�REAS ENTRE CURVAS[1]

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Prof. Antonio Diego Silva Farias 
Cálculo II – Áreas entre Curvas 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CAMPUS PAU DOS FERROS 
20 de Abril de 2016 
Áreas entre Curvas 
 
 Como já vimos anteriormente, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma 
função não negativa no intervalo fechado [𝑎, 𝑏] (ou 
seja, 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏 ]), então a 
integral 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (quando existir) pode ser 
interpretada como a área da região delimitada pelo 
eixo 𝑜𝑥, pelo gráfico de 𝑓 e pelas retas verticais 
𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, conforme mostra a figura à seguir. 
 
Áreas entre Curvas 
Áreas entre Curvas 
 
 Nesta aula utilizaremos a integral definida para 
calcular áreas entre regiões limitadas por duas ou 
mais curvas. 
 
 Em geral, as funções que trabalhamos são contínuas e 
portanto, integráveis. 
 
Áreas entre Curvas 
 Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções contínuas no intervalo 
[𝑎, 𝑏], com 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 
conforme mostramos na figura abaixo. 
 
 
Áreas entre Curvas 
 Podemos dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 
subintervalos de mesmo comprimento e então 
aproximar a área em questão por uma somatório de 
áreas de retângulos, com base Δ𝑥 e altura 
𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔(𝑥𝑖
∗). 
 
 
Áreas entre Curvas 
 Assim, podemos dizer que: 
Á𝑟𝑒𝑎 ≅ 𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔 𝑥𝑖
∗ Δx
𝑛
𝑖=1
 
 Esta aproximação pode ser tomada cada vez mais 
precisa, fazendo 𝑛 → +∞. Portanto, definimos a 
área da região S por: 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
 𝑓 𝑥𝑖
∗ − 𝑔 𝑥𝑖
∗ Δx
𝑛
𝑖=1
= 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Áreas entre Curvas 
 
 Definição: Se 𝑓 e 𝑔 são duas funções contínuas em 
[𝑎, 𝑏], com 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 
então a área da região S delimitada pelas curvas 
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) e pelas retas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 é 
dada por: 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Áreas entre Curvas 
 
 Exemplo: Calcule a área da região limitada acima 
por 𝑦 = 𝑒𝑥, abaixo por 𝑦 = 𝑥, e nos lados por 
𝑥 = 0 e 𝑥 = 1. 
 
 Exemplo: Calcule a área da região delimitadas pelas 
parábolas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2. 
Áreas entre Curvas 
 Nem sempre podemos garantir que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 
para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . Em alguns casos, ora 
𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥), ora 𝑔 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥). Então, dividimos 
a região S em várias regiões 𝑆1, 𝑆2, … com áreas 
𝐴1, 𝐴2, … 
Áreas entre Curvas 
 Em seguida, definimos a área da região S como a 
somas das áreas das regiões 𝑆1, 𝑆2, … , ou seja, 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 +⋯. Mais precisamente, definimos: 
 
Definição: A área entre as curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 
𝑦 = 𝑔(𝑥) e entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 é 
 |𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 |𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Áreas entre Curvas 
 
 
 
 Exemplo: Calcule a área da região delimitada pelas 
curvas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑦 = cos (𝑥) , 𝑥 = 0 e 
𝑥 = 𝜋/2. 
 
 
Áreas entre Curvas 
 Algumas regiões são melhor tratadas considerando 𝑥 
como funções de 𝑦, conforme exemplificamos na 
figura abaixo. 
Áreas entre Curvas 
 Se uma região é limitada pelas curvas 𝑥 = 𝑓(𝑦) , 
𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = 𝑑, então sua área é dada por: 
 |𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 |𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 Se chamamos de 𝑥𝑅 o limite à direta e de 𝑥𝐿 o limite à 
esquerda, então o cálculo desta integral pode ser visto 
como 
 (𝑥𝑅−𝑥𝐿)
𝑏
𝑐
𝑑𝑦 
Áreas entre Curvas 
 
 
 
 Exemplo: Calcule a área delimitada pela reta 
𝑦 = 𝑥 − 1 e pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 + 6. 
Referências Bibliográfica 
 STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013. 1077 p. v. 1. ISBN: 9788522106608. 
 THOMAS, George B et al. Cálculo. São Paulo: Addison 
Wesley, 2009. 784 p. ISBN: 9788588639317. 
 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 632 p. v.1. ISBN: 
9788521612599. 
 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 
3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 1-685 p. v.1. ISBN: 
8529400941.