Lista 8 AL 2016

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Universidade Federal de Itajuba´
8a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear I – 2016
Objetivo. Recordar e trabalhar a definic¸a˜o de subespac¸os invariantes, cap´ıtulo 12 do livro
texto.
Exerc´ıcio 1. (Alyne Silva, Ana Clara Correˆa, Ana Guerra, Anderson da Silva, Bruno
Rezende, Bruno Silva, Carina Maduro, Carine Siqueira)
Para todo autovalor λ ∈ R do operador linear A : E → E, seja
Eλ = {v ∈ E : Av = λv}.
Prove que Eλ e´ um subespac¸o vetorial de E, invariante por A..
Exerc´ıcio 2. (Chang Tzu, Daniele Oliveira, Flavio Maglioni, Gabriela Ribeiro, Giovana
Julia˜o, Jennifer Tome´, Josefher dos Santos, Karine Pereira)
Deˆ um exemplo de operador linear T : R3 → R3 que admite um subespac¸o invariante
F ⊂ R3 com a seguinte propriedade: nenhum subespac¸o G ⊂ R3 tal que R3 = F ⊕ G e´
invariante por T .
Exerc´ıcio 3. (Leonardo Lemos, Let´ıcia Carvalho, Ligia Andrade, Lilian Valeriano, Mateus
Nascimento, Mateus Santos, Patrick Conceic¸a˜o, Paula Borges, Vinicius Barbosa)
Mostre que os subespac¸os vetoriais de C∞(R,R) gerados por cada um dos subconjuntos
abaixo sa˜o invariantes pelo operador derivac¸a˜o D : C∞(R,R)→ C∞(R,R):
(a) {cos(x), sen (x)}, (b) {ex, xex, x2ex}.
Exerc´ıcio 4. (Paulo Correˆa, Pedro Rodrigues, Pedro Koichi, Pedro Lirio, Raquel Pinto,
Renan Santos, Roˆmulo Passos, Thiago Nunes, Larissa Faria, Luciano Moura)
Se F1, F2 ⊂ E sa˜o subespac¸os invariantes pelo operador linear T : E → E, prove que F1∩F2
e F1 + F2 tambe´m sa˜o invariantes por T .
Exerc´ıcio 5. (Tiago Souza, Tulio Moura, Wellington Barbosa, Wellington Silva, Yasmine
Madella, Brenner Chalar, Caique Rezende)
Seja E um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Suponha que o operador T : E → E possui n
autovalores distintos. Prove que existem em E exatamente 2n subespac¸os invariantes por
T .