fórmula é chamada de série, expansão, ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da função f em torno do ponto x = a, e ∑n r=0 f (r)(a) r! (x− a)r é chamado de polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x = a. Se a função f (n+1) for limitada por uma constante K numa vizinhança de x = a, isto é, |fn+1(x)| ≤ K, para |x− a| ≤ δ, então Rn(x) = O((x− a)n+1) ou Rn(x) = o((x− a)n) com x→ a. Desse modo se uma função f possui derivada de ordem n numa vizinhança de x = a para todo natural n, temos que sua série de Taylor é dada por: ∞∑ r=0 f (r)(a) r! (x− a)r. Exemplo 1.3.3: Vamos obter a série de Taylor de ordem n da função f(x) = ln(1 + x), x > −1, em torno de x = 0. Autor: Leandro Chaves Rêgo 1.3. SÉRIE DE TAYLOR 20 Solução: Note que f(0) = ln(1) = 0, f ′(x) = 1 1+x = (1 + x)−1, f ′′(x) = −1(1 + x)−2, e que em geral temos: f (r)(x) = (−1)r−1(r− 1)!(1+x)−r. Portanto, f (r)(0) = (−1)r−1(r− 1)!, e a série de Taylor de ordem n de f em torno de x = 0 é: f(x) = n∑ r=1 (−1)r−1 r (x)r + (−1)n(1 + c)−(n+1) (n+ 1) (x)n+1, onde c está entre 0 e x. Exemplo 1.3.4: Vamos obter a série de Taylor de ordem n da função f(x) = 1 x , x > 0, em torno do ponto a = 2. Solução: Note que f(2) = 1/2, f ′(x) = −x2, f ′′(x) = 2x−3, e que em geral temos: f (r)(x) = (−1)rr!x−r−1. Portanto, f (r)(2) r! = (−1) r 2r+1 , e a série de Taylor de ordem n de f em torno de x = 2 é: f(x) = n∑ r=0 (−1)r 2r+1 (x− 2)r + (−1) n+1 cn+2 (x− 2)n+1, onde c é um número entre 2 e x. Exemplo 1.3.5: Fórmula de Euler. Neste exemplo usaremos séries de Taylor para de- monstrar a fórmula de Euler: eix = cos(x)+ i sen(x), onde i = √−1. Note que para qualquer inteiro r, temos dreix dxr = ireix; dr cos(x) dxr = { (−1) r+12 sen(x) se r for ímpar, (−1) r2 cos(x) se r for par; dr sen(x) dxr = { (−1) r−12 cos(x) se r for ímpar, (−1) r2 sen(x) se r for par. Então, temos as seguintes expansões de Taylor em torno de x = 0: eix = ∞∑ r=0 ir r! xr = ∞∑ r=0 (−1)r 2r! x2r + i ∞∑ r=0 (−1)r (2r + 1)! x2r+1; cos(x) = ∞∑ r=0 (−1)r 2r! x2r; sen(x) = ∞∑ r=0 (−1)r (2r + 1)! x2r+1. Logo, podemos concluir que eix = cos(x) + i sen(x). Autor: Leandro Chaves Rêgo Capítulo 2 Convergência Estocástica 2.1 Seqüência de Eventos A de�nição de conceitos de convergência de variáveis aleatórias depende de manipulações de seqüências de eventos. Seja An ⊆ Ω, de�ne-se: inf k≥n Ak = ∩∞k=nAk, sup k≥n Ak = ∪∞k=nAk lim inf n An = ∪∞n=1 ∩∞k=n Ak lim sup n An = ∩∞n=1 ∪∞k=n Ak. O limite de uma seqüência de eventos é de�nido da seguinte maneira: se para alguma seqüência (Bn) de eventos lim infnBn = lim supnBn = B, então B é chamado de limite de (Bn) e nós escrevemos limnBn = B ou Bn → B. Exemplo 2.1.1: lim inf[0, n n+1 ) = lim sup[0, n n+1 ) = [0, 1) Teorema 2.1.2: Seja (An) uma seqüência de eventos de Ω. (a) ω ∈ lim supAn se, e somente se, ω ∈ Ak para um número in�nito de índices k. (b) ω ∈ lim inf An se, e somente se, ω /∈ Ak para um número �nito de índices k. Prova: Para parte (a), note que ω ∈ lim supAn, se, e somente se, para todo n, ω ∈ ∪∞k=nAk, ou seja, se, e somente se, para todo n existe n′ ≥ n tal que ω ∈ An′ . Como isto é válido para todo n, temos que isto é equivalente a existência de um número in�nito de índices k tais que ω ∈ Ak. A prova da parte (b) é similar. A seguir descreveremos algumas propriedades do lim inf e lim sup de uma seqüência de eventos. 1. lim inf An ⊆ lim supAn Este fato é uma simples conseqüência do Teorema 2.1.2, pois se ω ∈ lim inf An, ω não pertence apenas a um número �nito de eventos Ak's, e conseqüentemente pertence a um número in�nito deles. Logo, ω ∈ lim supAn. 21 2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 22 2. (lim inf An) c = lim supAcn Este fato decorre aplicando a Lei de De Morgan duas vezes: (∪∞n=1 ∩∞k=n Ak)c = ∩∞n=1(∩∞k=nAk)c = ∩∞n=1(∪∞k=nAck). Seqüências Monotônicas Uma seqüência de eventos (An) é monotônica não-decrescente (resp., não-crescente) se A1 ⊆ A2 ⊆ . . . (resp, A1 ⊇ A2 ⊇ . . .). Denotaremos por An ↑ (resp., An ↓) uma seqüência não-decrescente (resp. não-crescente) de eventos. Teorema 2.1.3: Suponha que (An) é uma seqüência monotônica de eventos. Então, 1. Se An ↑, então limnAn = ∪∞n=1An. 2. Se An ↓, então limnAn = ∩∞n=1An. Conseqüentemente, como para qualquer seqüência Bn, temos infk≥nBk ↑ e supk≥nBk ↓, segue que: lim inf Bn = lim n (inf k≥n Bk), lim supBn = lim n (sup k≥n Bk) Prova: Para provar (1), precisamos mostrar que lim inf An = lim supAn = ∪∞n=1An. Como Aj ⊆ Aj+1, temos ∩k≥nAk = An, e portanto, lim inf An = ∪∞n=1(∩k≥nAk) = ∪∞n=1An. Por outro lado, temos, lim supAn = ∩∞n=1(∪k≥nAk) ⊆ ∪∞k=1Ak = lim inf An ⊆ lim supAn. Logo, temos igualdade acima, ou seja, lim supAn = ∪∞k=1Ak. A prova de (2) é similar. Exemplo 2.1.4: 1. limn[0, 1− 1n ] = ∪∞n=1[0, 1− 1n ] = [0, 1). 2. limn[0, 1 + 1 n ) = ∩∞n=1[0, 1 + 1n) = [0, 1]. 3. limn( n n+1 , n n−1) = ∩∞n=1( nn+1 , nn−1) = {1}. Exemplo 2.1.5: Sejam An, A,Bn, B eventos em Ω. Mostre que: 1. se limnAn = A, então limnA c n = A c . Solução: lim inf Acn = (lim supAn) c = Ac e lim supAcn = (lim inf An) c = Ac. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 23 2. lim sup(An ∪Bn) = lim supAn ∪ lim supBn. Solução: Se ω ∈ lim sup(An∪Bn), então ω ∈ (Ak∪Bk) para in�nitos índices k. Logo, temos que ω ∈ Ak para in�nitos índices k, ou ω ∈ Bk para in�nitos índices k. Portanto, temos ω ∈ lim supAn ou ω ∈ lim supBn, ou seja, ω ∈ lim supAn ∪ lim supBn. Reciprocamente, se ω ∈ lim supAn∪lim supBn, então ω ∈ lim supAn ou ω ∈ lim supBn. Logo, temos que ω ∈ Ak para in�nitos índices k, ou ω ∈ Bk para in�nitos índices k, ou seja, ω ∈ (Ak ∪Bk) para in�nitos índices k. Portanto, ω ∈ lim sup(An ∪Bn). 3. Não é verdade que lim inf(An ∪Bn) = lim inf An ∪ lim inf Bn. Solução: Vamos construir um contra-exemplo: Suponha que A ∩B = ∅, An = A 6= ∅ e Bn = B 6= ∅ para n par; e An = B e Bn = A para n ímpar. Como An ∪Bn = A ∪B para todo n, é fácil ver que lim inf(An ∪ Bn) = A ∪ B. Também é fácil ver que lim inf An = lim inf Bn = A ∩ B = ∅, pois somente os ω′s em A ∩ B não ocorrem paraum número �nito de índices n tanto na seqüência An quanto na seqüência Bn. Então, A ∪B = lim inf(An ∪Bn) 6= ∅ = lim inf An ∪ lim inf Bn. 4. se An → A e Bn → B, então An ∪Bn → A ∪B e An ∩Bn → A ∩B. Solução: Pela parte (2), temos que lim supAn ∪Bn = lim supAn ∪ lim supBn = A ∪B, e pela propriedade (1) de lim inf e lim sup, temos lim inf An ∪Bn ⊆ lim supAn ∪Bn = A ∪B. Resta-nos provar que A ∪ B ⊆ lim inf An ∪ Bn. Suponha que ω ∈ A ∪ B, então ω ∈ lim inf An ou ω ∈ lim inf Bn, ou seja, ω não pertence a um número �nito de Ak's, ou ω não pertence a um número �nito de Bk's. Logo, ω não pertence a um número �nito de Ak ∪Bk's. Portanto, ω ∈ lim inf An ∪Bn. Então, An ∪Bn → A ∪B. Utilizando os ítens anteriores e a Lei de De Morgan, temos: A ∩B = (Ac ∪Bc)c = (limAcn ∪ limBcn)c = = (limAcn ∪Bcn)c = lim(Acn ∪Bcn)c = limAn ∩Bn. 2.1.1 Borel-Canteli A seguir vamos enunciar e provar um importante Lema, conhecido como Lema de Borel- Cantelli, que trata da probabilidade da ocorrência de um número in�nito de eventos. Lema 2.1.6: Sejam A1, A2, . . . eventos aleatórios em (Ω,A, P ), ou seja, An ∈ A,∀n. (a) Se ∑∞ n=1 P (An) <∞, então P (An in�nitas vezes ) = 0. (b) Se ∑∞ n=1 P (An) =∞ e os eventos An's são independentes, então P (An in�nitas vezes ) = 1. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 24 Obervação: O ítem (b) não vale necessariamente sem independência. Por exemplo, seja An = A, ∀n, onde 0 < P (A) < 1. Então, ∑ P (An) = ∞ mas o evento [An in�nitas vezes] = A e P (An in�nitas vezes) = P (A) < 1. Prova: Para parte (a), se ∑ P (An) <∞, então ∑∞ k=j P (Ak)→ 0 quando j →∞. Mas [An in�nitas vezes] ⊆ ∪∞k=jAk, ∀j, logo P (An in�nitas vezes) ≤ P (∪∞k=jAk) ≤ ∞∑ k=j P (Ak)→ 0. Portanto, P (An in�nitas vezes) = 0. Para parte (b), basta provar que P (∪∞k=nAk) = 1, ∀n (pois sendo [An in�nitas vezes] = ∩∞n=1 ∪∞k=n Ak a intersecção de um número enumerável de eventos de probabilidade 1, é também de probabilidade 1). Para tanto, seja Bn = ∪∞k=nAk. Então Bn contém ∪n+mk=n Ak para todo m, e Bcn ⊆ (∪n+mk=n Ak)c = ∩n+mk=n Ack. Logo para todo m, 1− P (Bn) = P (Bcn) ≤ P (∩n+mk=n Ack) = n+m∏ k=n P (Ack) = n+m∏ k=n (1− P (Ak)). Como 1− p ≤ e−p para 0 ≤ p ≤ 1, temos 1− P (Bn) ≤ n+m∏ k=n e−P (Ak) = exp(− n+m∑ k=n P (Ak))→ 0 quando m→∞, pois ∑n+mk=n P (Ak)→∞ quando m→∞. Logo P (Bn) = 1,∀n. Exemplo 2.1.7: Se sabemos que para uma dada coleção de eventos {Ak}, as suas probabi- lidades individuais satisfazem P (Ak) ≤ 1k2 , então podemos concluir que in�tos desses vezes ocorrem com probabilidade zero ou, que apenas um número �nito deles ocorrem com proba- bilidade 1. Podemos reesecrever isso da seguinte forma: existe um instante aleatório N tal que, com probabilidade 1, nenhum dos Ak ocorrem para k > N . É importante ressaltar que nós podemos chegar a essa conclusão sem saber nada sobre as interações entre esses eventos como as que são expressas por probabilidades de papres de eventos P (Ai ∩Aj). Contudo, se apenas sabemos que P (Ak) > 1/k, então não podemos concluir nada baseados no Lema de Borel-Cantelli. Se soubermos que os eventos são mutuamente independentes, então sabendo que P (Ak) > 1/k, podemos concluir que in�nitos Ak ocorrem com probabilidade 1. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 25 Exemplo 2.1.8: Considere uma seqüência de variáveis aleatórias X1, X2, X3, . . .. Podemos usar o Lema de Borel-Cantelli para determinar a probabilidade que Xk > bk in�nitas vezes para qualquer seqüência de números reais {bk}. Note que P (Xk > bk) = 1− FXk(bk). Logo, se ∞∑ k=1 P (Xk > bk) = ∞∑ k=1 1− FXk(bk) <∞, então, não importa qual a distribuição conjunta das variáveis aleatórias {Xk}, temos que o evento {Xk > bk} só ocorrerá para um número �nito de índices k. Por outro lado, se ∞∑ k=1 P (Xk > bk) = ∞∑ k=1 1− FXk(bk) =∞, então precisaríamos de informação adicional sobre a distribuição conjunta das variáveis ale- atórias {Xk} para determinar se os eventos {Xk > bk} ocorrem um número �nito ou in�nito de vezes. Exemplo 2.1.9: Considere uma moeda não necessariamente honesta com probabilidade de cara igual a p, onde 0 < p < 1. Se esta moeda for jogada um número in�nito de vezes de maneira independente, qual a probabilidade da seqüência (cara, cara, coroa, coroa) aparecer um número in�nito de vezes? Justi�que sua resposta. Solução: Seja Xi o resultado do i-ésimo lançamento da moeda. De�na o evento Ai = {Xi = cara,Xi+1 = cara,Xi+2 = coroa,Xi+3 = coroa}, queremos calcular P (Ai in�nitas vezes). Note que para todo i, temos P (Ai) = p 2(1 − p)2 > 0. Não podemos aplicar diretamente o lema de Borel Cantelli, pois os eventos Ai's não são independentes, visto que, por exemplo, ambos A1 e A2 dependem de X2, X3, X4. Considere a seguinte subseqüência da seqüência de eventos (Ai) tal que Bi = A4i−3. Como os eventos Bi's dependem de famílias disjun- tas de variáveis aleatórias independentes, eles são independentes. Além disso temos que P (Bi) = p 2(1 − p)2 > 0. Logo, ∑i P (Bi) = ∞. Portanto, Borel-Cantelli implica que P (Bi in�nitas vezes) = 1. Como (Bi) é uma subseqüência de (Ai), temos que [Bi in�tas vezes] ⊆ [Ai in�nitas vezes]. Portanto, P (Ai in�nitas vezes) = 1. 2.2 Covergência de Variáveis Aleatórias Seguindo uma interpretação freqüentista, probabilidade está relacionada com a freqüência relativa de eventos no longo prazo. A matemática para estudar o longo prazo é a dos limites. Mas quando se trata de funções, existem vários tipos de limites (por exemplo, pontual, uniforme, em quase todo lugar). O mesmo ocorre quando consideramos limites de variáveis aleatórias de�nidas em um mesmo espaço de probabilidade (Ω,A, P ), visto que variáveis aleatórias são funções reais cujo domínio é Ω. Relembrando: Seja (Ω,A) um espaço mensurável. Uma função X : Ω→ R é chamada de variável aleatória se para todo evento Boreliano B, X−1(B) ∈ A. Nós recordamos que um evento Boreliano é qualquer evento pertencente à σ-álgebra de Borel, onde a σ-álgebra de Borel é a menor σ-álgebra contendo intervalos da forma (−∞, x] para todo x ∈ R. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 26 2.2.1 Tipos de Convergência Vamos a seguir descrever vários tipos de convergência estocástica, ilustrando com exemplos cada tipo de convergência, e depois provaremos algumas relações entre os vários tipos de convergência. Sejam Y, Y1, Y2, . . . variáveis aleatórias de�nidas em um mesmo espaço de probabilidade (Ω,A, P ). Convergência Quase Certa De�nição 2.2.1: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge quase certamente (ou com probabilidade 1) para a variável aleatória Y se P ({w : lim n→∞ Yn(w) = Y (w)}) = 1. Notação: Yn → Y cp1. Então se uma seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge quase certamente para Y não signi�ca que para todo w ∈ Ω, Yn(w) → Y (w), apenas o que se sabe é que a probabilidade do evento D = {w : Yn(w) 9 Y (w)} é nula. D é chamado de conjunto de exceção. Exemplo 2.2.2: Considere uma variável aleatória Z tal que P ({w : 0 ≤ |Z(w)| < 1}) = 1. Seja Xn(w) = Z n(w), então Xn(w) → 0 cp1; note que o conjunto de exceção é D = {w ∈ Ω : |Z(w)| ≥ 1} e que P (D) = 0. � Podemos obter uma de�nição alternativa para convergência quase-certa, observando que, pela de�nição de limite de sequências de números reais, para um dado w ∈ Ω �xo, temos que limn Yn(w) = Y (w) se, e somente se, para todo k ∈ IN , existir N tal que para todo n ≥ N , temos |Yn(w)− Y (w)| < 1k . Portanto: {w : lim n Yn(w) = Y (w)} = {w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| < 1 k }. Então, Yn → Y cp1 se, e somente se, P ({w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| < 1 k }) = 1. Isto é equivalente a: P ({w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| ≥ 1 k }) = 0. De�na An,k = {w : |Yn(w)− Y (w)| ≥ 1k}. Então para cadak �xo, temos que lim sup n An,k = ∪∞N=1 ∩∞n=N An,k. Logo, Yn → Y cp1 se, e somente se, para todo k ∈ IN , P (lim sup n An,k) = 0. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 27 Exemplo 2.2.3: Seja {Xn}n≥3 uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com distribuição de probabilidade dada por: P (Xn = 0) = 1− 1 log n e P (Xn = n) = 1 log n , ∀n ≥ 3. Mostre que Xn 9 0 cp1. Solução: Para qualquer � tal que 0 < � < 1, temos que P (|Xn| > �) = P (Xn = n) = 1 log n . Logo, ∑ n P (|Xn| > �) = ∑ n 1 logn = ∞. Então, o Lema de Borel-Cantelli implica que P (|Xn| > � in�nitas vezes) = 1, portanto com probabilidade 1, Xn 9 0. Exemplo 2.2.4: Considere {Xn : n ≥ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. com função de distribuição F. Suponha que F (x) < 1, para todo x < ∞. De�na Yn = max(X1, X2, . . . , Xn). Vamos veri�car que Yn →∞ cp1. Inicialmente, observe que para cada ω ∈ Ω, as variáveis Yn formam uma seqüência não- decrescente de números reais. Seja M um número real, temos P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . .) ≤ P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . . , k) = P (Yk ≤M) = P (max(X1, X2, . . . , Xk) ≤M) = P (X1 ≤M,X2 ≤M, . . .Xk ≤M) = k∏ n=1 P (Xn ≤M) = F k(M),∀k ≥ 1. Fazendo k →∞, temos que para todo M �nito, P (lim n Yn ≤M) = P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . .) = 0; pois F k(M) tende a zero, quando k → ∞. Dessa forma, o conjunto dos w ∈ Ω, em que limn Yn(w) é �nito, tem probabilidade zero e, portanto, Yn →∞ cp1. Convergência na r-ésima Média De�nição 2.2.5: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge na r-ésima Média, onde r > 0, para a variável aleatória Y se lim n→∞ E|Yn − Y |r = 0. Notação: Yn →r Y . Se r = 2 este tipo de convergência é freqüentemente chamado de convergência em média quadrática. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 28 Exemplo 2.2.6: Sejam Z,X1, X2, . . . variáveis aleatórias tais que Xn = n n+ 1 Z, então Xn →2 Z se EZ2 <∞, mas não em caso contrário. � Exemplo 2.2.7: Considere a seqüência de variáveis aleatórias de�nidas no Exemplo 2.2.3. Mostre que Xn 9r 0, para todo r > 0. Solução: Temos que E|Xn|r = nrP (Xn = n) = n r log n →∞. Logo, Xn 9r 0. Pode-se provar que se Xn →r X, então Xn →s X para s < r. Convergência em Probabilidade De�nição 2.2.8: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge em probabilidade para a variável aleatória Y se ∀� > 0 lim n→∞ P ({w : |Yn(w)− Y (w)| > �}) = 0. Notação: Yn →P Y . A intuição por trás desta de�nição é que para n muito grande a probabilidade de que Yn e Y sejam bem próximas é bastante alta. Exemplo 2.2.9: Considere a seqüência de variáveis aleatórias de�nidas no Exemplo 2.2.3. Mostre que Xn →P 0. Solução: Temos que para 0 < � < 1, P (|Xn| > �) = P (Xn = n) e para � ≥ 1, P (|Xn| > �) ≤ P (Xn = n). Como P (Xn = n) = 1logn → 0., temos que ∀� > 0, limP (|Xn| > �) = 0. Portanto, Xn →P 0. Exemplo 2.2.10: Considere X,X1, X2, . . . onde as varáveis aleatórias têm distribuição normal conjunta, todas com média 0 e matriz de covariância parcialmente descrita por COV (X,X) = COV (Xn, Xn) = 1, COV (X,Xn) = 1− 1 n . Seja Yn = Xn−X, como Yn é uma combinação linear de variáveis aleatórias com distribuição normal, ela também possui distribuição normal. Precisamos determinar então sua média e sua variância. Mas EY = E(Xn −X) = EXn − EX = 0 e V arY = EY 2 = E(Xn −X)2 = EX2n − 2EXnX + EX2 = 1− 2(1− 1 n ) + 1 = 2 n . Portanto, Yn ∼ N (0, 2n). Então, P (|Xn −X| > �) = P (|Yn| > �) = 2P (Yn > �) = 2 ∫ ∞ � √ n√ 4pi e− ny2 4 dy = 2 ∫ ∞ � √ n 2 1√ 2pi e− x2 2 dx. Logo, ∀� > 0, limn→∞ P (|Xn −X| > �) = 0, ou seja, Xn →P X. � Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 29 Convergência em Distribuição O último tipo de convergência estocástico que mencionamos não é exatamente uma noção de convergência das variáveis aleatórias propriamente ditas, mas uma noção de convergência de suas respectivas funções de distribuição acumuladas. De�nição 2.2.11: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . ., converge em distribuição para a variável aleatória Y se para todo ponto x de continuidade de FY lim n→∞ FYn(x) = FY (x). Notação: Yn →D Y . Exemplo 2.2.12: Seja {Xn : n ≥ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com distribuição Uniforme em (0, b), b > 0. De�na Yn = max(X1, X2, . . . , Xn) e Y = b. Vamos veri�car que Yn →D Y . Temos FYn(y) = P (max(X1, X2, . . . , Xn) ≤ y) = F nX1(y) = 0 se y < 0, (y b )n se 0 ≤ y < b, 1 se y ≥ b. Fazendo n tender ao in�nito, temos que lim n FYn(y) = { 0 se y < b, 1 se y ≥ b, que corresponde à função de distribuição de Y e, portanto, Yn →D Y . Deve-se �car atento que convergência em distribuição não implica nada em relação aos outros tipos de convergência. Uma seqüência convergindo em distribuição para uma variável aleatória X também converge em distribuição para qualquer outra variável aleatória Y tal que FY = FX . O próximo exemplo serve para ilustrar melhor este fato. Exemplo 2.2.13: Se uma seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . é independente e identicamente distribuída de acordo com F , então para todo n tem-se que FYn = F , logo a seqüência converge em distribuição para qualquer variável aleatória X tal que FX = F . Claro, como a seqüência é independente, os valores de termos sucessivos são independentes e não exibem nenhum comportamento usual de convergência. � O requisito de continuidade, mencionado na de�nição acima, se justi�ca para evitar algumas anomalias. Por exemplo, para n ≥ 1 seja Xn = 1n e X = 0, para todo Ω. Parece aceitável que deveríamos ter convergência de Xn para X, qualquer que fosse o modo de convergência. Observe que Fn(x) = { 0 se x < 1 n , 1 se x ≥ 1 n , e F (x) = { 0 se x < 0, 1 se x ≥ 0. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 30 Portanto, como limn Fn(0) = 0 6= F (0) = 1, não temos limn Fn(x) = F (x) para todo x ∈ IR. Desse modo se houvesse a exigência de convergência em todos os pontos, não teríamos convergência em distribuição. Entretanto, note que para x 6= 0, temos limn Fn(x) = F (x) e, como o ponto 0 não é de continuidade de F , concluímos que Xn →D X. Um exemplo mais complexo de convergência em distribuição pode ser visto na análise do limite de Sn = 1√ n n∑ i=1 (Xi − EXi), onde Xi's são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Neste, o Teo- rema Central do Limite a�rma que se V AR(Xi) = σ 2 <∞, então Sn converge em distribui- ção para qualquer variável aleatória com distribuição N (0, σ2). O próximo teorema estabelece duas condições su�cientes para que uma seqüência de variáveis aleatórias convirja em distribuição. Teorema 2.2.14: Seja X,X1, X2, . . . uma seqüência de variáveis aleatórias: (a) Se X,X1, X2, . . . são variáveis aleatórias discretas com P (Xn = xi) = pn(i) e P (X = xi) = p(i), onde pn(i) → p(i) quando n → ∞ para todo i = 0, 1, 2, 3, . . ., então Xn →D X. (b) Se X,X1, X2, . . . são variáveis aleatórias absolutamente contínuas com densidades da- das respectivamente por f, f1, f2, f3, . . ., onde fn(x) → f(x) quando n → ∞ em quase todo lugar, então Xn →D X. Prova: Fora do escopo deste curso. O próximo exemplo mostra que se uma seqüência de variáveis aleatórias discretas converge em distribuição, não necessariamente sua função probabilidade de massa converge. Exemplo 2.2.15: Sejam X,X1, X2, . . . variáveis aleatórias tais que P (X = 0) = 1 e P (Xn = 1/n) = 1. Então, temos FX(x) = 1 se x ≥ 0, e FX(x) = 0 caso contrário; e FXn(x) = 1 se x ≥ 1/n e FXn(x) = 0 caso contrário. Logo, FXn(x) → FX(x), ∀x 6= 0, ou seja, Xn →D X. Porém, p(0) = 1 6= 0 = limn pn(0). O próximo exemplo mostra que se uma seqüênciade variáveis aleatórias absolutamente contínuas converge em distribuição, não necessariamente sua função densidade de probabi- lidade converge. Exemplo 2.2.16 : Considere uma seqüência de variáveis aleatórias X,X1, X2, . . . com função de distribuição acumuladas dadas respectivamente por F, F1, F2, F3, . . ., onde Fn(x) = 0 , se x ≤ 0 x(1− sen2npix 2npix ) , se 0 < x ≤ 1 1 , se x > 1; Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 31 e F (x) = 0 , se x ≤ 0 x , se 0 < x ≤ 1 1 , se x > 1. Então Fn e F são absolutamente contínuas com densidade dada por fn(x) = { 1− cos 2npix , se 0 ≤ x ≤ 1 0 , caso contrário; e f(x) = { 1 , se 0 < x ≤ 1 0 , caso contrário. É fácil ver que Fn(x)→ F (x),∀x ∈ IR. Contudo, fn(x)9 f(x). 2.2.2 Relação Entre os Tipos de Convergência A primeira relação que iremos provar é que convergência quase certa implica convergência em probabilidade. Teorema 2.2.17: Xn → X cp1 ⇒ Xn →P X. Prova: Para provar que convergência quase certa implica em convergência em probabilidade, considere a seguinte família de eventos An,� = {w : |Xn(w)−X(w)| ≤ �}. Logo, pela interpretação de convergência pontual, C = {w : Xn(w)→ X(w)} = ∩�>0 ∪∞N=1 ∩n≥NAn,�. Se Xn → X cp1, então P (C) = 1. Equivalentemente, pela Lei de De Morgan, D = Cc = ∪�>0D�, onde D� = ∩∞N=1 ∪n≥N Acn,�, e P (∪�>0D�) = 0. Portanto, convergência quase certa implica que ∀� > 0, P (D�) = 0. Seja FN = ∪n≥NBn. Note que FN ↓. Logo, limN FN = ∩∞N=1 ∪n≥N Bn. Portanto, pelo axioma da continuidade monotônica da probabilidade, tem-se que P (∩∞N=1 ∪n≥N Bn) = lim N→∞ P (∪n≥NBn). Então, 0 = P (D�) = lim N→∞ P (∪n≥NAcn,�) ≥ lim N→∞ P (AcN,�) = lim N→∞ P (|XN(w)−X(w)| > �). Portanto, Xn →P X. O próximo teorema prova que convergência na r-ésima média implica convergência em probabilidade. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 32 Teorema 2.2.18: Xn →r X ⇒ Xn →P X. Prova: Primeiro note que |Xn−X|r �r ≥ I{w:|Xn−X|>�}. Logo, tem-se que E( |Xn −X|r �r ) ≥ E(I{w:|Xn−X|>�}), ou seja, E(|Xn −X|r) �r ≥ P ({w : |Xn −X| > �}). Se Xn →r X, tem-se que limn→∞E(|Xn − x|r) = 0. Então, para todo � > 0 lim n→∞ P ({w : |Xn −X| > �}) = 0, ou seja, Xn →P X. O próximo exemplo prova que nem convergência em probabilidade, nem convergência na r-ésima média implicam convergência quase certa. Exemplo 2.2.19: Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0, 1], e considere a seqüência de intervalos de�nida por I2m+i = [ i 2m , i+ 1 2m ], para m = 0, 1, 2, . . . e i = 0, 1, . . . , 2m − 1. Note que tem-se 2m intervalos de comprimento 2−m que cobrem todo o intervalo [0, 1], e o comprimento dos intervalos �ca cada vez menor tendendo a 0. De�namos Yn(w) = { 1 se X(w) ∈ In, 0 se X(w) /∈ In. A seqüência Y1, Y2, . . . converge em probabilidade para 0, pois para 0 < � ≤ 1, P (|Yn| ≥ �) = P (Yn = 1) = P (X ∈ In), e esta probabilidade, que é igual ao comprimento de In, converge para zero quando n→∞. Esta seqüência também converge na r-ésima média para todo r > 0, visto que E(|Yn|r) = P (Yn = 1)→ 0 quando n→∞. Logo, Yn converge na r-ésima média para 0. Porém para todo w ∈ Ω, Yn(w) = 1 para um número in�nito de n's e Yn(w) = 0 para um número in�nito de n's. Portanto, Yn(w) não converge para todo w, o que implica que Yn não converge quase certamente. � O próximo teorema estabelece mais uma relação entre convergência quase certa e con- vergência em probabilidade. Teorema 2.2.20: Xn →P X se, e somente se, toda subseqüência {Xnk} possui uma outra subseqüência {Xnk(i)} tal que Xnk(i) → X cp1 para i→∞. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 33 Prova: Suponha que Xn →P X, então dada qualquer subseqüência {Xnk}, escolha uma outra subseqüência {Xnk(i)} tal que j ≥ k(i) implica que P (|Xnj − X| ≥ i−1) < 2−i. Em particular, temos que P (|Xnk(i) − X| ≥ i−1) < 2−i. Seja Ai = {|Xnk(i) − X| ≥ i−1}, então ∑∞ i=1 P (Ai) < ∑∞ i=1 2 −i = 1 < ∞. Logo, pelo Lema de Borel-Cantelli, temos que P (Ai in�nitas vezes) = 0, ou seja, P (Ai �nitas vezes) = 1. Portanto, |Xnk(i) − X| < i−1 exceto para um número �nito de i's com probabilidade 1. Portanto, Xnk(i) → X cp1. Se Xn não converge para X em probabilidade, existe um � > 0 e uma subseqüência {Xnk} tal que P (|Xnk−X| > �) > �. Logo nenhuma subseqüência de {Xnk} pode convergir para X em probabilidade, logo pelo Teorema 2.2.17, nenhuma subseqüência converge para X quase certamente. O próximo exemplo mostra que convergência em probabilidade não implica convergência na r-ésima média Exemplo 2.2.21: Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0, 1]. Considere a seguinte seqüência de varáveis aleatórias Yn(w) = { 2n se X(w) ∈ (0, 1 n ), 0 se X(w) /∈ (0, 1 n ). Então, P (|Yn| > �) = P (X(w) ∈ (0, 1n)) = 1n → 0, mas E(|Yn|r) = 2nr 1n →∞. O próximo teorema trata da relação entre convergência em distribuição e convergência em probabilidade. Teorema 2.2.22: As seguintes relações entre os tipos de convergência são válidas: (a) Xn →P X ⇒ Xn →D X (b) Se Xn →D c, onde c é uma constante, então Xn →P c. Prova: Para parte (a), suponha que Xn →P X e seja x um ponto de continuidade de FX . Queremos provar que FXn(x)→ FX(x) quando n→∞. Como para � > 0, Xn ≤ x⇒ X ≤ x+ � ou |X −Xn| > �, temos {w : Xn(w) ≤ x} ⊆ {w : X(w) ≤ x+ �} ∪ {w : |Xn(w)−X(w)| > �}. Logo, FXn(x) = P (Xn ≤ x) ≤ FX(x+ �) + P (|Xn −X| > �). Por outro lado, X ≤ x− �⇒ Xn ≤ x ou |Xn −X| > � de modo que FX(x− �) ≤ FXn(x) + P (|Xn −X| > �). Juntando as duas desigualdades, temos que ∀� > 0, and ∀n, FX(x− �)− P (|Xn −X| > �) ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + P (|Xn −X| > �). Como Xn →P X, para qualquer δ > 0, existe N tal que para n ≥ N , temos que FX(x− �)− δ ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + δ. Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 34 Finalmente, como x é ponto de continuidade de FX , para � su�cientemente pequeno, temos que FX(x)− 2δ ≤ FX(x− �)− δ ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + δ ≤ FX(x) + 2δ. Ou seja, limn→∞ FXn(x) = FX(x). Para parte (b), suponha que Xn →D c. Note que a função de distribuição de uma variável aleatória constante c é: Fc(x) = { 1 se x ≥ c, 0 se x < c. Pela convergência em distribuição, tem-se que limn→∞ FXn(x) = 0, se x < c e limn→∞ FXn(x) = 1, se x > c. Logo, para � > 0, P (|Xn − c| ≤ �) = P (c− � ≤ Xn ≤ c+ �) ≥ P (c− � < Xn ≤ c+ �) = FXn(c+ �)− FXn(c− �)→ 1 quando n→∞. Ou seja, ∀� > 0, limn→∞ P (|Xn − c| > �) = 0. Figura 2.1: Relação entre os tipos de convergência. A Figura 2.1 resume a relação entre os tipos de convergência. Exemplo 2.2.23: Para n ≥ 1, Xn ∼ U(0, 1) são variáveis aleatórias i.i.d. De�na Yn = min(X1, X2, . . . , Xn) e Un = nYn. Mostre que (a) Yn →P 0, (b) Un →D U , sendo U ∼ Exp(1). Autor: Leandro Chaves Rêgo 2.3. CONVERGÊNCIA DE VETORES ALEATÓRIOS 35 Solução: Para parte (a), note que P (|Yn| > �) = P (Yn > �) = P (X1 > �,X2 > �, . . . , Xn > �). Como os Xn são independentes temos que a última expressão é igual a (P (X1 > �)) n = (1− �)n. Como (1− �)n → 0 quando n→∞, temos que Yn →P 0. Para parte (b), note que FUn(x) = P (Un ≤ x) = 1− P (Un > x) = 1− P (nYn > x) = 1− P (Yn > x/n) De acordo com a parte (a), esta expressão é igual a 1− (1−x/n)n, que por sua vez converge para 1− e−x quando n→∞, que é igual a FU(x). 2.3 Convergência de Vetores Aleatórios Para o caso vetorial as de�nições de convergência sofrem algumas adaptações. Para as convergências quase certa e em probabilidade, precisamos avaliar a proximidade entre os vetores aleatórios Xn e X pelo comportamento da norma da diferença entre eles. Em geral, essa norma é calculada por ||Xn − X|| = ( ∑k j=1(Xnj − Xj)2)1/2, onde k é a dimensão dos vetores e Xnj a coordenada j do
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