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1 Breve Revisão de Cálculo Vetorial 2 1. Operações com vetores Dados os vetores A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk, define-se: Produto escalar entre os vetores A e B AB BABABA Daí AB BABABA zzyyxx zzyyxx cos , cosBA BA 3 Produto vetorial do vetores A e B senAB BABABABABABA BBB AAA xyyxzxxzyzzy zyx zyx BA kji kji BA 4 2. Uma definição física para Campo Dada uma região D no espaço tridimensional e uma grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa região será chamada de campo se, nela, o valor da grandeza num dado ponto depender univocamente das coordenadas desse ponto. Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o campo é dito escalar. Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o campo é dito vetorial. O valor da grandeza também pode depender do tempo. Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Caso contrário, ele é dito estacionário. 5 Exemplos de campos escalares: Em um campo escalar, um número é definido para cada ponto do espaço. → Campo de pressão em uma represa, p = γh. → Campos de Temperatura. 6 → Um valor escalar é definido para cada ponto do espaço (analítico ou numérico). Representação gráfica 0 50 100 0 50 100 -10 -5 0 5 10 f x 7 → Linhas de iso-contorno (temperatura (oC), altitude, etc.) 20 40 60 80 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -4 -2 0 2 4 6 8 → Campos escalares em 3-D 0 10 20 0 5 10 15 200 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 9 Campos Vetoriais Em um campo vetorial, um vetor é definido para cada ponto do espaço. Formalmente, temos: → Um campo Vetorial é definido, no 2, como uma função F que associa a cada ponto M(x, y) em um subconjunto D do 2, um único vetor F(M) bidimensional, tal que, → Um campo Vetorial é definido, no 3, como uma função F que associa a cada ponto N(x, y, z) em um subconjunto E do 3, um único vetor F(N) tridimensional, tal que, jiFF ),(),(),()( yxQyxPyxM kjiFF ),,(),,(),,(),,()( zyxRzyxQzyxPzyxN 10 → Campo de velocidade em uma roda ou turbina, → Campo gravitacional (campo do quadrado inverso), rF ˆ 2r GMm jiF xy 11 Exemplo - Exercício Faça um diagrama do campo vetorial Este campo vetorial descreve a velocidade da corrente num córrego ou rio em várias profundidades. Velocidade é nula no leito. iF yyx ),( iF iF iF iF iF iF F 5)5,( 2)4,( 3)3,( 2)2,( )1,( )22()2/1,( 0)0,( :.54,3,2,1, 2 1 ,0: x x x x x x x TemoseydoConsideran 12 Exemplo de uma representação numérica de um campo vetorial. 13 Exemplos de imagens de campos vetoriais Há um vetor definido para cada ponto do Es- paço 2-D. O tamanho das flechas representa a magnitude do vetor. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 14 Exemplos de campos escalares e vetoriais → Campo escalar → Campo vetorial Mapa de temperatura Velocidade dos ventos 15 4. Operador Nabla “Nabla” (harpa em grego) Aplicado sobre uma campo escalar, f, define um campo vetorial chamado de Gradiente de f, f. O produto escalar com um campo vetorial, F, define um campo escalar chamado de Divergente de F, F. Produto vetorial com um campo vetorial, F, define um novo campo vetorial chamado de Rotacional de F, F. kji zyx 16 5. Campos Gradientes Se f = f(x,y) é uma função escalar de duas variáveis, então, seu gradiente é definido por, Se f = f(x,y,z) é uma função escalar de três variáveis, então, seu gradiente é definido por, Onde é o vetor Nabla. jiji y f x f fou y f x f yxf grad),( kjikji z f y f x f fou z f y f x f zyxf grad),,( kji zyx 17 Exercícios 1) Encontre os campos gradientes das funções abaixo e trace seus diagramas de campo. a) f(x,y) = x2 y2 (Resolução a seguir) b) f(x,y) = x + y c) f(x,y) = ln(x+2y) (Resolução no quadro) 18 Resolução Interpretação O Gradiente é um campo vetorial cujas componentes são as derivadas do campo escalar. Em qualquer ponto, o Gra- Diente “aponta” na direção de máxima inclinação, e sua magnitude é a inclinação. jiji yxxy y f x f f yxyxf 22 22 22 ),( -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 19 Em outras palavras, O gradiente de uma função escalar, calculado num dado ponto, é um vetor cujo módulo representa a máxima taxa de variação de crescimento dessa função naquele ponto. Isto significa que o vetor gradiente calculado em (x0, y0, z0) tem a direção para a qual ocorre o máximo crescimento da função em (x0, y0, z0). Além disso ele é perpendicular à superfície no ponto (x0, y0), no 2, ou (x0, y0, z0) no 3. 20 Visualização, → Mapa de cores: função – campo escalar → Representação de setas: campo vetorial obtido a partir do gradiente da função escalar. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 8 10 12 21 6. Campos conservativos e funções potenciais Se F é um campo vetorial em duas ou três dimensões. Então, diz-se que F é um campo conservativo numa região do 2 ou 3, se F for o campo gradiente de alguma função f naquela região. Isto é, F = f. A função f é chamada de função potencial. Exemplo Considere o campo vetorial do quadrado inverso em duas dimensões. Mostre que F é um campo conservativo em qualquer região do 2 que não contenha a origem e cuja função potencial seja )( )( ),( 2/322 jiF yx yx c yx 2/122 )( ),( yx c yxf 22 Resolução Temos que mostrar que o campo gradiente de f, em qualquer região que não contenha a origem, é F. Para isso, calcularemos f Logo, F é conservativo em qualquer região do 2, exceto na origem, já que F = f. f é, portanto, função potencial de F. ),()( )()()( , )()( 2/3222/3222/322 2/3222/322 yxyx yx c yx cy yx cx f Daí yx cy y f e yx cx x f y f x f f Fjiji ji 23 y g x f div tesimplesmenou yxg y yxf x div F FF , ),(),( 7. Divergência e Rotacional Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas dimensões, define-se a divergência de F, denotado por divF ou •F, ao escalar Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k z h y g x f divF 24 kFF y f x g rot Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas dimensões, define-se o rotacional de F, denotado por rotF ou xF, ao campo vetorial Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k kjiFF y f x g x h z f z g y h rot 25 0 0 gf yx rot kji FF Os resultados anteriores podem ser reescritos como: → Em duas dimensões, → Em três dimensões, hgf zyx rot kji FF 26 kjiF zzyyxzyx 32),,( 32 )(),,( 2/3222 kjiF zyx zyx c zyx O divF tem valores escalares, enquanto rotF tem valores vetoriais. Ou seja, rotF é ele próprio um campo vetorial. Exercícios 1) Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial 2) Mostre que a divergência do campo do quadrado inverso é nula 27 362 )3()2()( 2 32 zyxydiv z z zy y yx x div F F 1) Resolução Divergência de F Rotacional de F kiF kji kji F 23 3223 32 2 )2()()()3()2()3( 32 xyrot x zy yyx z yx x z z zy y z zzyyx zyx rot 28 2) Resolução Levando-se em conta que (x2 + y2 + z2)1/2 = r, 5 2 33 2/1222 3 23 33 3 333 333 31 2 2 3 )( , , ),,( r x rr x x r x xzyx x r r xrxr r x x Sendo c r z zr y yr x x div Daí r cz r cy r cx zyx F kjiF 29 0 33 )(33313131 , 31 2 2 3 )( 31 2 2 3 )( , 5 2 3 5 222 35 2 35 2 35 2 3 5 2 33 2/1222 3 23 33 3 5 2 33 2/1222 3 23 33 3 c r r r c r zyx r c r z rr y rr x r divAssim r z rr z z r z zzyx z r r zrzr r z z r y rr y y r y yzyx y r r yryr r y y teAnalogamen F 30 Interpretações Física e Geométrica para o divergente O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo desse vetor. O divergente pode ser entendido no contexto da Mecânica dos fluidos como: → Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então, divF representa a taxa líquida de variação, com relação ao tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z). → Em outras palavras, divF, calculado num ponto (x0, y0, z0) mede a tendência de um fluido deferir no ponto (x0, y0, z0). 31 → Campos magnéticos não são divergentes, → Uma fonte de campo magnético é ao mesmo tempo fonte e sorvedouro do campo. 0Hdiv 32 → Campos vetoriais constantes, 33 Interpretações Física e Geométrica para o rotacional O vetor rotacional está associado com rotações. Se F representa um campo de velocidades em Mecânica dos fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de um ponto (x0, y0, z0), tendem a rodar em torno do eixo que aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse ponto. A magnitude do vetor rotF é uma medida do quão rápido as partículas se movem em torno desse eixo. A rotação obedece a regra da mão direita. Regra da mão direita Furacão Katrina 25/08/2005 34 8. Alguns conceitos e teoremas importantes Teorema 1 Se f é uma função escalar de três variáveis e que tem derivadas parciais de segunda contínuas. Então, Como um campo vetorial conservativo é tal que F = f, então, o teorema anterior pode ser reescrito como: Se F representa um campo vetorial conservativo, então, 0)grad( ffrot 0Frot 35 Teorema 2 Se F = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k é um campo vetorial no 3 e f, g, h têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então, Laplaciano É o resultado da aplicação do operador sobre si mesmo. É denotado por 2. Tem a forma, Quando aplicado a uma função escalar Φ(x,y,z), 0)( Frotdiv 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 2 2 2 2 2 2 zyx 36 Se A equação 2Φ = 0 é conhecida como equação de Laplace. 0 2 2 2 2 2 2 2 zyx 37 Fluxo de um Vetor qualquer A A quantidade do vetor A, que passa por uma determinada superfície dS é, Convenciona-se que ndS = dS sempre aponta para fora e é perpendicular à superfície fechada dS. SAnA ddSd 38 Teorema da divergência A igualdade das duas integrais acima significa que o fluxo do vetor A através de uma superfície fechada S é igual à integral do divergente de A no volume V envolto por S dSdivd Vs ASA 39 Circulação de um Vetor A circulação de um campo vetorial A ao longo de uma linha L do ponto P ao ponto Q, conforme a figura abaixo, é dada por, dL simboliza uma parcela elementar da linha orientada L. Q P Q P dC LA 40 Teorema de Stokes O fluxo rotacional de um campo vetorial F através de uma superfície aberta S é igual à circulação do vetor A ao longo do caminho L que delimita S. Se A for uma força, esse teorema é uma forma de calcular o trabalho realizado por essa força ao longo do caminho L. SALA drotd SL
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