ME210 - Lista de Exercícios 08 Solução

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ME-210A: Resoluc¸a˜o da Lista 08
Resoluc¸a˜o extra-oficial feita por um dos monitores.
Questa˜o 01:
P (X ≥ 50 | X ≥ 40) = e−
∫ 50
40 λ(t)dt = e−(0.027+0.00025·10
3/3) = 0.7.
Questa˜o 02:
a • Distribuic¸a˜o marginal de X:
pX(1) =
∑
y
p(1, y) =
1
9
+
1
9
=
2
9
=
4
18
pX(2) =
∑
y
p(2, y) =
1
3
+
1
6
=
1
2
=
9
18
pX(3) =
∑
y
p(3, y) =
1
9
+
1
9
+
1
18
=
5
18
Conferindo: ∑
x
pX(x) =
5 + 9 + 4
18
= 1
• Distribuic¸a˜o marginal de Y:
pY (1) =
∑
x
p(x, 1) =
1
9
+
1
9
+
1
3
=
5
9
=
10
18
pY (2) =
∑
x
p(x, 2) =
1
9
+
1
18
=
1
6
=
3
18
pY (3) =
∑
x
p(x, 3) =
1
6
+
1
9
=
5
18
Conferindo: ∑
y
pY (y) =
10 + 3 + 5
18
= 1
b Na˜o. Para que duas varia´veis aleato´rias discretas sejam independentes, elas devem satisfazer a
relac¸a˜o
p(xi, yj) = pX(xi)pY (yj)
para todo i e j. Neste caso, para i = j = 1, temos
pX(1)pY (1) =
2
9
× 5
9
=
10
81
6= p(1, 1)
Logo, X e Y na˜o sa˜o independentes.
c A distribuic¸a˜o condicional de X dado que Y = 1 e´ obtida a partir da expressa˜o
P (X = x|Y = 1) = P (X = x, Y = 1)
P (y = 1)
=
p(x, 1)
Py(1)
Assim,
P (X = 1|Y = 1) = 1/9
5/9
=
1
5
P (X = 2|Y = 1) = 1/3
5/9
=
3
5
P (X = 3|Y = 1) = 1/9
5/9
=
1
5
Questa˜o 3:
Seja Xi = 1, se o objeto i foi escolhido por A, e Xi = 0 caso contra´rio. Seja Yi = 1, se o objeto i
foi escolhido por A, e Yi = 0 caso contra´rio.
(a) Note que XiYi = 1 se e somente se o objeto i foi escolhido por A e B.
P (objeto i foi escolhido por A) =
(
9
2
)
(
10
3
)
E(escolhidos por dois) =
10∑
i=1
E(XiYi) = 10

(
9
2
)
(
10
3
)

2
(b) Analogamente,
E(escolhidos por pelo menos um dos dois) =
10∑
i=1
P (objeto i foi escolhido por A ou por B).
2
Ja´ que
P (objeto i foi escolhido por A ou por B)
= 1− P (objeto i na˜o foi escolhido nem por A e nem por B)
= 1−
1−
(
9
2
)
(
10
3
)

2
,
E(escolhidos por pelo menos um dos dois) = 10− 10
1−
(
9
2
)
(
10
3
)

2
.
Questa˜o 04:
(a)
P (X1 = 1, X2 = 1) =
5
13
4
12
, P (X1 = 1, X2 = 0) =
5
13
8
12
,
P (X1 = 0, X2 = 1) =
8
13
5
12
, P (X1 = 0, X2 = 0) =
8
13
7
12
.
(b)
P (X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1) =
5
13
4
12
3
11
, P (X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0) =
5
13
4
12
8
11
P (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1) =
5
13
8
12
4
11
, P (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0) =
5
13
8
12
7
11
P (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1) =
8
13
5
12
4
11
, P (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0) =
8
13
5
12
7
11
P (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1) =
8
13
7
12
5
11
, P (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) =
8
13
7
12
6
11
Questa˜o 05:
a. Seja X o nu´mero de urnas vazias, X ∈ {0, 1, ..., N}, e
Xi =
{
1 , se a i-e´sima urna fica vazia , i = 1, ..., N
0 , caso contra´rio
Enta˜o,
X =
N∑
i=1
Xi
3
e, devido a` linearidade da esperanc¸a,
E(X) =
N∑
i=1
E(Xi)
Seja Ak o evento tal que a k-e´sima urna fica vazia. Como Xi sa˜o varia´veis indicadoras dos
eventos Ak, temos que
E(X) =
N∑
i=1
E(Xi) =
N∑
i=1
P (Ai)
Basta, portanto, que determinemos P (Ak):
P (Ak) =
N∏
t=1
P (bola t na˜o vai para a urna k) =
N∏
t=k
P (bola t na˜o vai para a urna k) =
N∏
t=k
(
1− 1
t
)
No primeiro sinal de igualdade, usamos o fato de que a distribuic¸a˜o de cada bola entre as
urnas e´ independente de todas as outras bolas. No segundo sinal, usamos o fato de que
a k-e´sima bola na˜o vai para as urnas 1, 2, ..., k − 1 com probabilidade 1. No terceiro sinal,
calculamos a probabilidade de a bola na˜o ir para a urna t como sendo 1 menos a probabilidade
de ela ir. Podemos, ainda, escrever P (Ak) de uma maneira mais sucinta:
P (Ak) =
N∏
t=k
(
1− 1
t
)
=
N∏
t=k
(
t− 1
t
)
=
k − 1
k
× k
k + 1
× k + 1
k + 2
× ...× N − 1
N
=
k − 1
N
Logo,
E(X) =
N∑
i=1
i− 1
N
= N
0 + N−1
N
2
=⇒ E(X) = N − 1
2
b. Como temos o mesmo nu´mero de bolas e urnas, para que nenhuma urna fique vazia, cada uma
delas devera´ conter apenas uma bola. Para que isso ocorra, a i-e´sima bola deve estar na
urna i, pois a u´nica bola que a u´ltima urna pode receber e´ a N-e´sima, o que implica que a
penu´ltima urna devera´ receber a (N-1)-e´sima bola, e assim por diante. Vamos definir:
Yi =
{
1 , se a i-e´sima bola vai para a i-e´sima urna
0 , caso contra´rio
Assim.
P (nenhuma urna vazia) = P (YN = 1, YN−1 = 1, ..., Y1 = 1) =
= P (YN = 1)P (YN−1 = 1|YN = 1)...P (Y1 − 1|YN = 1, ..., Y2 = 1)
pela Regra da Multiplicac¸a˜o. Pore´m, como a ida da k-e´sima bola para a k-e´sima urna na˜o e´
afetada pela distribuic¸a˜o das bolas anteriores entre as urnas, temos que
P (nenhuma urna vazia) = P (YN = 1)P (YN−1 = 1)...P (Y1 = 1)
Ja´ que P (Yi = 1) =
1
i
, obtemos
P (nenhuma urna vazia) =
1
N !
4