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Notas de Aula - ProbABILIDADE 4 - Leandro Rêgo - UFPE

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Notas de Aula do Curso
ET584: Probabilidade 4
Leandro Chaves Rêgo, Ph.D.
2015.1
Prefácio
Estas notas de aula foram feitas para compilar o conteúdo de várias referências bibliográ�cas
tendo em vista o conteúdo programático da disciplina ET584-Probabilidade 4 do curso de
graduação em Estatística da Universidade Federal de Pernambuco. Em particular, elas não
contém nenhum material original e não substituem a consulta a livros textos. Seu principal
objetivo é dispensar a necessidade dos alunos terem que copiar as aulas e, deste modo,
poderem se concentrar em entender o conteúdo das mesmas.
Recife, março de 2015.
Leandro Chaves Rêgo, Ph.D.
i
Conteúdo
Prefácio i
1 Revisão de Sequências de Números Reais e Séries Numéricas 1
1.1 Sequências de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Valores de aderência, lim inf, lim sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Séries de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Critérios de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Ordens de Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Convergência Estocástica 21
2.1 Seqüência de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Borel-Canteli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Covergência de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Relação Entre os Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Convergência de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Funções Características 36
3.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Exemplos de Funções Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Teorema da Continuidade de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Soma de um Número Aleatório de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Função Característica de um Vetor Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Funções Geratrizes de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Teorema de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ii
4 Lei dos Grandes Números 54
4.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Lei Fraca dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Lei Forte dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Um Exemplo de Divergência das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Teorema Central do Limite 66
5.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Teoremas e provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Teorema Central do Limite: Caso Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Método Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Referências Bibliográ�cas 77
iii
Capítulo 1
Revisão de Sequências de Números Reais
e Séries Numéricas
1.1 Sequências de Números Reais
Intuitivamente, uma sequência de números reais x1, x2, x3, . . . é uma sequência de pontos da
reta e o seu limite é um ponto do qual os pontos xn tornam-se e permanecem arbitrariamente
próximos, desde que se tome o índice n su�cientemente grande.
Exemplo 1.1.1: Seja xn = 1 +
1
n
, para n = 1, 2, 3, . . .. Note que a medida que n cresce
todos os pontos desta sequência se tornam arbitrariamente próximos de 1, que como veremos
adiante é o limite desta sequência.
Formalmente,
De�nição 1.1.2: Uma sequência de números reais é uma função x : IN → IR, de�nida
no conjunto IN = {1, 2, 3, . . .} dos números naturais e tomando valores no conjunto IR dos
números reais. O valor x(n), para todo n ∈ IN , será representado por xn e chamado de
n-ésimo termo da sequência.
Escreveremos (x1, x2, . . . , xn, . . .), ou (xn) para indicar a sequência x.
Não se deve confundir a sequência x com o conjunto x(IN) dos seus termos. Para este
conjunto usaremos a notação x(IN) = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. A função x não é necessariamente
injetiva: pode-se ter xm = xn com m 6= n, ou seja, podem haver termos diferentes que
assumem o mesmo valor, ou em outras palavras, podem haver termos repetidos em uma
sequência.
Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado,
isto é, quando existem números reais a, b tais que a ≤ xn ≤ b para todo n ∈ IN . Quando
uma sequência não é limitada, diz-se que ela é ilimitada.
Uma sequência (xn) é limitada superiormente quando existe um número real b tal que
xn ≤ b para todo n ∈ IN . Analogamente, (xn) é limitada inferiormente quando existe a real
tal que a ≤ xn para todo n ∈ IN . É fácil ver que uma sequência é limitada se, e somente se,
ela for limitada inferiormente e superiormente. Por outro lado, existem algumas sequências
1
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 2
ilimitadas que são limitadas inferiormente ou superiormente. O próximo exemplo, ilustra
melhor a questão.
Exemplo 1.1.3: A sequência xn = 1 +
1
n
é limitada, pois por exemplo, temos que 0 ≤
xn ≤ 3 para todo n ∈ IN . Por outro lado, a sequência xn = n2 é ilimitada, mas limitada
inferiormente pois xn ≥ 0 para todo n. Finalmente, a sequência xn = (−2)n é ilimitada, não
é limitada inferiormente nem superiormente.
Dada uma sequência (xn) de números reais, uma subsequência de (xn) é um sequência
(portanto, deve conter in�nitos termos) cujos termos são termos da sequência (xn) e a ordem
em que estes termos aparecem na subsequência deve ser a mesma em que eles aparecem na
sequência original (xn).
Exemplo 1.1.4: Seja a sequência x = (−2, 4,−8, 16,−32, 64,−128, . . .), uma subsequência
de x é y = (4, 16, 64, 256, . . .). Por outro lado, z = (4, 16) não é uma subsequência de
x, pois não é uma sequência já que possui apenas 2 termos. Também temos que w =
(4,−2, 16,−8, 64,−32, . . .) não é uma subsequência de x já que os termos em w não aparecem
na mesma ordem em que aparecem em x, ou seja, por exemplo, em x o termo -2 precede o
termo 4, mas o mesmo não é verdade em w.
Formalmente, dada uma sequência x, uma subsequência de x é a restrição da função x a
um subconjunto in�nito IN ′ = {n1 < n2 < . . . < ni < . . .} de IN . Escreve-se x′ = (xn)n∈IN ′ ,
ou (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) ou (xni)i∈IN para indicar a subsequência x
′
.
Uma sequência chama-se crescente (resp., decrescente) quando x1 < x2 < x3 < . . . (resp.,
x1 > x2 > x3 > . . .). Se vale xn ≤ xn+1 (resp., xn ≥ xn+1) para todo n, a sequência
diz-se não-decrescente (resp., não-crescente). As sequências crescentes, não-decrescentes,
decrescentes e não-crescentes são chamadas sequências monótonas.
Exemplo 1.1.5: xn = 0, para todo n ∈ IN . Ela é limitada, não-crescente e não-decrescente.
Neste caso, temos que x(IN) = {0}.
Exemplo 1.1.6: xn = 1 para todo n ímpar; e xn = −1 para todo n par. Ela é limitada,
porém não é monótona, e temos x(IN) = {−1, 1}.
Exemplo 1.1.7: xn = 1/n para todo n ∈ IN . Ela é monótonadecrescente e limitada.
1.1.1 Limite de uma sequência
Intuitivamente, dizer que o número real a é limite da sequência (xn) signi�ca a�rmar que,
para valores muito grandes de n, os termos xn tornam-se e se mantém tão próximos de a
quanto se deseje. Com um pouco mais de precisão: estipulando-se um �erro� por meio de
um número real � > 0, existe um índice n0 (que depende de �, em geral, quanto menor o
�erro� � maior terá que ser o n0) tal que todos os termos xn que têm índice n maior que n0
são valores aproximados de a com erro inferior a �. Formalmente,
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 3
De�nição 1.1.8: O número real a é limite da sequência (xn) de números reais, e escreve-se
a = limn xn, quando para todo número real � > 0, existe um número natural n0 tal que
|xn − a| < � (o que é equivalente a xn ∈ (a− �, a+ �)), sempre que n > n0.
Como a de�nição implica que para qualquer � > 0 arbitrário, a distância entre xn e a se
torna menor que � para n su�cientemente grande, podemos escrever de forma equivalente a
de�nição da seguinte maneira: o número real a é limite da sequência (xn) de números reais,
quando para alguma constante K real positiva, temos que para todo número real � > 0,
existe um número natural n0 tal que |xn − a| < K�, sempre que n > n0. A equivalência se
dá pelo fato que K� também é um número positivo e pode se tornar tão pequeno quanto se
deseje apenas fazendo � ser um número pequeno também.
Observe que se limn xn = a, então qualquer intervalo (a − �, a + �), de centro a e raio
� > 0, contém todos os termos xn da sequência, com exceção de no máximo um número �nito
de índices n (os termos de x1 até xn0). Reciprocamente, se qualquer intervalo de centro a
contém todos os xn, salvo talvez um número �nito de índices n, então limxn = a.
Quando limn xn = a, diz-se que a sequência (xn) converge para a, ou tende para a e
escreve-se xn → a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário,
ela se chama divergente. Dentre as sequências divergentes destacamos duas que possuem
limites in�nitos:
De�nição 1.1.9: Uma sequência (xn) de números reais tem limite∞ (resp., −∞), e escreve-
se limn xn = ∞ (resp., limn xn = −∞), quando para todo número real M > 0, existe um
número natural n0 tal que xn > M (resp., xn < −M), sempre que n > n0.
Exemplo 1.1.10: A sequência xn = 1/n para todo n converge para 0. Pois, dado qualquer
� > 0 existe n0 > 1/�, então para todo n > n0, temos 1/n < 1/n0 < �, ou seja, n > n0 ⇒
|xn − 0| < �.
Exemplo 1.1.11: Vamos provar que limn
n2+1
3n+10
=∞. Para isto notamos que n2+1
3n+10
> n
2
3n+10
,
e que para n ≥ 10, vale a desigualdade
n2
3n+ 10
≥ n
2
3n+ n
=
n2
4n
=
n
4
.
Por sua vez, n/4 > M se n > 4M . Portanto, tomando n0 = max{10, 4M}, teremos
n > n0 ⇒ n
2 + 1
3n+ 10
> M.
Exemplo 1.1.12: A sequência xn =
1
n
+(−1)n é divergente. Note que dado qualquer � > 0,
para n > 1
�
e par, temos que |xn − 1| < �. Por outro lado, para n > 1� e ímpar, temos que|xn + 1| < �. Logo, a sequência �ca oscilando entre vizinhanças dos números -1 e 1, para n
grande.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 4
Exemplo 1.1.13: A sequência x2n = 1 e x2n−1 =
(n+1)
n
, n = 1, 2, 3, . . . converge para 1.
Pois, dado qualquer � > 0, existe n0 > 1/�, então para todo n > n0 e ímpar, temos
|n+ 1
n
− 1| = | 1
n
| < �.
Por outro lado, para todo n > n0 e par, temos |xn − 1| = 0 < �. Portanto, xn → 1.
Para facilitar o cálculo do limite de sequências, vamos recordar a noção de limite de
funções reais. Intuitivamente, temos que dada uma função real f(x) dizemos que o limite
quando x tende a um número a é igual a L, se quando x se aproxima de a o valor de
f(x) se aproxima de L. Mais formalmente, temos que limx→a f(x) = L se para todo �erro�
� > 0 existe um δ > 0 (que depende de �) tal que para todo x ∈ (a − δ, a + δ) que é
diferente de a, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �). Por outro lado, quando queremos calcular
o limite assintótico de uma dada função, estamos interessados em saber se quando x cresce
arbitrariamente a função f(x) tende a algum valor, deste modo dizemos que o limite quando
x tende a in�nito é igual a L, se para x grande o su�ciente f(x) se torna tão próximo de L
quanto se queira. Mais formalmente, temos que limx→∞ f(x) = L se para todo �erro� � > 0
existe um número natural n0 > 0 (que depende de �) tal que para todo número real x > n0,
temos que f(x) ∈ (L− �, L+ �).
Suponha que dada uma função real f(x), uma sequência seja de�nida por xn = f(n) para
todo n ∈ IN . Então, se limx→∞ f(x) = L, temos que para todo � > 0, existe um número
natural n0 > 0 tal que para todo número real x > n0, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �).
Como todo número natural é um número real, temos que para todo natural n > n0, xn =
f(n) ∈ (L − �, L + �). Logo, limxn = L. Assim, toda vez que uma sequência (xn) for
uma restrição, para x natural, de uma função f(x) de�nida para x real, ou x > 0, temos
que se limx→∞ f(x) = L, podemos concluir que xn → L. Deste modo, podemos utilizar
nosso conhecimento sobre limites de funções reais para calcularmos o limite de sequências.
Em particular, podemos utilizar a regra de L'Hopital que diz que se limx→a f(x) = 0 e
limx→a g(x) = 0, ou, se limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) =∞, então
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Exemplo 1.1.14: Seja xn = n(1−e−a/n). Vamos calcular o limite da função real x(1−e−a/x)
quando x→∞. Podemos reescrever esta função da seguinte maneira:
(1− e−a/x)
1/x
.
Note que tanto o numerador quanto o denominador convergem para zero quando x → ∞.
Utilizando a regra de L'Hopital, temos:
lim
x→∞
(1− e−a/x)
1/x
= lim
x→∞
(−ax−2e−a/x)
−x−2 = limx→∞ ae
−a/x = a.
Portanto, o limite de xn é igual a a.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 5
É importante ressaltar que mesmo que a sequência seja de�nida a partir da restrição de
uma função real, o fato da sequência convergir para um certo limite L não implica que a
função real tenderá a L quando x→∞. Por exemplo, considere a função real f(x) tal que
f(x) = 0 para x /∈ IN e f(x) = 1 para x ∈ IN , temos que xn = f(n) = 1 para todo n ∈ IN .
Logo, xn → 1, porém limx→∞ f(x) 6= 1.
A seguir provaremos alguns resultados sobre limites.
Teorema 1.1.15: (Unicidade do limite). Se limn xn = a e limn xn = b, então a = b.
Prova: Seja limn xn = a. Dado qualquer número real b 6= a, mostraremos que não se tem
limn xn = b. Para isso, tomemos � =
|b−a|
2
. Com essa escolha de �, temos que os intervalos
(a− �, a + �) e (b− �, b + �) são disjuntos. Ora, como limn xn = a, existe n0 tal que n > n0
implica que xn ∈ (a − �, a + �), e, portanto, xn /∈ (b − �, b + �) para todo n > n0. Logo,
limn xn 6= b.
Teorema 1.1.16: Se limn xn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite
a.
Prova: Seja (xni) uma subsequência de (xn). Dado � > 0, existe n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒
|xn− a| < �. Como os índices da subsequência formam um subconjunto in�nito, existe entre
eles um ni0 > n0. Então, ni > ni0 ⇒ ni > n0, o que por sua vez implica que |xni − a| < �.
Logo limi xni = a.
Observação 1.1.17: Há duas aplicações dos Teoremas 1.1.15 e 1.1.16. Uma delas é para
mostrar que uma certa sequência não converge: basta obter duas subsequências de (xn) com
limites distintos. A outra é para determinar o limite de uma sequência (xn) que, a priori,
se sabe que converge: basta determinar o limite de alguma subsequência. Ele será o limite
procurado.
Exemplo 1.1.18: A sequência (1, 0, 1, 0, 1, . . .) não é convergente pois admite duas sub-
sequências constantes que convergem para limites diferentes.
Teorema 1.1.19: Toda sequência convergente é limitada.
Prova: Seja a = limn xn. Então, tomando � = 1, vemos que existe n0 ∈ IN tal que
n > n0 ⇒ xn ∈ (a−1, a+1). Consideremos o conjunto �nito F = {x1, x2,. . . , xn0 , a−1, a+1}.
Seja c o menor e d o maior elemento de F . Então, para n ≤ n0, é óbvio que c ≤ xn ≤ d e
para n > n0, temos que c ≤ a− 1 < xn < a+1 ≤ d. Então, todos os termos xn da sequência
estão contidos no intervalo [c, d]; logo a sequência é limitada.
Dado um conjunto de números reais A, de�ne-se como uma cota superior (resp. inferior)
para A como sendo qualquer número real c tal que c ≥ x (resp. c ≤ x) para todo x ∈ A.
Por exemplo, se A = (−1, 1], então qualquer número maior ou igual a 1 é uma cota superior
para A e qualquer número menor ou igual a -1 é uma cota inferior para A. De�ne-se como o
supremo (resp. ín�mo) de um conjunto A a menor (resp. maior) cota superior (resp. inferior)
de A. No exemplo anterior, temos que supA = 1 e infA = −1. Note que o supremo e/ou o
ín�mo de um conjunto, ao contrário de seu máximo e mínimo, não precisam ser elementos
do conjunto. No exemplo, note que infA /∈ A.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 6
Teorema 1.1.20: Toda sequência monótona limitada é convergente.
Prova: Para �xar as idéias, seja (x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . .) uma sequência não-decrescente
limitada. Tomemos a = sup{xn : n = 1, 2, . . .}. A�rmamos que a = limn xn. Com efeito,
dado qualquer � > 0, como a − � < a, o número a − � não é cota superior do conjunto dos
xn. Logo, existe algum n0 ∈ IN tal que a − � < xn0 . Como a sequência é não-decrescente,
n > n0 ⇒ xn0 ≤ xn e, portanto, a − � < xn. Como xn ≤ a para todo n (pela de�nição de
supremo), vemos que n > n0 ⇒ a− � < xn < a+ �, ou seja, limn xn = a.
1.1.2 Propriedades Aritméticas dos Limites
Estudaremos agora como se comportam os limites de sequências relativamente às operações
aritméticas e às desigualdades.
Teorema 1.1.21: Se limn xn = 0 e (yn) é uma sequência limitada, então limn xn · yn = 0
(mesmo que não exista limn yn).
Prova: Existe c > 0 tal que |yn| < c para todo n ∈ IN . Dado � > 0, como limn xn = 0,
podemos encontrar n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ |xn| < �c . Logo, n > n0 ⇒ |xn · yn| =|xn| · |yn| < �c · c = �. Isto mostra que xn · yn → 0.
Exemplo 1.1.22: Qualquer que seja x ∈ IR, temos limn sen(nx)n = 0. Com efeito, sen(nx)n =
sen(nx) · 1
n
, com |sen(nx)| ≤ 1 e 1
n
→ 0.
Teorema 1.1.23: Se limn xn = a e limn yn = b, então
1. limn(xn + yn) = a+ b; limn(xn − yn) = a− b;
2. limn(xn · yn) = a · b;
3. limn(xn/yn) = a/b se b 6= 0 e yn 6= 0, ∀n.
Prova: Para parte 1, dado � > 0 existem n1 e n2 em IN tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < �2 e
n > n2 ⇒ |yn − b| < �2 . Seja n0 = max{n1, n2}. Então, n > n0 ⇒ n > n1 e n > n2. Logo
n > n0 implica:
|(xn + yn)− (a+ b)| = |(xn − a) + (yn − b)|
≤ |xn − a|+ |yn − b| < �
2
+
�
2
= �.
Isto prova que limn(xn + yn) = a+ b. O caso da diferença xn − yn se trata do mesmo modo.
Para parte 2, temos xnyn−ab = xnyn−xnb+xnb−ab = xn(yn−b)+(xn−a)b. Ora, (xn) pelo
Teorema 1.1.19 é uma sequência limitada e pela parte 1, temos que limn(yn − b) = 0. Logo,
pelo Teorema 1.1.21, limn[xn(yn−b)] = 0. Por motivo semelhante, limn[(xn−a)b] = 0. Assim,
pela parte 1, já demonstrada, temos limn(xnyn−ab) = limn[xn(yn−b)]+ limn[(xn−a)b] = 0,
donde limn xnyn = ab.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 7
Para parte 3, notemos que, como pela parte 2, ynb → b2, existe n0 tal que n > n0 ⇒
ynb >
b2
2
(basta tomar � = b
2
2
). Segue-se que, para todo n > n0,
1
ynb
é um número positivo
inferior a
2
b2
. Logo, a sequência ( 1
ynb
) é limitada. Como temos que,
xn
yn
− a
b
=
bxn − ayn
ynb
= (bxn − ayn) 1
ynb
.
Como pelas partes 1 e 2, limn(bxn − ayn) = ab − ab = 0, segue-se do Teorema 1.1.21 que
limn(
xn
yn
− a
b
) = 0 e, portanto, limn
xn
yn
= a
b
.
Observação 1.1.24: É claro que resultados análogos aos ítens 1 e 2, do Teorema 1.1.23
valem para qualquer número �nito de sequências. Por exemplo, se limn xn = a, limn yn = b, e
limn zn = c, então limn(xn+yn+zn) = a+b+c e limn(xnynzn) = abc. Contudo, deve-se tomar
cuidado de não tentar aplicar o teorema para certas somas (ou produtos) em que o número
de parcelas é variável e cresce acima de qualquer limite. Por exemplo, seja sn =
1
n
+ . . .+ 1
n
(n parcelas). Então, sn = 1 e, portanto, limn sn = 1. Por outro lado, cada parcela
1
n
tem
limite zero. Uma aplicação descuidada do Teorema 1.1.23 levaria ao absurdo de concluir que
lim
n
sn = lim
n
1/n+ . . .+ lim
n
1/n = 0 + . . .+ 0 = 0.
Teorema 1.1.25: Sejam xn ≤ yn para todo n ∈ IN , limn xn = a, e limn yn = b, então a ≤ b.
Prova: Suponha por contradição que a > b. Seja � = a−b
2
. Então, por hipótese existem
n1 e n2 tais que n > n1 ⇒ xn ∈ (a − �, a + �) e n > n2 ⇒ yn ∈ (b − �, b + �). Pondo
n0 = max{n1, n2}, vemos que n > n0 implica yn < b+ � = a+b2 = a− � < xn, absurdo.
Observação 1.1.26: O resultado análogo ao do Teorema 1.1.25 para desigualdades estritas
não é válido. Ou seja, não é verdade que se xn < yn para todo n ∈ IN , limn xn = a, e
limn yn = b, então a < b. Por exemplo, seja xn = 0 e yn = 1/n para todo n ∈ IN . Temos que
limn xn = limn yn = 0.
Teorema 1.1.27: Sejam xn ≤ zn ≤ yn para todo n ∈ IN . Se limn xn = limn yn = a, então
limn zn = a.
Prova: Dado � > 0, existem n1 e n2 tais que n > n1 ⇒ xn ∈ (a− �, a+ �) e n > n2 ⇒ yn ∈
(a−�, a+�). Pondo n0 = max{n1, n2}, vemos que n > n0 implica a−� < xn ≤ zn ≤ yn < a+�.
Portanto, limn zn = a.
Vamos a seguir provar que limites são preservados a aplicações de funções contínuas.
Recorde que uma função f : IR→ IR é contínua em a ∈ IR se para todo � > 0, existe δ > 0,
tal que |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < �.
Teorema 1.1.28: Se limn xn = a e g : IR → IR é uma função contínua em a, então
limn g(xn) = g(a).
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 8
Prova: Escolha � > 0, arbitrário. Como g é contínua em a, existe δ > 0 tal que |x −
a| < δ ⇒ |g(x) − g(a)| < �. Por outro lado, como xn → a, temos que existe n0 tal que
n > n0 ⇒ |xn − a| < δ. Portanto, para n > n0, temos que |g(xn) − g(a)| < �. Ou seja,
limn g(xn) = g(a).
1.1.3 Valores de aderência, lim inf, lim sup
De�nição 1.1.29: Um número real a chama-se valor de aderência de uma sequência (xn)
quando a é limite de alguma subsequência de (xn).
Exemplo 1.1.30: Se limn xn = a, então a é o único valor de aderência de (xn). A sequência
(0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .) tem 0 como seu único valor de aderência, embora não seja convergente.
A sequência (0, 1, 0, 1, 0, . . .) tem como valores de aderência 0 e 1. Seja xn = n, a sequência
(xn) não possui valores de aderência.
O próximo teorema mostra que um número real a é valor de aderência de uma sequência
(xn) se, e somente se, toda vizinhança de a contem in�nitos termos de (xn).
Teorema 1.1.31: a é valor de aderência de (xn) se, e somente se, para todo � > 0 e todo
n0 ∈ IN existir n ∈ IN tal que n > n0 e xn ∈ (a− �, a+ �).
Prova: Suponha que a é um valor de aderência de (xn). Então, existe uma subsequência (xni)
tal que limi xni = a, ou seja, para todo � > 0, existe ni0 , tal que i > i0 ⇒ xni ∈ (a− �, a+ �).
Então, dado qualquer n0, como (xni) contém in�nitos termos de (xn), existe ni > n0 tal que
i > i0 e, consequentemente, xni ∈ (a− �, a+ �).
Reciprocamente, suponha que para todo � > 0 e todo n0 ∈ IN exista n ∈ IN tal que
n > n0 e xn ∈ (a − �, a + �). Vamos construir uma subsequência (xni) tal que limi xni = a,
mais especi�camente, vamos construir uma subsequência tal que xni ∈ (a − 1/i, a + 1/i).
Por suposição, existe n1 tal que xn1 ∈ (a − 1, a + 1), vamos de�nir os demais termos da
subsequência por indução. Suponha que exista ni > ni−1 tal que xni ∈ (a − 1/i, a + 1/i),
queremos provar que existe ni+1 > ni tal que xni+1 ∈ (a− 1i+1 , a+ 1i+1). Por suposição, para
� = 1
i+1
e n0 = ni, existe um n > n0 tal que xn ∈ (a − 1i+1 , a + 1i+1). Chamemos este n de
ni+1, e construímos a desejada subsequência. Então, temos que a é limite desta subsequência
(xni)e, portanto, valor de aderência de (xn).
Seja (xn) uma sequência limitada de números reais. Mostraremos que o conjunto de
valores de aderência de (xn) não é vazio, que entre eles existe um que é o menor de todos e
outro que é o maior, e que a sequência converge se, e somente se, possui apenas um valor de
aderência. Suponha que α ≤ xn ≤ β para todo n ∈ IN . Escrevamos Xn = {xn, xn+1, . . .}.
Temos [α, β] ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . . Logo, de�nindo an = infXn e bn = supXn, temos
α ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1 ≤ β
Como toda sequência monotônica e limitada é convergente, temos que an → a e bn → b.
Escreve-se a = lim inf xn e b = lim supxn e diz-se que a é o limite inferior e que b é o limite
superior da sequência (xn). Como an ≤ bn, tem-se lim inf xn ≤ lim sup xn.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 9
Exemplo 1.1.32 : Sejam x2n−1 = − 1n e x2n = 1 + 1n . Veri�ca-se sem di�culdade que
infX2n−2 = infX2n−1 = − 1n e supX2n−1 = supX2n = 1 + 1n . Logo, lim inf xn = 0 e
lim sup xn = 1 e estes são os dois únicos valores de aderência da sequência (xn).
Teorema 1.1.33: Seja (xn) uma sequência limitada. Então, lim inf xn é o menor valor de
aderência e lim sup xn é o maior valor de aderência de (xn).
Prova: Provaremos inicialmente que a = lim inf xn é valor de aderência de (xn). Para isto,
usaremos o Teorema 1.1.31, e mostraremos que dados � > 0 e n0 ∈ IN arbitrários, existe
n ∈ IN tal que n > n0 e xn ∈ (a − �, a + �). Como a = limn an, existe n1 > n0 tal que
a − � < an1 < a + �. Como an1 = infXn1 , segue-se da última igualdade que a + � (sendo
maior que an1) não é cota inferior de Xn1 . Logo, existe n ≥ n1 tal que an1 ≤ xn < a+ �. Isto
nos dá n > n0 com a− � < xn < a+ �. Mostremos agora que nenhum número c < a pode ser
valor de aderência de (xn). Ora, como a = limn an, segue-se de c < a que existe n0 ∈ IN tal
que c < an0 ≤ a. Como an0 = infXn0 , concluímos que n ≥ n0 ⇒ c < an0 ≤ xn. Tomando
� = an0 − c, vemos que c+ � = an0 , logo o intervalo (c− �, c+ �) não contém termo xn algum
com n ≥ n0. Isto exclui a possibilidade de c ser valor de aderência de (xn). A demonstração
para lim sup se faz de modo semelhante.
Corolário 1.1.34: Uma sequência limitada de números reais (xn) é convergente se, e so-
mente se, lim inf xn = lim supn xn, isto é, se, e somente se, possui um único valor de ade-
rência.
Prova: Se (xn) convergir para a, então vimos que a é o único valor de aderência. Portanto,
lim inf xn = lim supn xn = a. Se lim inf xn = lim supn xn = a, então suponha que xn não
convirja para a. Logo, existe � > 0, tal que para todo n0 ∈ N existe n > n0 tal que
xn /∈ (a − �, a + �). Então existe uma subsequência de (xn) cujos termos não estão no
intervalo (a − �, a + �). Pelo Teorema 1.1.33, esta subsequência possui valores de aderência
que são valores de aderência de (xn) e estão fora do intervalo (a− �, a+ �), uma contradição.
1.1.4 Sequências de Cauchy
Provamos anteriormente que toda sequência monótona limitada é convergente. Isto nos
permite concluir que uma sequência possui limite mesmo sem conhecermos o valor deste
limite. Veremos agora o critério de Cauchy, que nos dá uma condição necessária e su�ciente
para a convergência de números reais.
De�nição 1.1.35: Uma sequência (xn) de números reais é uma sequência de Cauchy quando
dado qualquer � > 0, existe um n0 ∈ IN tal que n > n0 e m > n0 implica |xm − xn| < �.
A �m de que (xn) seja uma sequência de Cauchy, exige-se que seus termos xm, xn, para
valores su�cientemente grandes de índices n e m, se aproximem e permaneçam arbitraria-
mente próximos uns dos outros. Compare com a de�nição de limite, onde se exige que os
termos xn se aproximem e permaneçam arbitrariamente próximos de um número real a dado
a priori. Aqui se impõe uma condição apenas sobre os termos da própria sequência.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 10
Teorema 1.1.36: Toda sequência convergente é de Cauchy.
Prova: Seja limnxn = a. Então, dado � > 0 existe n0 tal que n > n0 ⇒ |xn − a| < �/2 e
m > n0 ⇒ |xm−a| < �/2. Logo, m,n > n0 ⇒ |xm−xn| ≤ |xm−a|+ |xn−a| < �/2+�/2 = �,
ou seja (xn) é uma sequência de Cauchy.
Intuitivamente: se limn xn = a então, para valores grades de n, os termos xn se aproximam
de a, e portanto necessariamente aproximam-se uns dos outros.
Teorema 1.1.37: Toda sequência de Cauchy de números reais é convergente.
Prova: Iremos provar este teorema utilizando dois Lemas.
Lema 1.1.38: Toda sequência de Cauchy é limitada.
Prova: Seja (xn) uma sequência de Cauchy. Tomando � = 1, obtemos n0 ∈ IN tal que
m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < 1. Em particular para m = n0 + 1, n > n0 ⇒ |xn0+1 − xn| < 1,
ou seja, n > n0 ⇒ xn ∈ (xn0+1 − 1, xn0+1 + 1). Sejam α o menor e β o maior elemento do
conjunto X = {x1, x2, . . . , xn0 , xn0+1 − 1, xn0+1 + 1}. Então, xn ∈ [α, β] para todo n ∈ IN ,
logo (xn) é limitada.
Lema 1.1.39: Se uma sequência de Cauchy (xn) possui um valor de aderência a ∈ IR, então
limn xn = a.
Prova: Dado � > 0, como (xn) é uma sequência de Cauchy, existe n0 ∈ IN tal que m,n >
n0 ⇒ |xm − xn| < �2 . Como a é valor de aderência de (xn), existe também n1 > n0 tal que|xn1 − a| < �/2. Portanto, n > n0 ⇒ |xn − a| ≤ |xn − xn1 | + |xn1 − a| < �. Isto mostra que
limn xn = a.
Então, seja (xn) uma sequência de Cauchy. Pelo Lema 1.1.38, ela é limitada. Logo, pelo
Teorema 1.1.33, possui um valor de aderência e segue do Lema 1.1.39 que (xn) converge.
1.2 Séries de Números Reais
Nesta seção, estenderemos a operação de adição de modo a atribuir signi�cado a uma igual-
dade do tipo
1
2
+ 1
4
+ . . . + 1
2n
+ . . . = 1, na qual o primeiro termo é uma �soma� com uma
in�nidade de parcelas. É claro que não tem sentido somar uma sequência in�nita de números
reais. O que o primeiro membro da igualdade acima exprime é o limite limn(
1
2
+ 1
4
+ . . .+ 1
2n
).
A a�rmação contida naquela igualdade signi�ca que para todo � > 0 existe n0 tal que, para
todo n > n0, a soma
1
2
+ 1
4
+ . . .+ 1
2n
difere de 1 por menos de �.
De�nição 1.2.1: Seja (an) uma sequência de números reais. A partir dela, formamos uma
nova sequência (sn) cujos elementos são as somas
s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + . . .+ an,
que são chamados de soma parcial ou reduzida da série
∑
an. A parcela an é chamada o
n-ésimo termo ou o termo geral da série.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 11
Se existir o limite
s = lim sn = lim
n→∞
(a1 + . . .+ an),
diremos que a série
∑
an é convergente e o limite s será chamado a soma da série. Escreve-
remos então
s =
∑
an =
∞∑
n=1
an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .
Se a sequência de somas parciais não convergir, diremos que a série
∑
an é divergente.
Observação 1.2.2: Toda sequência (xn) de números reais pode ser considerada como a
sequência das reduzidas de uma série. Basta tomar a1 = x1 e an+1 = xn+1 − xn para todo
n ∈ IN . Então, a1 + . . .+ an = x1 + (x2 − x1) + . . .+ (xn − xn−1) = xn. A série
∑
an assim
obtida converge se, e somente se, a sequência (xn) é convergente. No caso a�rmativo, a soma
desta série é igual a limn xn. Assim falando, pode-se dar a impressão de que a teoria das séries
coincide com a teoria dos limites de sequências. Isto não é verdade, pelo seguinte motivo.
Ao estudar a série cujas reduzidas são sn, estaremos deduzindo suas propriedades a partir
das diferenças an = sn − sn−1. Em vez de tomar como ponto de partida o comportamento
dos números sn, concentraremos atenção sobre os termos an.
A primeira condição necessária para convergência de uma série é que seu termo geral
tenda para zero.
Teorema 1.2.3: Se
∑
an é uma série convergente, então limn an = 0.
Prova: Seja sn = a1 + . . . + an. Então, existe s = limn sn. Evidentemente, tem-se também
s = limn sn−1. Logo, 0 = s− s = limn sn − limn sn−1 = limn(sn − sn−1) = limn an.Exemplo 1.2.4: A recíproca do Teorema 1.2.3 é falsa. O contra-exemplo clássico é dado
pela série harmônica
∑
1
n
. Seu termo geral,
1
n
, tende para zero mas a série diverge. Com
efeito, temos
s2n = 1 +
1
2
+ (
1
3
+
1
4
) + . . .+ (
1
2n−1 + 1
+ · · · 1
2n
)
> 1 +
1
2
+
2
4
+ . . .+
2n−1
2n
= 1 + n · 1
2
.
Segue-se que limn s2n = +∞ e, por conseguinte, como sn é monotonicamente crescente,
temos limn sn = +∞. Resulta daí que, para 0 < r < 1, a série
∑
1
nr
diverge, pois
1
nr
> 1
n
para todo n > 1.
Exemplo 1.2.5: A série geométrica
∑∞
n=0 a
n
é divergente quando |a| ≥ 1, pois neste caso
seu termo geral não tende a zero. Quando |a| < 1, a série geométrica converge, pois
sn − asn = (1 + a+ . . .+ an)− (a+ a2 + . . .+ an+1) = 1− an+1
⇒ sn(1− a) = 1− an+1 ⇒ sn = 1− a
n+1
1− a .
Então,
∑∞
n=0 a
n = limn sn =
1
1−a .
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 12
Exemplo 1.2.6: A série
∑∞
n=1(−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . é divergente pois seu termo
geral não tende a zero. Suas somas parciais de ordem ímpar são iguais a 1 e as de ordem
par são iguais a zero.
Uma série
∑
an pode divergir por dois motivos. Ou porque as reduzidas sn = a1+. . .+an
não são limitadas ou porque elas oscilam em torno de alguns valores de aderência. Quando
os termos da série têm todos o mesmo sinal, esta última possibilidade não ocorre, pois,
neste caso, as reduzidas formam uma sequência monótona. A seguir nós estudaremos alguns
critérios de convergência de séries.
Teorema 1.2.7: Seja an > 0 para todo n ∈ IN . A série
∑
an converge se, e somente se, as
somas parciais sn = a1 + . . .+ an formam uma sequência limitada.
Prova: Sendo an > 0, temos s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ . . .; logo a sequência (sn) sendo monótona
converge se, e somente se, é limitada.
Dada uma série de termos não negativos a1, a2, . . ., suponha que os termos sejam reinde-
xados numa outra ordem qualquer, a′1, a
′
2, . . ., de forma que a
′
1 pode ser a15, a
′
2 pode ser a1,
etc. Então, como os termos são todos não negativos, a nova soma parcial s′n = a
′
1 + . . .+ a
′
n
é dominada por alguma soma parcial sm com m > n. Se a série original converge para s,
teremos s′n ≤ sm ≤ s, logo s′n é limitada e portanto convergente. Seu limite s′ é seu supremo,
de sorte que s′ ≤ s. Mas a série original pode também ser interpretada como obtida de∑ a′n
por reindexação de seus termos a′n, logo temos também s ≤ s′. Concluímos que uma série
de termos não negativos que converge tem a mesma soma, independente da ordem de seus
termos. É fácil ver também que se a série de termos não negativos diverge, ela será sempre
divergente, não importa a ordem de seus termos.
O próximo teorema estabelece mais uma caracterização de séries convergentes e diver-
gentes.
Teorema 1.2.8: Seja
∑∞
n=1 an uma série de termos não-negativos. Então,
(a) se
∑∞
n=1 an <∞, então limk
∑∞
n=k+1 an = 0;
(b) se
∑∞
n=1 an =∞, então ∀k,
∑∞
n=k an =∞.
Prova: Para parte (a), como sk =
∑k
n=1 an é uma sequência monótona não-decrescente e
limitada, então ela é convergente. Logo, pelo critério de Cauchy para sequências temos que
∀� > 0, ∃m tal que k, p > m ⇒ |sp − sk| < �. Assumindo sem perda de generalidade que
p > k, temos que ∀� > 0, ∃m tal que k, p > m⇒ |∑pn=k+1 an| < �. Fazendo p→∞, temos
que ∀� > 0, ∃m tal que k > m⇒ |∑∞n=k+1 an| ≤ �, ou seja, ∑∞n=k+1 an → 0.
Para parte (b), suponha por contradição que
∑∞
n=1 an = ∞ e que exista k tal que∑∞
n=k ak <∞. Seja L =
∑k−1
n=1 an, então
∑∞
n=1 an = L+
∑∞
n=k ak <∞, uma contradição.
1.2.1 Critérios de Convergência
Um dos problemas centrais no estudo das séries consiste em saber se uma dada série converge
ou não. Há vários critérios para se testar a convergência de uma série, nós vamos destacar
dois dos mais importantes: o teste da comparação e o teste da razão.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 13
Teste de Comparação
Teorema 1.2.9: Sejam
∑
an e
∑
bn duas séries de termos não negativos. Suponhamos
ainda que a primeira seja dominada pela segunda, an ≤ bn para todo n ∈ IN . Então,
(i)
∑
bn converge ⇒
∑
an converge;
(ii)
∑
an diverge ⇒
∑
bn diverge.
Prova: As somas parciais das séries dadas sn = a1 + . . . + an e tn = b1 + . . . + bn são
sequências não decrescentes, satisfazendo à desigualdade sn ≤ tn, pois 0 ≤ an ≤ bn. No caso
(i), tn converge para um certo limite t, então sn ≤ t para todo n, ou seja, sn é uma sequência
monótona limitada e, portanto, convergente.
Para provar (ii), raciocinamos por absurdo: se
∑
bn convergisse, então, pela parte (i),∑
an também teria de convergir, contrariando a hipótese.
Exemplo 1.2.10: Um modo de provar a convergência da série
∑
1
n!
consiste em compará-la
com a série geométrica de razão 1/2. Observemos que
1
n!
=
1
2 · 3 . . . n <
1
2 · 2 . . . 2 =
1
2n−1
,
donde se vê que a série dada é dominada pela série
∑
1
2n−1 . Como esta é convergente,
concluímos que a série original também é convergente.
Exemplo 1.2.11: Vamos provar que a série
∑
1
nr
é convergente quando r > 1. Para isso,
majoramos as somas parciais da série, diminuindo os denominadores de seus termos, de
acordo com o seguinte esquema:
1 + (
1
2r
+
1
3r
) + (
1
4r
+
1
5r
+
1
6r
+
1
7r
) + . . .
≤ 1 + ( 1
2r
+
1
2r
) + (
1
4r
+
1
4r
+
1
4r
+
1
4r
) + . . .
= 1 +
2
2r
+
4
4r
+ . . . = 1 +
1
2r−1
+
1
4r−1
= 1 + (
1
2r−1
) + (
1
2r−1
)2 + . . .
Isto nos mostra que
∑
1
nr
é dominada pela série geométrica de razão q = 1
2r−1 < 1, que é
convergente.
Exemplo 1.2.12: A série
∑∞
k=1
1
k
sen 1
k
é convergente, pois como para todo x ∈ (0, pi/2),
senx < x, temos que para todo k ≥ 1:
0 ≤ 1
k
sen
1
k
≤ 1
k
· 1
k
.
Como
∑∞
k=1
1
k2
é convergente, segue do critério da comparação que
∑∞
k=1
1
k
sen 1
k
é conver-
gente.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 14
Exemplo 1.2.13: A série
∑∞
k=0
k
k2+2k+1
é convergente ou divergente? Justi�que.
Solução:
k
k2 + 2k + 1
=
1
k
· 1
1 + 2
k
+ 1
k2
.
Para todo k ≥ 1, 1 + 2
k
+ 1
k2
≤ 4 e, portanto, para todo k ≥ 1,
k
k2 + 2k + 1
≥ 1
4k
.
Como
∑∞
k=1
1
4k
=∞, resulta que ∑∞k=0 kk2+2k+1 =∞ e, portanto, a série é divergente.
Teste da Razão
Teorema 1.2.14: Seja
∑
an uma série de termos positivos tal que an+1/an converge para
um certo limite r. Então, a série converge se r < 1 e diverge se r > 1.
Prova: Supondo r < 1, seja � > 0 tal que c = r + � < 1. Como an+1/an → r, existe um
índice N su�cientemente grande tal que, para n ≥ N ,
r − � < an+1/an < r + � = c.
Fazendo n sucessivamente igual a N , N + 1, N + 2, . . . , essa desigualdade nos dá
aN+1 < aNc,
aN+2 < aN+1c < aNc
2,
em geral, aN+n < aNc
n
, de modo que a série
∑∞
n=N+1 an é dominada pela série geométrica
aN
∑∞
n=1 c
n
. Como c < 1, esta série converge, logo o mesmo ocorre com a série original, pelo
teste de comparação.
Ao contrário, se r > 1, então, dado � = r − 1, a partir de certo índice n = N teremos
r − � < an+1/an < r + �.
Como r − � = 1, a primeira desigualdade acima nos dá an+1 > an a partir de n = N .
Portanto, aN < aN+1 < aN+2 < . . . e a série original diverge para ∞.
Exemplo 1.2.15: A série
∑∞
k=0
2k
k!
é convergente ou divergente? Justi�que.
Solução: Como ak =
2k
k!
, temos
ak+1
ak
=
2k+1
(k+1)!
2k
k!
=
2
k + 1
.
Segue que limk ak+1/ak = 0, então, pelo critério da razão, a série
∑∞
k=0
2k
k!
é convergente.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2.SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 15
1.2.2 Convergência Absoluta
De�nição 1.2.16: Diz-se que uma série
∑
an converge absolutamente, ou é absolutamente
convergente, se a série
∑ |an| é convergente.
Teorema 1.2.17: Toda série absolutamente convergente é convergente. Além disso, a soma
da série independe da ordem em que se consideram os termos.
Prova: Sejam pn a soma dos termos ar positivos e qn a soma dos valores absolutos dos
termos ar negativos, onde, em ambos os casos, r ≤ n. Então, as somas parciais das séries∑ |an| e ∑ an são dadas por
Tn = |a1|+ |a2|+ . . .+ |an| = pn + qn
e
Sn = a1 + a2 + . . .+ an = pn − qn,
respectivamente. As sequências (Tn), (pn) e (qn) são não decrescentes, a primeira delas
converge, por hipótese, digamos, para T . Ao mesmo tempo, pn ≤ Tn ≤ T e qn ≤ Tn ≤ T ,
logo pn e qn também convergem, digamos para p e q, respectivamente. Concluímos que (Sn)
também converge: Sn = pn − qn → p− q.
Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta notar que pn e qn são somas parciais
de séries de termos não negativos, cujas somas independem da ordem em que se considerem
seus termos.
Exemplo 1.2.18 : A série −1 + 1
4
− 1
9
+ . . . =
∑∞
n=1
(−1)n
n2
é convergente, já que ela é
absolutamente convergente.
Teste da Razão Para Séries de Termos Quaisquer
Teorema 1.2.19: Seja a série
∑∞
k=0 ak, com ak 6= 0 para todo natural k. Suponhamos que
limk |ak+1ak | = r. Então, a série converge se r < 1 e diverge se r > 1.
Prova: Se r < 1, a série
∑∞
k=0 |ak| será convergente pelo teste da razão; logo
∑∞
k=0 ak será,
também, convergente.
Se r > 1, existirá um natural p tal que k ≥ p ⇒ |ak+1||ak| > 1. Então, para todo k > p,
|ak| > |ap|. Como ap 6= 0, limk |ak| não poderá ser zero e o mesmo acontecerá, então, com
limk ak. Pelo critério do termo geral, a série
∑∞
k=0 ak será divergente.
Exemplo 1.2.20: Determine x para que a série
∑∞
n=1 nx
n
seja convergente.
Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que
x 6= 0 e apliquemos o critério da razão.
lim
n
|(n+ 1)x
n+1
nxn
| = |x| lim
n
n+ 1
n
= |x|.
Segue do critério da razão, que a série é convergente para |x| < 1 e divergente para |x| > 1.
Para |x| = 1, a série é divergente pelo critério do termo geral.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.2. SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 16
Exemplo 1.2.21: Determine x para que a série
∑∞
n=1
xn
n!
seja convergente.
Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que
x 6= 0 e apliquemos o critério da razão.
lim
n
| n!x
n+1
(n+ 1)!xn
| = |x| lim
n
1
n+ 1
= 0.
Segue do critério da razão, que a série é convergente para todo x real.
Exemplo 1.2.22: Determine x para que a série
∑∞
n=1
n!xn
nn
seja convergente.
Solução: Para x = 0 a soma da série é zero; logo convergente. Suponhamos então que
x 6= 0 e apliquemos o critério da razão.
lim
n
|(n+ 1)!n
nxn+1
n!(n+ 1)n+1xn
| = |x| lim
n
(n+ 1)nn
(n+ 1)n+1
= |x| lim
n
(
n
n+ 1
)n =
|x|
e
.
Segue do critério da razão, que a série é convergente para todo |x| < e e divergente para
|x| > e.
Se |x| = e, utilizando a aproximação de Stirling, segundo a qual limn→∞ n!(n
e
)n
√
2pin
= 1,
temos que
limn→∞|an| = lim
n→∞
n!en
nn
= lim
n→∞
n!en
nn
(n
e
)n
√
2pin
(n
e
)n
√
2pin
= lim
n→∞
n!
(n
e
)n
√
2pin
lim
n→∞
en(n
e
)n
√
2pin
nn
= 1 lim
n→∞
√
2pin =∞.
Portanto, o termo geral da série diverge, logo a série diverge.
1.2.3 Ordens de Magnitude
Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x)
g(x)
tende a zero com x tendendo a um
certo x0, dizemos que f é de ordem pequena em relação a g, para x→ x0 e escrevemos
f(x) = o(g(x)), x→ x0.
Por exemplo, sen2x = o(x) e cos( 1
x
) = o( 1
x
) para x → 0, pois ambos quocientes, sen2x
x
e
cos(1/x)
1/x
tendem a zero com x→ 0.
Quando apenas sabemos que o quociente permanece limitado numa vizinhança de x0,
isto é, quando existem números positivos δ e M tal que se |x − x0| < δ, então |f(x)||g(x)| ≤ M ,
dizemos que f é de ordem grande em relação a g, para x→ x0 e escrevemos
f(x) = O(g(x)), x→ x0.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.3. SÉRIE DE TAYLOR 17
Por exemplo, ex− 1−x = O(x2) e senx−x = O(x3) para x→ 0, pois usando L'Hopital,
temos que os quocientes
ex−1−x
x2
e
senx−x
x3
tendem a 1/2 e −1/6, respectivamente, quando x
tende a zero.
Note que f(x) = o(g(x))⇒ f(x) = O(g(x)), x→ x0, mas a recíproca não é verdadeira.
No caso de sequências de números reais, também podemos analisar o comportamento
comparativo de duas sequências {an}n≥1 e {bn}n≥1, quando n tende ao in�nito. Dizemos
que an = o(bn) se lim
an
bn
= 0 e dizemos que an = O(bn) se existir um número inteiro positivo
n0 tal que a subsequência de
|an|
|bn| que contém todos os termos a partir de n0 seja limitada.
Em particular, temos que se (bn) for uma sequência constante bn = c, para todo n, então
an = o(c) se an → 0 e an = O(c) se (an) for uma sequência limitada.
Exemplo 1.2.23:
1. nk = o(en), para todo k.
2. log n = o(nk), para todo k > 0.
3. 10n2 + n = O(n2).
1.3 Série de Taylor
As funções polinomiais são as mais simples quando se quer calcular seus valores, derivá-las ou
integrá-las. A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois
permite obter propriedades das funções em termos de propriedades análogas dos polinômios
que as aproximam.
Vamos considerar o problema de aproximar a função f , numa vizinhança de x = 0, por
um polinômio de grau n:
pn(x) = a0 + a1x+ . . .+ arx
r + . . .+ anx
n.
Suponha que f seja derivável em x = 0 até ordem n. Observamos que:
p′n(x) = a1 + 2a2x+ . . .+ rarx
r−1 + . . .+ nanxn−1
p′′n(x) = 2a2 + 6a3x+ . . .+ r(r − 1)arxr−2 + . . .+ n(n− 1)anxn−2
Em geral,
p(r)n (x) = r!ar + . . .+ n(n− 1) . . . (n− r + 1)anxn−r.
Portanto, fazendo x = 0 nessa expressão, obtemos p
(r)
n (0) = r!ar, r = 0, 1, 2, . . . , n.
Como queremos aproximar f por pn em x = 0, queremos que todas as derivadas até
ordem n dessas funções em x = 0 coincidam, ou seja, que elas se toquem (f(0) = pn(0)) no
ponto x = 0, tenham a mesma inclinação (f ′(0) = p′n(0)) neste ponto, e assim por diante.
Então, segue-se que
ar =
p
(r)
n (0)
r!
=
f (r)(0)
r!
.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.3. SÉRIE DE TAYLOR 18
Então, temos que
pn(x) =
n∑
r=0
f (r)(0)
r!
xr,
onde f (0)(x) = f(x).
Este é chamado de polinômio de Taylor de ordem n da função f em torno de x = 0. Sua
importância reside no teorema que enunciamos e provamos a seguir.
Teorema 1.3.1: Seja f uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de
x = 0. Então, o polinômio pn aproxima f em V com erro ou resto dado por
Rn(x) = f(x)− pn(x) = f
(n+1)(cn)x
n+1
(n+ 1)!
,
onde cn é um número compreendido entre 0 e x.
Prova: Começaremos enunciando e provando o seguinte Lema, conhecido como Teorema do
Valor Médio Generalizado.
Lema 1.3.2: Se F e G são funções deriváveis num intervalo (a, b), contínuas em [a, b], com
G(a) 6= G(b) e G′(x) 6= 0 para x ∈ (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que
F (b)− F (a)
G(b)−G(a) =
F ′(c)
G′(c)
Prova: Considere a função
H(x) = (F (b)− F (a))(G(x)−G(a))− (G(b)−G(a))(F (x)− F (a)).
Então, H é contínua em [a, b], derivável em (a, b), e H(a) = H(b) = 0. Logo pelo Teorema
do Valor Médio existe c ∈ (a, b) tal que H(b)−H(a) = 0 = H ′(c)(b− a), ou seja, H ′(c) = 0.
Portanto, existe c tal que
(F (b)− F (a)G′(c)− (G(b)−G(a))F ′(c) = 0.
Como G(b) 6= G(a), o resultado está provado.
Usaremos repetidamente o Teorema do Valor Médio Generalizado para provar o teorema.
Seja F (x) = f(x) − pn(x), G(x) = xn+1, a = 0, e b = x. Então aplicando o Lema notando
que f(0) = pn(0), obtemos
Rn(x)
xn+1
=
f(x)− pn(x)
xn+1
=
f ′(c)− p′n(c)(n+ 1)cn
,
onde c está entre 0 e x. Aplicando novamente o Lema com F (x) = f ′(x) − p′n(x), G(x) =
(n+ 1)xn, b = c e a = 0, temos (note que f ′(0)− p′n(0) = 0)
Rn(x)
xn+1
=
f ′(c)− p′n(c)
(n+ 1)cn
=
f ′′(c1)− p′′n(c1)
(n+ 1)ncn−11
,
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.3. SÉRIE DE TAYLOR 19
onde c1 está entre 0 e c. Continuando desta maneira, levando sempre em conta que f
(r)
n (0) =
p
(r)
n (0), para 0 ≤ r ≤ n e o fato que p(n+1)n (y) = 0 para todo y real, obtemos
Rn(x)
xn+1
=
f (n+1)(cn)
(n+ 1)!
,
onde cn está entre 0 e x.
A fórmula
f(x) =
n∑
r=0
f (r)(0)
r!
xr +Rn(x)
é chamada de série, expansão ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da função f em
torno de x = 0.
Podemos generalizar este resultado e obter a série de Taylor de uma função em torno de
um outro ponto qualquer x = a, onde a não é necessariamente igual a zero. Este problema se
reduz facilmente ao problema tratado anteriormente, introduzindo-se a variável h = x− a e
a função g(h) = f(a+h) = f(x). Dessa maneira a variável x se aproxima de a se, e somente
se, h se aproxima de 0. Suponha que f seja derivável até ordem n + 1 numa vizinhança
de x = a, digamos |x − a| < δ. Então, g terá n + 1 derivadas em |h| < δ. Além disso,
g(r)(h) = f (r)(a + h) = f (r)(x), 0 ≤ r ≤ n + 1. Portanto, a série de Taylor de g de ordem n
em torno de h = 0 é:
g(h) =
n∑
r=0
g(r)(0)
r!
hr +
g(n+1)(c)
(n+ 1)!
hn+1,
e pode ser reescrita como
f(x) =
n∑
r=0
f (r)(a)
r!
(x− a)r + f
(n+1)(c′)
(n+ 1)!
(x− a)n+1,
onde c′ = a + c é um número entre a e x, do mesmo modo que c é um número entre 0 e h.
Esta fórmula é chamada de série, expansão, ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da
função f em torno do ponto x = a, e
∑n
r=0
f (r)(a)
r!
(x− a)r é chamado de polinômio de Taylor
de ordem n de f em torno de x = a.
Se a função f (n+1) for limitada por uma constante K numa vizinhança de x = a, isto é,
|fn+1(x)| ≤ K, para |x− a| ≤ δ, então Rn(x) = O((x− a)n+1) ou Rn(x) = o((x− a)n) com
x→ a. Desse modo se uma função f possui derivada de ordem n numa vizinhança de x = a
para todo natural n, temos que sua série de Taylor é dada por:
∞∑
r=0
f (r)(a)
r!
(x− a)r.
Exemplo 1.3.3: Vamos obter a série de Taylor de ordem n da função f(x) = ln(1 + x),
x > −1, em torno de x = 0.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
1.3. SÉRIE DE TAYLOR 20
Solução: Note que f(0) = ln(1) = 0, f ′(x) = 1
1+x
= (1 + x)−1, f ′′(x) = −1(1 + x)−2, e
que em geral temos: f (r)(x) = (−1)r−1(r− 1)!(1+x)−r. Portanto, f (r)(0) = (−1)r−1(r− 1)!,
e a série de Taylor de ordem n de f em torno de x = 0 é:
f(x) =
n∑
r=1
(−1)r−1
r
(x)r +
(−1)n(1 + c)−(n+1)
(n+ 1)
(x)n+1,
onde c está entre 0 e x.
Exemplo 1.3.4: Vamos obter a série de Taylor de ordem n da função f(x) = 1
x
, x > 0, em
torno do ponto a = 2.
Solução: Note que f(2) = 1/2, f ′(x) = −x2, f ′′(x) = 2x−3, e que em geral temos:
f (r)(x) = (−1)rr!x−r−1. Portanto, f (r)(2)
r!
= (−1)
r
2r+1
, e a série de Taylor de ordem n de f em
torno de x = 2 é:
f(x) =
n∑
r=0
(−1)r
2r+1
(x− 2)r + (−1)
n+1
cn+2
(x− 2)n+1,
onde c é um número entre 2 e x.
Exemplo 1.3.5: Fórmula de Euler. Neste exemplo usaremos séries de Taylor para de-
monstrar a fórmula de Euler: eix = cos(x)+ i sen(x), onde i =
√−1. Note que para qualquer
inteiro r, temos
dreix
dxr
= ireix;
dr cos(x)
dxr
=
{
(−1) r+12 sen(x) se r for ímpar,
(−1) r2 cos(x) se r for par;
dr sen(x)
dxr
=
{
(−1) r−12 cos(x) se r for ímpar,
(−1) r2 sen(x) se r for par.
Então, temos as seguintes expansões de Taylor em torno de x = 0:
eix =
∞∑
r=0
ir
r!
xr =
∞∑
r=0
(−1)r
2r!
x2r + i
∞∑
r=0
(−1)r
(2r + 1)!
x2r+1;
cos(x) =
∞∑
r=0
(−1)r
2r!
x2r;
sen(x) =
∞∑
r=0
(−1)r
(2r + 1)!
x2r+1.
Logo, podemos concluir que eix = cos(x) + i sen(x).
Autor: Leandro Chaves Rêgo
Capítulo 2
Convergência Estocástica
2.1 Seqüência de Eventos
A de�nição de conceitos de convergência de variáveis aleatórias depende de manipulações de
seqüências de eventos. Seja An ⊆ Ω, de�ne-se:
inf
k≥n
Ak = ∩∞k=nAk, sup
k≥n
Ak = ∪∞k=nAk
lim inf
n
An = ∪∞n=1 ∩∞k=n Ak
lim sup
n
An = ∩∞n=1 ∪∞k=n Ak.
O limite de uma seqüência de eventos é de�nido da seguinte maneira: se para alguma
seqüência (Bn) de eventos lim infnBn = lim supnBn = B, então B é chamado de limite de
(Bn) e nós escrevemos limnBn = B ou Bn → B.
Exemplo 2.1.1: lim inf[0, n
n+1
) = lim sup[0, n
n+1
) = [0, 1)
Teorema 2.1.2: Seja (An) uma seqüência de eventos de Ω.
(a) ω ∈ lim supAn se, e somente se, ω ∈ Ak para um número in�nito de índices k.
(b) ω ∈ lim inf An se, e somente se, ω /∈ Ak para um número �nito de índices k.
Prova: Para parte (a), note que ω ∈ lim supAn, se, e somente se, para todo n, ω ∈ ∪∞k=nAk,
ou seja, se, e somente se, para todo n existe n′ ≥ n tal que ω ∈ An′ . Como isto é válido para
todo n, temos que isto é equivalente a existência de um número in�nito de índices k tais que
ω ∈ Ak.
A prova da parte (b) é similar.
A seguir descreveremos algumas propriedades do lim inf e lim sup de uma seqüência de
eventos.
1. lim inf An ⊆ lim supAn
Este fato é uma simples conseqüência do Teorema 2.1.2, pois se ω ∈ lim inf An, ω não
pertence apenas a um número �nito de eventos Ak's, e conseqüentemente pertence a
um número in�nito deles. Logo, ω ∈ lim supAn.
21
2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 22
2. (lim inf An)
c = lim supAcn
Este fato decorre aplicando a Lei de De Morgan duas vezes:
(∪∞n=1 ∩∞k=n Ak)c = ∩∞n=1(∩∞k=nAk)c = ∩∞n=1(∪∞k=nAck).
Seqüências Monotônicas
Uma seqüência de eventos (An) é monotônica não-decrescente (resp., não-crescente) se A1 ⊆
A2 ⊆ . . . (resp, A1 ⊇ A2 ⊇ . . .). Denotaremos por An ↑ (resp., An ↓) uma seqüência
não-decrescente (resp. não-crescente) de eventos.
Teorema 2.1.3: Suponha que (An) é uma seqüência monotônica de eventos. Então,
1. Se An ↑, então limnAn = ∪∞n=1An.
2. Se An ↓, então limnAn = ∩∞n=1An.
Conseqüentemente, como para qualquer seqüência Bn, temos infk≥nBk ↑ e supk≥nBk ↓,
segue que:
lim inf Bn = lim
n
(inf
k≥n
Bk), lim supBn = lim
n
(sup
k≥n
Bk)
Prova: Para provar (1), precisamos mostrar que lim inf An = lim supAn = ∪∞n=1An. Como
Aj ⊆ Aj+1, temos ∩k≥nAk = An, e portanto,
lim inf An = ∪∞n=1(∩k≥nAk) = ∪∞n=1An.
Por outro lado, temos,
lim supAn = ∩∞n=1(∪k≥nAk) ⊆ ∪∞k=1Ak
= lim inf An ⊆ lim supAn.
Logo, temos igualdade acima, ou seja, lim supAn = ∪∞k=1Ak.
A prova de (2) é similar.
Exemplo 2.1.4:
1. limn[0, 1− 1n ] = ∪∞n=1[0, 1− 1n ] = [0, 1).
2. limn[0, 1 +
1
n
) = ∩∞n=1[0, 1 + 1n) = [0, 1].
3. limn(
n
n+1
, n
n−1) = ∩∞n=1( nn+1 , nn−1) = {1}.
Exemplo 2.1.5: Sejam An, A,Bn, B eventos em Ω. Mostre que:
1. se limnAn = A, então limnA
c
n = A
c
.
Solução: lim inf Acn = (lim supAn)
c = Ac e lim supAcn = (lim inf An)
c = Ac.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 23
2. lim sup(An ∪Bn) = lim supAn ∪ lim supBn.
Solução: Se ω ∈ lim sup(An∪Bn), então ω ∈ (Ak∪Bk) para in�nitos índices k. Logo,
temos que ω ∈ Ak para in�nitos índices k, ou ω ∈ Bk para in�nitos índices k. Portanto,
temos ω ∈ lim supAn ou ω ∈ lim supBn, ou seja, ω ∈ lim supAn ∪ lim supBn.
Reciprocamente, se ω ∈ lim supAn∪lim supBn, então ω ∈ lim supAn ou ω ∈ lim supBn.
Logo, temos que ω ∈ Ak para in�nitos índices k, ou ω ∈ Bk para in�nitos índices k,
ou seja, ω ∈ (Ak ∪Bk) para in�nitos índices k. Portanto, ω ∈ lim sup(An ∪Bn).
3. Não é verdade que lim inf(An ∪Bn) = lim inf An ∪ lim inf Bn.
Solução: Vamos construir um contra-exemplo: Suponha que A ∩B = ∅, An = A 6= ∅
e Bn = B 6= ∅ para n par; e An = B e Bn = A para n ímpar. Como An ∪Bn = A ∪B
para todo n, é fácil ver que lim inf(An ∪ Bn) = A ∪ B. Também é fácil ver que
lim inf An = lim inf Bn = A ∩ B = ∅, pois somente os ω′s em A ∩ B não ocorrem paraum número �nito de índices n tanto na seqüência An quanto na seqüência Bn. Então,
A ∪B = lim inf(An ∪Bn) 6= ∅ = lim inf An ∪ lim inf Bn.
4. se An → A e Bn → B, então An ∪Bn → A ∪B e An ∩Bn → A ∩B.
Solução: Pela parte (2), temos que
lim supAn ∪Bn = lim supAn ∪ lim supBn = A ∪B,
e pela propriedade (1) de lim inf e lim sup, temos
lim inf An ∪Bn ⊆ lim supAn ∪Bn = A ∪B.
Resta-nos provar que A ∪ B ⊆ lim inf An ∪ Bn. Suponha que ω ∈ A ∪ B, então
ω ∈ lim inf An ou ω ∈ lim inf Bn, ou seja, ω não pertence a um número �nito de Ak's,
ou ω não pertence a um número �nito de Bk's. Logo, ω não pertence a um número
�nito de Ak ∪Bk's. Portanto, ω ∈ lim inf An ∪Bn. Então, An ∪Bn → A ∪B.
Utilizando os ítens anteriores e a Lei de De Morgan, temos:
A ∩B = (Ac ∪Bc)c = (limAcn ∪ limBcn)c =
= (limAcn ∪Bcn)c = lim(Acn ∪Bcn)c = limAn ∩Bn.
2.1.1 Borel-Canteli
A seguir vamos enunciar e provar um importante Lema, conhecido como Lema de Borel-
Cantelli, que trata da probabilidade da ocorrência de um número in�nito de eventos.
Lema 2.1.6: Sejam A1, A2, . . . eventos aleatórios em (Ω,A, P ), ou seja, An ∈ A,∀n.
(a) Se
∑∞
n=1 P (An) <∞, então P (An in�nitas vezes ) = 0.
(b) Se
∑∞
n=1 P (An) =∞ e os eventos An's são independentes, então
P (An in�nitas vezes ) = 1.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.1. SEQÜÊNCIA DE EVENTOS 24
Obervação: O ítem (b) não vale necessariamente sem independência. Por exemplo,
seja An = A, ∀n, onde 0 < P (A) < 1. Então,
∑
P (An) = ∞ mas o evento [An in�nitas
vezes] = A e P (An in�nitas vezes) = P (A) < 1.
Prova: Para parte (a), se
∑
P (An) <∞, então
∑∞
k=j P (Ak)→ 0 quando j →∞. Mas
[An in�nitas vezes] ⊆ ∪∞k=jAk, ∀j,
logo
P (An in�nitas vezes) ≤ P (∪∞k=jAk) ≤
∞∑
k=j
P (Ak)→ 0.
Portanto, P (An in�nitas vezes) = 0.
Para parte (b), basta provar que
P (∪∞k=nAk) = 1, ∀n
(pois sendo [An in�nitas vezes] = ∩∞n=1 ∪∞k=n Ak a intersecção de um número enumerável de
eventos de probabilidade 1, é também de probabilidade 1). Para tanto, seja Bn = ∪∞k=nAk.
Então Bn contém ∪n+mk=n Ak para todo m, e
Bcn ⊆ (∪n+mk=n Ak)c = ∩n+mk=n Ack.
Logo para todo m,
1− P (Bn) = P (Bcn) ≤ P (∩n+mk=n Ack) =
n+m∏
k=n
P (Ack) =
n+m∏
k=n
(1− P (Ak)).
Como 1− p ≤ e−p para 0 ≤ p ≤ 1, temos
1− P (Bn) ≤
n+m∏
k=n
e−P (Ak) = exp(−
n+m∑
k=n
P (Ak))→ 0
quando m→∞, pois ∑n+mk=n P (Ak)→∞ quando m→∞. Logo P (Bn) = 1,∀n.
Exemplo 2.1.7: Se sabemos que para uma dada coleção de eventos {Ak}, as suas probabi-
lidades individuais satisfazem P (Ak) ≤ 1k2 , então podemos concluir que in�tos desses vezes
ocorrem com probabilidade zero ou, que apenas um número �nito deles ocorrem com proba-
bilidade 1. Podemos reesecrever isso da seguinte forma: existe um instante aleatório N tal
que, com probabilidade 1, nenhum dos Ak ocorrem para k > N . É importante ressaltar que
nós podemos chegar a essa conclusão sem saber nada sobre as interações entre esses eventos
como as que são expressas por probabilidades de papres de eventos P (Ai ∩Aj). Contudo, se
apenas sabemos que P (Ak) > 1/k, então não podemos concluir nada baseados no Lema de
Borel-Cantelli. Se soubermos que os eventos são mutuamente independentes, então sabendo
que P (Ak) > 1/k, podemos concluir que in�nitos Ak ocorrem com probabilidade 1.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 25
Exemplo 2.1.8: Considere uma seqüência de variáveis aleatórias X1, X2, X3, . . .. Podemos
usar o Lema de Borel-Cantelli para determinar a probabilidade que Xk > bk in�nitas vezes
para qualquer seqüência de números reais {bk}. Note que P (Xk > bk) = 1− FXk(bk). Logo,
se ∞∑
k=1
P (Xk > bk) =
∞∑
k=1
1− FXk(bk) <∞,
então, não importa qual a distribuição conjunta das variáveis aleatórias {Xk}, temos que o
evento {Xk > bk} só ocorrerá para um número �nito de índices k. Por outro lado, se
∞∑
k=1
P (Xk > bk) =
∞∑
k=1
1− FXk(bk) =∞,
então precisaríamos de informação adicional sobre a distribuição conjunta das variáveis ale-
atórias {Xk} para determinar se os eventos {Xk > bk} ocorrem um número �nito ou in�nito
de vezes.
Exemplo 2.1.9: Considere uma moeda não necessariamente honesta com probabilidade
de cara igual a p, onde 0 < p < 1. Se esta moeda for jogada um número in�nito de vezes de
maneira independente, qual a probabilidade da seqüência (cara, cara, coroa, coroa) aparecer
um número in�nito de vezes? Justi�que sua resposta.
Solução: Seja Xi o resultado do i-ésimo lançamento da moeda. De�na o evento Ai =
{Xi = cara,Xi+1 = cara,Xi+2 = coroa,Xi+3 = coroa}, queremos calcular P (Ai in�nitas vezes).
Note que para todo i, temos P (Ai) = p
2(1 − p)2 > 0. Não podemos aplicar diretamente o
lema de Borel Cantelli, pois os eventos Ai's não são independentes, visto que, por exemplo,
ambos A1 e A2 dependem de X2, X3, X4. Considere a seguinte subseqüência da seqüência
de eventos (Ai) tal que Bi = A4i−3. Como os eventos Bi's dependem de famílias disjun-
tas de variáveis aleatórias independentes, eles são independentes. Além disso temos que
P (Bi) = p
2(1 − p)2 > 0. Logo, ∑i P (Bi) = ∞. Portanto, Borel-Cantelli implica que
P (Bi in�nitas vezes) = 1. Como (Bi) é uma subseqüência de (Ai), temos que
[Bi in�tas vezes] ⊆ [Ai in�nitas vezes].
Portanto, P (Ai in�nitas vezes) = 1.
2.2 Covergência de Variáveis Aleatórias
Seguindo uma interpretação freqüentista, probabilidade está relacionada com a freqüência
relativa de eventos no longo prazo. A matemática para estudar o longo prazo é a dos limites.
Mas quando se trata de funções, existem vários tipos de limites (por exemplo, pontual,
uniforme, em quase todo lugar). O mesmo ocorre quando consideramos limites de variáveis
aleatórias de�nidas em um mesmo espaço de probabilidade (Ω,A, P ), visto que variáveis
aleatórias são funções reais cujo domínio é Ω.
Relembrando: Seja (Ω,A) um espaço mensurável. Uma função X : Ω→ R é chamada
de variável aleatória se para todo evento Boreliano B, X−1(B) ∈ A. Nós recordamos que
um evento Boreliano é qualquer evento pertencente à σ-álgebra de Borel, onde a σ-álgebra
de Borel é a menor σ-álgebra contendo intervalos da forma (−∞, x] para todo x ∈ R.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 26
2.2.1 Tipos de Convergência
Vamos a seguir descrever vários tipos de convergência estocástica, ilustrando com exemplos
cada tipo de convergência, e depois provaremos algumas relações entre os vários tipos de
convergência. Sejam Y, Y1, Y2, . . . variáveis aleatórias de�nidas em um mesmo espaço de
probabilidade (Ω,A, P ).
Convergência Quase Certa
De�nição 2.2.1: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge quase certamente
(ou com probabilidade 1) para a variável aleatória Y se
P ({w : lim
n→∞
Yn(w) = Y (w)}) = 1.
Notação: Yn → Y cp1.
Então se uma seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge quase certamente para
Y não signi�ca que para todo w ∈ Ω, Yn(w) → Y (w), apenas o que se sabe é que a
probabilidade do evento D = {w : Yn(w) 9 Y (w)} é nula. D é chamado de conjunto de
exceção.
Exemplo 2.2.2: Considere uma variável aleatória Z tal que P ({w : 0 ≤ |Z(w)| < 1}) = 1.
Seja Xn(w) = Z
n(w), então Xn(w) → 0 cp1; note que o conjunto de exceção é D = {w ∈
Ω : |Z(w)| ≥ 1} e que P (D) = 0. �
Podemos obter uma de�nição alternativa para convergência quase-certa, observando que,
pela de�nição de limite de sequências de números reais, para um dado w ∈ Ω �xo, temos que
limn Yn(w) = Y (w) se, e somente se, para todo k ∈ IN , existir N tal que para todo n ≥ N ,
temos |Yn(w)− Y (w)| < 1k . Portanto:
{w : lim
n
Yn(w) = Y (w)} = {w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| <
1
k
}.
Então, Yn → Y cp1 se, e somente se,
P ({w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| <
1
k
}) = 1.
Isto é equivalente a:
P ({w : ∩∞k=1 ∪∞N=1 ∩∞n=N |Yn(w)− Y (w)| ≥
1
k
}) = 0.
De�na An,k = {w : |Yn(w)− Y (w)| ≥ 1k}. Então para cadak �xo, temos que
lim sup
n
An,k = ∪∞N=1 ∩∞n=N An,k.
Logo, Yn → Y cp1 se, e somente se, para todo k ∈ IN ,
P (lim sup
n
An,k) = 0.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 27
Exemplo 2.2.3: Seja {Xn}n≥3 uma seqüência de variáveis aleatórias independentes com
distribuição de probabilidade dada por:
P (Xn = 0) = 1− 1
log n
e P (Xn = n) =
1
log n
, ∀n ≥ 3.
Mostre que Xn 9 0 cp1.
Solução: Para qualquer � tal que 0 < � < 1, temos que
P (|Xn| > �) = P (Xn = n) = 1
log n
.
Logo,
∑
n P (|Xn| > �) =
∑
n
1
logn
= ∞. Então, o Lema de Borel-Cantelli implica que
P (|Xn| > � in�nitas vezes) = 1, portanto com probabilidade 1, Xn 9 0.
Exemplo 2.2.4: Considere {Xn : n ≥ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d.
com função de distribuição F. Suponha que F (x) < 1, para todo x < ∞. De�na Yn =
max(X1, X2, . . . , Xn). Vamos veri�car que Yn →∞ cp1.
Inicialmente, observe que para cada ω ∈ Ω, as variáveis Yn formam uma seqüência não-
decrescente de números reais. Seja M um número real, temos
P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . .) ≤ P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . . , k) = P (Yk ≤M)
= P (max(X1, X2, . . . , Xk) ≤M) = P (X1 ≤M,X2 ≤M, . . .Xk ≤M)
=
k∏
n=1
P (Xn ≤M) = F k(M),∀k ≥ 1.
Fazendo k →∞, temos que para todo M �nito,
P (lim
n
Yn ≤M) = P (Yn ≤M : n = 1, 2, . . .) = 0;
pois F k(M) tende a zero, quando k → ∞. Dessa forma, o conjunto dos w ∈ Ω, em que
limn Yn(w) é �nito, tem probabilidade zero e, portanto, Yn →∞ cp1.
Convergência na r-ésima Média
De�nição 2.2.5: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge na r-ésima Média,
onde r > 0, para a variável aleatória Y se
lim
n→∞
E|Yn − Y |r = 0.
Notação: Yn →r Y .
Se r = 2 este tipo de convergência é freqüentemente chamado de convergência em média
quadrática.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 28
Exemplo 2.2.6: Sejam Z,X1, X2, . . . variáveis aleatórias tais que
Xn =
n
n+ 1
Z,
então Xn →2 Z se EZ2 <∞, mas não em caso contrário. �
Exemplo 2.2.7: Considere a seqüência de variáveis aleatórias de�nidas no Exemplo 2.2.3.
Mostre que Xn 9r 0, para todo r > 0.
Solução: Temos que
E|Xn|r = nrP (Xn = n) = n
r
log n
→∞.
Logo, Xn 9r 0.
Pode-se provar que se Xn →r X, então Xn →s X para s < r.
Convergência em Probabilidade
De�nição 2.2.8: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . converge em probabilidade
para a variável aleatória Y se ∀� > 0
lim
n→∞
P ({w : |Yn(w)− Y (w)| > �}) = 0.
Notação: Yn →P Y .
A intuição por trás desta de�nição é que para n muito grande a probabilidade de que Yn
e Y sejam bem próximas é bastante alta.
Exemplo 2.2.9: Considere a seqüência de variáveis aleatórias de�nidas no Exemplo 2.2.3.
Mostre que Xn →P 0. Solução: Temos que para 0 < � < 1, P (|Xn| > �) = P (Xn = n) e
para � ≥ 1, P (|Xn| > �) ≤ P (Xn = n). Como P (Xn = n) = 1logn → 0., temos que ∀� > 0,
limP (|Xn| > �) = 0. Portanto, Xn →P 0.
Exemplo 2.2.10: Considere X,X1, X2, . . . onde as varáveis aleatórias têm distribuição
normal conjunta, todas com média 0 e matriz de covariância parcialmente descrita por
COV (X,X) = COV (Xn, Xn) = 1, COV (X,Xn) = 1− 1
n
.
Seja Yn = Xn−X, como Yn é uma combinação linear de variáveis aleatórias com distribuição
normal, ela também possui distribuição normal. Precisamos determinar então sua média e
sua variância. Mas EY = E(Xn −X) = EXn − EX = 0 e
V arY = EY 2 = E(Xn −X)2 = EX2n − 2EXnX + EX2 = 1− 2(1−
1
n
) + 1 =
2
n
.
Portanto, Yn ∼ N (0, 2n). Então,
P (|Xn −X| > �) = P (|Yn| > �) = 2P (Yn > �) = 2
∫ ∞
�
√
n√
4pi
e−
ny2
4 dy = 2
∫ ∞
�
√
n
2
1√
2pi
e−
x2
2 dx.
Logo, ∀� > 0, limn→∞ P (|Xn −X| > �) = 0, ou seja, Xn →P X. �
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 29
Convergência em Distribuição
O último tipo de convergência estocástico que mencionamos não é exatamente uma noção
de convergência das variáveis aleatórias propriamente ditas, mas uma noção de convergência
de suas respectivas funções de distribuição acumuladas.
De�nição 2.2.11: A seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . ., converge em distribuição
para a variável aleatória Y se para todo ponto x de continuidade de FY
lim
n→∞
FYn(x) = FY (x).
Notação: Yn →D Y .
Exemplo 2.2.12: Seja {Xn : n ≥ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes
com distribuição Uniforme em (0, b), b > 0. De�na Yn = max(X1, X2, . . . , Xn) e Y = b.
Vamos veri�car que Yn →D Y . Temos
FYn(y) = P (max(X1, X2, . . . , Xn) ≤ y) = F nX1(y) =

0 se y < 0,
(y
b
)n se 0 ≤ y < b,
1 se y ≥ b.
Fazendo n tender ao in�nito, temos que
lim
n
FYn(y) =
{
0 se y < b,
1 se y ≥ b,
que corresponde à função de distribuição de Y e, portanto, Yn →D Y .
Deve-se �car atento que convergência em distribuição não implica nada em relação aos
outros tipos de convergência. Uma seqüência convergindo em distribuição para uma variável
aleatória X também converge em distribuição para qualquer outra variável aleatória Y tal
que FY = FX . O próximo exemplo serve para ilustrar melhor este fato.
Exemplo 2.2.13: Se uma seqüência de variáveis aleatórias Y1, Y2, . . . é independente e
identicamente distribuída de acordo com F , então para todo n tem-se que FYn = F , logo
a seqüência converge em distribuição para qualquer variável aleatória X tal que FX = F .
Claro, como a seqüência é independente, os valores de termos sucessivos são independentes
e não exibem nenhum comportamento usual de convergência. �
O requisito de continuidade, mencionado na de�nição acima, se justi�ca para evitar
algumas anomalias. Por exemplo, para n ≥ 1 seja Xn = 1n e X = 0, para todo Ω. Parece
aceitável que deveríamos ter convergência de Xn para X, qualquer que fosse o modo de
convergência. Observe que
Fn(x) =
{
0 se x < 1
n
,
1 se x ≥ 1
n
, e
F (x) =
{
0 se x < 0,
1 se x ≥ 0.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 30
Portanto, como limn Fn(0) = 0 6= F (0) = 1, não temos limn Fn(x) = F (x) para todo x ∈ IR.
Desse modo se houvesse a exigência de convergência em todos os pontos, não teríamos
convergência em distribuição. Entretanto, note que para x 6= 0, temos limn Fn(x) = F (x) e,
como o ponto 0 não é de continuidade de F , concluímos que Xn →D X.
Um exemplo mais complexo de convergência em distribuição pode ser visto na análise do
limite de
Sn =
1√
n
n∑
i=1
(Xi − EXi),
onde Xi's são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Neste, o Teo-
rema Central do Limite a�rma que se V AR(Xi) = σ
2 <∞, então Sn converge em distribui-
ção para qualquer variável aleatória com distribuição N (0, σ2).
O próximo teorema estabelece duas condições su�cientes para que uma seqüência de
variáveis aleatórias convirja em distribuição.
Teorema 2.2.14: Seja X,X1, X2, . . . uma seqüência de variáveis aleatórias:
(a) Se X,X1, X2, . . . são variáveis aleatórias discretas com P (Xn = xi) = pn(i) e P (X =
xi) = p(i), onde pn(i) → p(i) quando n → ∞ para todo i = 0, 1, 2, 3, . . ., então
Xn →D X.
(b) Se X,X1, X2, . . . são variáveis aleatórias absolutamente contínuas com densidades da-
das respectivamente por f, f1, f2, f3, . . ., onde fn(x) → f(x) quando n → ∞ em quase
todo lugar, então Xn →D X.
Prova: Fora do escopo deste curso.
O próximo exemplo mostra que se uma seqüência de variáveis aleatórias discretas converge
em distribuição, não necessariamente sua função probabilidade de massa converge.
Exemplo 2.2.15: Sejam X,X1, X2, . . . variáveis aleatórias tais que P (X = 0) = 1 e
P (Xn = 1/n) = 1. Então, temos FX(x) = 1 se x ≥ 0, e FX(x) = 0 caso contrário; e
FXn(x) = 1 se x ≥ 1/n e FXn(x) = 0 caso contrário. Logo, FXn(x) → FX(x), ∀x 6= 0, ou
seja, Xn →D X. Porém, p(0) = 1 6= 0 = limn pn(0).
O próximo exemplo mostra que se uma seqüênciade variáveis aleatórias absolutamente
contínuas converge em distribuição, não necessariamente sua função densidade de probabi-
lidade converge.
Exemplo 2.2.16 : Considere uma seqüência de variáveis aleatórias X,X1, X2, . . . com
função de distribuição acumuladas dadas respectivamente por F, F1, F2, F3, . . ., onde
Fn(x) =

0 , se x ≤ 0
x(1− sen2npix
2npix
) , se 0 < x ≤ 1
1 , se x > 1;
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 31
e
F (x) =

0 , se x ≤ 0
x , se 0 < x ≤ 1
1 , se x > 1.
Então Fn e F são absolutamente contínuas com densidade dada por
fn(x) =
{
1− cos 2npix , se 0 ≤ x ≤ 1
0 , caso contrário;
e
f(x) =
{
1 , se 0 < x ≤ 1
0 , caso contrário.
É fácil ver que Fn(x)→ F (x),∀x ∈ IR. Contudo, fn(x)9 f(x).
2.2.2 Relação Entre os Tipos de Convergência
A primeira relação que iremos provar é que convergência quase certa implica convergência
em probabilidade.
Teorema 2.2.17: Xn → X cp1 ⇒ Xn →P X.
Prova: Para provar que convergência quase certa implica em convergência em probabilidade,
considere a seguinte família de eventos
An,� = {w : |Xn(w)−X(w)| ≤ �}.
Logo, pela interpretação de convergência pontual,
C = {w : Xn(w)→ X(w)} = ∩�>0 ∪∞N=1 ∩n≥NAn,�.
Se Xn → X cp1, então P (C) = 1. Equivalentemente, pela Lei de De Morgan,
D = Cc = ∪�>0D�, onde D� = ∩∞N=1 ∪n≥N Acn,�,
e
P (∪�>0D�) = 0.
Portanto, convergência quase certa implica que ∀� > 0, P (D�) = 0. Seja FN = ∪n≥NBn.
Note que FN ↓. Logo, limN FN = ∩∞N=1 ∪n≥N Bn. Portanto, pelo axioma da continuidade
monotônica da probabilidade, tem-se que
P (∩∞N=1 ∪n≥N Bn) = lim
N→∞
P (∪n≥NBn).
Então,
0 = P (D�) = lim
N→∞
P (∪n≥NAcn,�) ≥
lim
N→∞
P (AcN,�) = lim
N→∞
P (|XN(w)−X(w)| > �).
Portanto, Xn →P X.
O próximo teorema prova que convergência na r-ésima média implica convergência em
probabilidade.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 32
Teorema 2.2.18: Xn →r X ⇒ Xn →P X.
Prova: Primeiro note que
|Xn−X|r
�r
≥ I{w:|Xn−X|>�}. Logo, tem-se que
E(
|Xn −X|r
�r
) ≥ E(I{w:|Xn−X|>�}),
ou seja,
E(|Xn −X|r)
�r
≥ P ({w : |Xn −X| > �}).
Se Xn →r X, tem-se que limn→∞E(|Xn − x|r) = 0. Então, para todo � > 0
lim
n→∞
P ({w : |Xn −X| > �}) = 0,
ou seja, Xn →P X.
O próximo exemplo prova que nem convergência em probabilidade, nem convergência na
r-ésima média implicam convergência quase certa.
Exemplo 2.2.19: Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
[0, 1], e considere a seqüência de intervalos de�nida por
I2m+i = [
i
2m
,
i+ 1
2m
],
para m = 0, 1, 2, . . . e i = 0, 1, . . . , 2m − 1.
Note que tem-se 2m intervalos de comprimento 2−m que cobrem todo o intervalo [0, 1], e
o comprimento dos intervalos �ca cada vez menor tendendo a 0. De�namos
Yn(w) =
{
1 se X(w) ∈ In,
0 se X(w) /∈ In.
A seqüência Y1, Y2, . . . converge em probabilidade para 0, pois para 0 < � ≤ 1,
P (|Yn| ≥ �) = P (Yn = 1) = P (X ∈ In),
e esta probabilidade, que é igual ao comprimento de In, converge para zero quando n→∞.
Esta seqüência também converge na r-ésima média para todo r > 0, visto que E(|Yn|r) =
P (Yn = 1)→ 0 quando n→∞. Logo, Yn converge na r-ésima média para 0.
Porém para todo w ∈ Ω, Yn(w) = 1 para um número in�nito de n's e Yn(w) = 0 para
um número in�nito de n's. Portanto, Yn(w) não converge para todo w, o que implica que Yn
não converge quase certamente. �
O próximo teorema estabelece mais uma relação entre convergência quase certa e con-
vergência em probabilidade.
Teorema 2.2.20: Xn →P X se, e somente se, toda subseqüência {Xnk} possui uma outra
subseqüência {Xnk(i)} tal que Xnk(i) → X cp1 para i→∞.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 33
Prova: Suponha que Xn →P X, então dada qualquer subseqüência {Xnk}, escolha uma
outra subseqüência {Xnk(i)} tal que j ≥ k(i) implica que P (|Xnj − X| ≥ i−1) < 2−i. Em
particular, temos que P (|Xnk(i) − X| ≥ i−1) < 2−i. Seja Ai = {|Xnk(i) − X| ≥ i−1},
então
∑∞
i=1 P (Ai) <
∑∞
i=1 2
−i = 1 < ∞. Logo, pelo Lema de Borel-Cantelli, temos que
P (Ai in�nitas vezes) = 0, ou seja, P (Ai �nitas vezes) = 1. Portanto, |Xnk(i) − X| < i−1
exceto para um número �nito de i's com probabilidade 1. Portanto, Xnk(i) → X cp1.
Se Xn não converge para X em probabilidade, existe um � > 0 e uma subseqüência {Xnk}
tal que P (|Xnk−X| > �) > �. Logo nenhuma subseqüência de {Xnk} pode convergir para X
em probabilidade, logo pelo Teorema 2.2.17, nenhuma subseqüência converge para X quase
certamente.
O próximo exemplo mostra que convergência em probabilidade não implica convergência
na r-ésima média
Exemplo 2.2.21: Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
[0, 1]. Considere a seguinte seqüência de varáveis aleatórias
Yn(w) =
{
2n se X(w) ∈ (0, 1
n
),
0 se X(w) /∈ (0, 1
n
).
Então, P (|Yn| > �) = P (X(w) ∈ (0, 1n)) = 1n → 0, mas E(|Yn|r) = 2nr 1n →∞.
O próximo teorema trata da relação entre convergência em distribuição e convergência
em probabilidade.
Teorema 2.2.22: As seguintes relações entre os tipos de convergência são válidas:
(a) Xn →P X ⇒ Xn →D X
(b) Se Xn →D c, onde c é uma constante, então Xn →P c.
Prova: Para parte (a), suponha que Xn →P X e seja x um ponto de continuidade de FX .
Queremos provar que FXn(x)→ FX(x) quando n→∞.
Como para � > 0, Xn ≤ x⇒ X ≤ x+ � ou |X −Xn| > �, temos {w : Xn(w) ≤ x} ⊆ {w :
X(w) ≤ x+ �} ∪ {w : |Xn(w)−X(w)| > �}. Logo,
FXn(x) = P (Xn ≤ x) ≤ FX(x+ �) + P (|Xn −X| > �).
Por outro lado, X ≤ x− �⇒ Xn ≤ x ou |Xn −X| > � de modo que
FX(x− �) ≤ FXn(x) + P (|Xn −X| > �).
Juntando as duas desigualdades, temos que ∀� > 0, and ∀n,
FX(x− �)− P (|Xn −X| > �) ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + P (|Xn −X| > �).
Como Xn →P X, para qualquer δ > 0, existe N tal que para n ≥ N , temos que
FX(x− �)− δ ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + δ.
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.2. COVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 34
Finalmente, como x é ponto de continuidade de FX , para � su�cientemente pequeno, temos
que
FX(x)− 2δ ≤ FX(x− �)− δ ≤ FXn(x) ≤ FX(x+ �) + δ ≤ FX(x) + 2δ.
Ou seja, limn→∞ FXn(x) = FX(x).
Para parte (b), suponha que Xn →D c. Note que a função de distribuição de uma variável
aleatória constante c é:
Fc(x) =
{
1 se x ≥ c,
0 se x < c.
Pela convergência em distribuição, tem-se que limn→∞ FXn(x) = 0, se x < c e limn→∞ FXn(x) =
1, se x > c. Logo, para � > 0,
P (|Xn − c| ≤ �) = P (c− � ≤ Xn ≤ c+ �) ≥ P (c− � < Xn ≤ c+ �) =
FXn(c+ �)− FXn(c− �)→ 1 quando n→∞.
Ou seja, ∀� > 0, limn→∞ P (|Xn − c| > �) = 0.
Figura 2.1: Relação entre os tipos de convergência.
A Figura 2.1 resume a relação entre os tipos de convergência.
Exemplo 2.2.23: Para n ≥ 1, Xn ∼ U(0, 1) são variáveis aleatórias i.i.d. De�na Yn =
min(X1, X2, . . . , Xn) e Un = nYn. Mostre que
(a) Yn →P 0,
(b) Un →D U , sendo U ∼ Exp(1).
Autor: Leandro Chaves Rêgo
2.3. CONVERGÊNCIA DE VETORES ALEATÓRIOS 35
Solução: Para parte (a), note que
P (|Yn| > �) = P (Yn > �) = P (X1 > �,X2 > �, . . . , Xn > �).
Como os Xn são independentes temos que a última expressão é igual a
(P (X1 > �))
n = (1− �)n.
Como (1− �)n → 0 quando n→∞, temos que Yn →P 0.
Para parte (b), note que
FUn(x) = P (Un ≤ x) = 1− P (Un > x) = 1− P (nYn > x) = 1− P (Yn > x/n)
De acordo com a parte (a), esta expressão é igual a 1− (1−x/n)n, que por sua vez converge
para 1− e−x quando n→∞, que é igual a FU(x).
2.3 Convergência de Vetores Aleatórios
Para o caso vetorial as de�nições de convergência sofrem algumas adaptações. Para as
convergências quase certa e em probabilidade, precisamos avaliar a proximidade entre os
vetores aleatórios Xn e X pelo comportamento da norma da diferença entre eles. Em geral,
essa norma é calculada por ||Xn − X|| = (
∑k
j=1(Xnj − Xj)2)1/2, onde k é a dimensão dos
vetores e Xnj a coordenada j do