Slides F129 1S 2016

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Experimentos
1.  Tempo de queda de uma esfera de aço
2.  Conservação de energia
3.  Trajetória de um projétil
4.  Mínimos quadrados e propagação de erros
5.  Colisões em duas dimensões
6.  Forças variáveis
Conceitos principais
1.  Dados
-  Média, desvio padrão, erro estatístico
2.  Gráficos
-  Numeração, título auto-descritivo, legenda, unidades, escala, barras de erro
-  Linearização de uma lei de potência
-  Gráfico em papel milimetrado e log-log
-  Método gráfico para determinar coeficientes linear e angular
3.  Métodos
-  Método dos Mínimos Quadrados (vs. graficamente)
-  Determinação de Erros
-  Medidas diretas: estatístico e instrumento (analógico, digital, paquímetro)
-  Grandezas calculadas: propagação de erro 
-  Algarismos significativos
4.  Leis Físicas
-  Movimento acelerado
-  Conservação de energia
-  Conservação de momento
-  Lei de Hooke
Ementa F-129
Qual o objetivo de F-129? Aprender a…
1.  Coletar dados 
2.  Tratar dados
3.  Reportar
...mas não pode ser “só” isso
Nossos alunos precisam aprender a 
fazer um bom relatório!
Temos que tomar cuidado para não deixar os métodos ofuscarem 
o interesse pela Física
1.  O setup experimental está quase pronto
2.  Os alunos fazem pequenos ajustes
-  Nível na base de lançamento da esfera
-  Fotogate no centro da esfera
-  Alinhar o centro de colisão das esferas
-  Etc…
3.  Coletam dados
4.  Aplicam os métodos
No fim da aula, se o aluno não souber explicar o que fez, qual a lei física que testou, se o 
resultado está de acordo com o que esperava, quais possíveis fontes de erro etc...
...algo está errado!!
Tão importante quanto a ementa básica são:
Despertar interesse
 
1.  Curiosidade e interesse pela Física
2.  Criar intuição
Discutir Método Científico
 
1.  Teste de Leis Físicas
2.  Experimentar
Discutir como um experimento é criado:
 
1.  Criar um experimento é diferente de tirar medidas
2.  Isolar o aspecto físico que tentamos testar de todos os “outros” 
processos físicos que podem acontecer simultaneamente
Mecanismos a serem usados em aula
“30 seconds report”
-  Objetivo
-  Método
-  Resultados
-  Conclusões
Prever o resultado
-  Criar hipóteses (baseada em uma teoria)
-  Entender a “mecânica”…A leva a B que leva a C e portanto concluímos D
-  Entenda o pq do experimento ser como é, e discutir o que poderia melhorar
-  Prever o resultado antes de coletar os dados (literalmente fazer o gráfico)
Testar fontes de erro
-  Desalinhe a rampa, estica a mola além do linear, empurre a esfera…
-  Pense o que pode dar errado
-  Teste a hipótese de erro (amplifique o erro)
Falar de física avançada
-  Átomos
-  Ondas eletromagnética
-  Forças microscópicas
Em cada mesa… 
Relatórios simplificados
1.  Tempo de queda de uma esfera de aço
2.  Conservação de energia
3.  Trajetória de um projétil
4.  Mínimos quadrados e propagação de erros
Características:
•  Feito no caderno de laboratório (rotativo, 1 relatório por aluno em um grupo de 4)
•  O guia de relatório é detalhado, com instruções específicas
•  Gráficos e tabelas feitos à mão!
Relatórios completos
5. Forças variáveis
6. Colisões em duas dimensões
Características
•  Pode ser feito em computador (modelo de relatório será disponibilizado)
•  O guia de relatório é menos específico
•  Gráficos feitos no computador
Relatório
Erros e medidas
O que é medir?
­  quantificar uma grandeza com relação a algum padrão tomado como unidade;
Uma medida não é absoluta
­  O que acontece se eu repetir várias vezes a mesma medida?
­  E se outra pessoa fizer a mesma medida?
­  Se eu usar outro instrumento? 
­  Qual o instrumento mais adequado para realizar uma medida?
­  Exemplos a seguir mostram esta idéia
Realizando medidas de forma científica
2 3 
2 3 
•  Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada?
•  Qual das duas réguas acima apresenta a maior precisão?
•  Por quê?
Exemplo de aspectos relacionados à medida
•  O valor medido depende da região do objeto que é medida.
•  O que acontece se eu realizo medidas em regiões diferentes?
•  Como expressar o resultado?
Exemplo de aspectos relacionados à medida
2 3 
•  Qual o nível de água nesta piscina? 
•  O que acontece se eu realizo diversas medidas?
•  A flutuação no resultado será para mais ou para menos?
Exemplo de aspectos relacionados à medida
Mas, o que isso significa?
­  Sempre existe uma “incerteza” no resultado obtido;
­  Como expressar essa “faixa de confiabilidade”?
­  Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual é, como 
avaliar a qualidade da medida efetuada?
Uma medida não é absoluta
•  Causados pelas variações experimentais e/ou de observação
­  acidentais, causais, aleatórios
­  parâmetros experimentais não controlados
•  Característica: 
­  medidas similares, mas com resultados diferentes
­  igual probabilidade para mais ou para menos
Erros casuais ou aleatórios
Qual o valor que eu devo considerar e com que incerteza? 
 
Devemos levar em conta a ESTATÍSTICA da fonte de erro 
•  Normalmente são erros associados ao instrumento de medida:
­  Instrumentos defeituosos
­  Não calibrados
•  Exemplos:
­  Termômetro marcando sistematicamente 1oC a mais 
­  Cronômetro apressado: marcando 2% a mais (1 s → 1,02s)
Erros sistemáticos
Por mais cuidado que se tome nas medidas, não é 
possível eliminar o erro. Mas é possível caracterizá-lo. 
Medida 1: 19,3cm 
Medida do comprimento de um objeto
Medida 2: 19,1cm 
Medida 3: 19,6cm 
Como determinar a melhor estimativa do comprimento do objeto?
Para isso lançamos mão da média 
aritmética
Melhor estimativa: (Medida 1 + Medida 2 + Medida 3)/3
Qual valor utilizar?
•  A melhor estimativa para o valor verdadeiro x0 é dada através do valor médio:
•  Além da estimativa da grandeza medida x0, é fundamental que sejamos capazes de 
responder a seguinte questão:
Média aritmética
x = 1N xii=1
N
∑
Quão boa é esta estimativa? Qual a incerteza desta medida?
Erros estatísticos
Erros instrumentais
1º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 19,0 cm 
Medida 2: 19,8 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm 
2º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 20,9 cm 
Medida 2: 17,9 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm 
Os dois grupos de medidas são equivalentes? 
Quanto menor for a dispersão das nossas medidas 
consideramos que nossa média é mais precisa. 
Como saber o quão boa é nossa média?
­  Quantificar a qualidade da medida.
­  Precisamos indicar uma estimativa de quão longe o nosso resultado pode estar 
do valor verdadeiro da grandeza medida.
Medida e sua confiabilidade
MÉDIA ? 
ERRO ESTATÍSTICO 
ERRO INSTRUMENTAL 
Dados coletados: 
σ = (0,34 − 0,32)
2 + (0, 28− 0,32)2 +!
5−1
1. Média: 32,0
5
30,036,033,028,034,0 =++++=x
2. Desvio-padrão: 
­  A estimativa de σ é feita a partir dos próprios dados experimentais:
Desvio-padrão
i yi
1 0,34
2 0,28
3 0,33
4 0,36
5 0,30
­  A média dos N dados é a melhor estimativa para x0.
­  A distribuição em torno de x0 é dada pelo erro estatístico:
Erro estatístico
x
 
Δxestat =
σ
N
 resultado = x ± Δxestat
•  Quanto maior o número de medidas mais nos aproximamos do valor médio 
(melhor estimativa para o valor verdadeiro).
Por que efetuar um número grande de medidas?
 
Δxestat =
σ
N
­ σ é uma estimativa da incerteza de cada medida xi 
­  reflete a estatística do mecanismo de erro
­  independe do número de medidas N
­ Δxestat é uma estimativa da incerteza de x0
­   diminui com o crescimento de N
Diferença entre σ e Δxestat
Erro estatístico: resumo
média: 
desvio padrão: 
erro estatístico: 
x =
xi
Ni=1
N
∑
σ =
x − xi( )2
i=1
N
∑
N −1
 
Δxestat =
σ
N
Note que erro do instrumento não é a mesma coisa que 
erro sistemático! 
-  um instrumento não calibrado sim causaria erro sistemático; 
-  um instrumento bem calibrado ainda tem seu erro! 
E o erro instrumental?
Δxtotal = Δxestatístico( )2 + Δxinstrumental( )2
resultado = x ± Δxtotal
­  Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la?
­  Forma mais comum
­  (Valor ± incerteza) unidade 
­  Ex: (24,50 ± 0,05) cm
­  Forma compacta
­  Valor(incerteza) unidade
­  Ex: 24,50(5) cm
Apresentando o resultado de uma medida com incerteza
1.  Incerteza é escrita com apenas um algarismo significativo
2.  O valor médio deve ter a mesma quantidade de casas 
decimais que a incerteza
•  São algarismos que contribuem para a precisão de um número.
•  Como saber quais algarismos são significativos?
•  Regras:
­  Todos os algarismos diferentes de zero são significativos
­  Algarismos nulos (zeros) entre dois algarismos não-nulos são significativos
­  Zeros à direita de outro algarismo significativo são significativos
­  Zeros à esquerda da vírgula não são significativos
O que são algarismos significativos?
•  Exemplos:
O que são algarismos significativos?
número quantidade de algarismos significativos 
0,5 1 
0,05 1 
0,050 2 
1,08 3 
120,00 5 
1,3708x10-3 5 
Alguns exemplos
ERRADO CERTO 
5,30 + 0,0572 5,30 + 0,06 
124,5 + 2 125 + 2 
133 + 47 (1,3 + 0,5) x 102 
(45 + 2,6) x 10 (4,5 + 0,3) x 102 
t =1,235464s
Δtestatístico = 0,0234556778s
Δtinstrumental = 0,01s
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒ Δttotal = 0,025498s
 Δttotal = 0,03s[0-­‐4]	
  arredonda	
  p/baixo	
  [5-­‐9]	
  arredonda	
  p/cima	
  
t = (1,24 ± 0,03)s
t =1,235464s
Exemplo: 100 medidas do tempo associado a um fenômeno
Precisão e Exatidão
Preciso mas sem exatidão
Alta exatidão mas impreciso
Histogramas
Histogramas
•  conjunto de medidas onde o menor valor medido foi A e o maior B 
 
•  vamos dividir o intervalo [A,B] em (n-1) partes: ∆ = (B - A) / n 
 
•  vamos contar quantas medidas caem em cada janela de intervalo: 
   entre A e A+ ∆, A+ ∆ e A+ 2∆ , ……até B 
i yi 
1 0,34 
2 0,28 
3 0,33 
4 0,36 
5 0,30 
⁞ ⁞ 
Histogramas
Distribuição	
  de	
  freqüências:	
  dividir	
  os	
  dados	
  em	
  intervalos	
  e	
  
verificar	
  o	
  número	
  de	
  ocorrências	
  em	
  cada	
  intervalo	
  
intervalo	
  
oc
or
rê
nc
ia
s	
   Qual	
  o	
  tamanho	
  dos	
  intervalos?	
  
N
xx minmax −=Δ
Δ
Histogramas – exemplo numérico
0,40 0,83 0,98 1,04 1,19 
0,60 0,84 0,98 1,05 1,20 
0,61 0,87 0,99 1,06 1,21 
0,62 0,89 1,00 1,07 1,24 
0,63 0,90 1,00 1,10 1,26 
0,71 0,91 1,01 1,12 1,28 
0,75 0,92 1,02 1,14 1,30 
0,79 0,94 1,02 1,14 1,35 
0,81 0,97 1,03 1,16 1,45 
0,82 0,97 1,03 1,18 1,60 
Dados	
  experimentais	
  
60,1max =x
40,0min =x
50=N
17,0
50
40,060,1 =−=Δ
tamanho	
  do	
  intervalo:	
  
Tabela	
  de	
  
frequências	
  
intervalo	
   ocorrências	
  
0,40-­‐0,57	
   1	
  
0,58-­‐0,75	
   6	
  
0,76-­‐0,93	
   10	
  
0,94-­‐1,11	
   18	
  
1,12-­‐1,29	
   11	
  
1,30-­‐1,47	
   3	
  
1,48-­‐1,65	
   1	
  
750 : intervalos de número ≈
0,40 0,58 0,76 0,94 1,12 1,30 1,48 1,65 
Exemplo de diferentes Histogramas para um mesmo conjunto de dados 
­  100 valores gerados no computador seguindo uma distribuição Gaussiana 
(com média 0 e desvio padrão 1)
­  Média do conjunto de 100 pontos: -0.09 e Desvio padrão: 1.05
Escolha do número de intervalos
x x x
O
co
rr
ên
ci
as O
co
rr
ên
ci
as
O
co
rr
ên
ci
as
intervalo
0.1
intervalo
0.6
intervalo
2
simétrico 
∆ → 0 
número 
de medidas → ∞ 
 
Gaussiana 
Distribuição Gaussiana
 
−( x−x )2 /2σ 2
eExemplo: traçar uma curva Gaussiana no 
Histograma do 
exemplo.
Medida e sua confiabilidade: para que a informação fique completa, temos que 
determinar qual a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja no intervalo de confiança
σ -σ 
-2σ 2σ 
68% 
x
•  Vamos interpretar o que significa que uma medida está centrada em e com 
desvio padrãoσ.
•  A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre: 
•       e   é de 0,68 (68%).
•       e   é de 0,95 (95%)
•        e   é de 0,99 (99%)
Medida e sua confiabilidade
x
σ+x σ−x
σ2+x σ2−x
x + 3σ x − 3σ
Exemplo: suponha que o histograma apresentado no “exemplo” represente a distribuição 
do volume de líquido em uma garrafa de refrigerante de 1L:
-  calcule a média de refrigerante em cada garrafa;
-  determine os volumes nos limites estatístico de 1σ, 2σ e 3;
-  qual o percentual de garrafas com volume abaixo de 1L?
-  qual seria o volume V a ser indicado na garrafa de modo que 99% da produção tivesse 
uma quantidade de líquido maior que V?
­  Posição do pico da curva Gaussiana corresponde à média 
(e não à maior barra do histograma experimental)
­  Área sob a curva Gaussiana deve ser aproximadamente igual à área do do histograma
(assim é determinada altura do valor máximo e a largura da curva Gaussiana)
­  Desvio padrão é obtido observando o valor correspondente à 60% da altuda do valor máximo (e 
subtraindo a média deste valor)
Como traçar a curva Gaussiana sobre o histograma:
n
u
m
e
ro
d
e
o
co
rr
e
n
ci
a
s
tempo (s)1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
2
4
6
8
10
12 altura do valor medio
60% da altura
do valor medio
x
valor medio
desvio padrao
Tabelas e Gráficos
Tabelas	
  e	
  gráficos	
  
Gráficos	
  e	
  tabelas	
  são	
  usados	
  para	
  apresentar	
  
resultados	
  de	
  um	
  experimento.	
  Traduzem	
  de	
  
forma	
  clara	
  e	
  objeVva	
  os	
  resultados	
  obVdos.	
  
	
  
Tabelas:	
  organização	
  dos	
  dados	
  coletados	
  em	
  
linhas	
  e	
  colunas	
  
	
  
Gráficos:	
  ilustração	
  dos	
  dados;	
  facilita	
  a	
  
visualização	
  da	
  relação/dependência	
  entre	
  os	
  
números	
  
Tabelas	
  
•  Elementos de uma tabela:
•  Valores – resultados do experimento / análise
•  Título – breve descrição
•  Cabeçalho – o que mostra cada coluna (com unidades)
cabeçalho	
  
Explicar	
  símbolos	
  usados	
  
no	
  cabeçalho	
  
algarismos	
  significaVvos	
  
e	
  erros	
  
Quando	
  a	
  
ordem	
  for	
  
importante,	
  
indicá-­‐la	
  
Tabela	
  1:	
  Distenção	
  da	
  mola	
  
em	
  função	
  da	
  massa	
   Ztulo	
  (numerar	
  tabela)	
  
Gráficos	
  
•  Elementos de um gráfico:
•  Título
•  Legenda para cada eixo
•  Escala para cada eixo
•  Pontos com barras de erro
Figura	
  1	
  –	
  Exemplo	
  de	
  um	
  gráfico	
  simples	
   Ztulo	
  (numerar	
  gráfico)	
  
Legenda	
  
(com	
  
unidades)	
  
Escala:	
  
1. Intervalos	
  regulares	
  
2. Valores	
  fáceis	
  de	
  serem	
  lidos	
  
3. Origens/escalas	
  podem	
  ser	
  
diferentes	
  para	
  os	
  dois	
  eixos	
  
Gráficos	
  
Atenção:
•  NUNCA colocar valores dos pontos da tabela no gráfico!
•  Evitar ligar os pontos.
•  O título deve descrever claramente o que está sendo mostrado. Evitar: “y vs. 
t”, mas sim “altura da esfera em função do seu tempo de queda”.
•  Usar barras de erro.
Gráficos	
  
Barras de erro
•  Posição central é a média da medida
•  Barra de erro da abscissa começa em 
 e termina em . 
•  O mesmo vale para a ordenada.
totalxx Δ− totalxx Δ+
abscissa	
  
or
de
na
da
	
  
Gráficos	
  –	
  mau	
  exemplo	
  1	
  
Problemas	
  com	
  o	
  gráfico:
•  Escalas	
  irregulares	
  
•  Linhas	
  tracejadas	
  marcando	
  
posicionamento	
  dos	
  pontos	
  
•  Não	
  há	
  barras	
  de	
  erro	
  
•  Linha	
  conectando	
  os	
  pontos	
  
•  Título	
  pouco	
  descriVvo	
  
Gráficos	
  –	
  mau	
  exemplo	
  2	
  
Problemas	
  com	
  o	
  gráfico	
  
•  Escalas	
  irregulares	
  e	
  orientações	
  
diferentes	
  dos	
  números	
  
•  Linhas	
  sólidas	
  marcando	
  
posicionamento	
  dos	
  pontos	
  
•  Unidades	
  não	
  estão	
  indicadas	
  
•  Ausência	
  de	
  barras	
  de	
  erro	
  
•  Gráfico	
  não	
  foi	
  numerado/não	
  há	
  
Ztulo	
  
Gráficos	
  –	
  bom	
  exemplo	
  
•  Escalas	
  regulares	
  com	
  valores	
  
fáceis	
  de	
  ler	
  
•  Pontos	
  com	
  barras	
  de	
  erro	
  
•  Legenda	
  com	
  unidades	
  
•  Gráfico	
  numerado	
  
•  Título	
  descriVvo	
  
Leis de potência
Leis	
  de	
  potência	
  
Diicil	
  de	
  disVnguir	
  em	
  gráfico	
  linear	
  entre	
  diferentes	
  
leis	
  de	
  potência:	
  
Frequentemente	
  observamos	
  em	
  ciência	
  que:	
  
bxay = (Lei	
  de	
  potência)	
  
y	
  =	
  a	
  x2	
  
y	
  =	
  a	
  x4	
  
y	
  =	
  a	
  x1	
  
Linearização	
  
Tirando	
  o	
  logaritmo	
  de	
  ambos	
  os	
  lados:	
  
)log()log()log(
 
)log()log()log(
xbay
xay b
+=
⇓
+=
Como	
  obter	
  constante	
  a	
  e	
  expoente	
  b?	
  Resposta:	
  linearizar	
  a	
  equação	
  
comparar	
  com	
  
Eq.	
  da	
  reta	
  
xBAy ′+=′
coeficiente	
  
linear	
  
coeficiente	
  
angular	
  
)log()log(
)log()log(
10)log(
12
12
12
12
xx
yy
xx
yyBb
aAa A
−
−=
′−′
′−′==
=∴=
bxay =
Linearização	
  
O	
  gráfico	
  de	
  log(y)	
  em	
  função	
  de	
  log(x)	
  é	
  uma	
  linha	
  reta:	
  
	
  
• 	
  coeficiente	
  angular	
  é	
  b	
  (expoente	
  da	
  lei	
  de	
  escala)	
  
• 	
  reta	
  interseciona	
  eixo	
  log(y)	
  em	
  log(a)	
  
log(x)	
  
lo
g(
y)
	
  
log(a)	
  
0	
  
log(x)	
  
lo
g(
y)
	
  
Gráfico	
  linear:	
  log(y)	
  vs.	
  log(x)	
  
Dados	
  experimentais	
  
log	
  
0,20,5 xy =
Lei	
  de	
  potência:	
  
Coeficiente	
  linear:	
  	
  
0,51070,0 70,0 ==∴= aA
A	
  
Coeficiente	
  angular:	
  	
  
(não	
  use	
  pontos	
  da	
  tabela!	
  Pq??)	
  
B = 1,6 − 0, 70, 45− 0 = 2
Gráfico	
  log-­‐log	
  
100	
   101	
   102	
  10-­‐1	
  
101	
  
102	
  
103	
  
104	
  
Usado	
  quando	
  valores	
  dos	
  pontos	
  diferem	
  por	
  várias	
  ordens	
  de	
  
grandeza	
  ou	
  dependência	
  entre	
  grandezas	
  é	
  uma	
  lei	
  de	
  escala	
  	
  
1	
   2	
   3	
   4	
   ...	
   9	
  10	
  
10	
  
20	
  
30	
  
50	
  
40	
  
100	
  
...
	
  
Gráfico	
  linear	
  vs.	
  log-­‐log	
  
Distância	
  entre	
  divisões	
  
proporcional	
  à	
  diferença	
  
entre	
  valores	
  
linear	
  
1	
   2	
   3	
   4	
  
2	
  –	
  1	
  =	
  
1	
  
3	
  –	
  2	
  =	
  
1	
  
4	
  –	
  3	
  =	
  
1	
  
1	
   2	
   3	
   4	
  
log2	
  –	
  log1	
  =	
  
0,30	
  
log3–log2	
  
=	
  0,18	
   0,12	
  
Distância	
  entre	
  divisões	
  
proporcional	
  à	
  diferença	
  
entre	
  logaritmo	
  dos	
  valores	
  
log-­‐log	
  
Gráfico	
  log-­‐log:	
  y	
  vs.	
  x	
  
Dados	
  experimentais	
  
Colocar	
  valores	
  
diretamente	
  no	
  gráfico	
  
log-­‐log	
  
y	
  
x	
  Coeficiente	
  angular:	
  
(medir	
  com	
  a	
  régua!)	
  
0,2
cm 2,2
cm 4,4 ==B
Coeficiente	
  linear:	
  
	
  
	
  a	
  =	
  5,0	
  	
  
a