Prova2_C3_10_1

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2a Prova de Ca´lculo 3 - 08.9206 - D
Sa˜o Carlos, 05 de julho de 2010
Professor: Dr. Ma´rcio J. Soares
DM/UFSCar
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questa˜o 1 2 3 4 5 6 Total
Valor 1 1 2 2 2 2 10
V. Obtido
**** As respostas sem justificativa NA˜O sera˜o consideradas! ****
1. [1 ponto] Seja 푓(푥, 푦) = 푥2 + 푥푦3 + 4푦 + 5, se F(푥, 푦) = ∇푓(푥, 푦), calcule∫
퐶
F ⋅ 푑r,
sendo 퐶 o segmento de reta que liga os ponto (0, 1) e (2, 3)
2. [1 ponto] Calcule
∫
퐶
푥푧 푑푥 + (푦 + 푧) 푑푦 + 푥 푑푧 se 퐶 e´ o gra´fico de 푥 = 푒푡, 푦 = 푒−푡 e 푧 = 푒2푡, com 0 ≤ 푡 ≤ 1.
3. [2 pontos] Calcule
∫
퐶
F ⋅ 푑r, com 퐶 sendo a fronteira da parte do plano 2푥+ 푦 + 2푧 = 2 no primeiro octante,
e F(푥, 푦, 푧) = ⟨푒−푥, 푒푥, 푒푧⟩.
4. [2 pontos] Prove que se 푅 e´ uma regia˜o de R2 cujo bordo e´ uma curva simples suave por partes 퐶, enta˜o a
a´rea de 푅 e´ ∮
퐶
1
2
푥 푑푦 − 1
2
푦 푑푥.
5. [2 pontos] Enuncie o Teorema de Green em sua forma vetorial, que envolve a componente normal de F.
6. [2 pontos] Calcule
∫∫
푆
F ⋅ 푑S, sendo F(푥, 푦, 푧) = ⟨푥2 + sen(푦푧), 푦 − 푥푒−푧, 푧2⟩, e 푆 a superf´ıcie da regia˜o
delimitada pelo cilindro 푥2 + 푦2 = 4 e pelos planos 푥 + 푧 = 2 e 푧 = 0.
Boa Prova!