Variável Aleatória Bidimensioal

Prévia do material em texto

Variável Aleatória 
BidimensionalBidimensional
Prof. Carlos Amorim
Variável Aleatória Bidimensional
S X(s)X
s
Y(s)
Y
Variável Aleatória Bidimensional
• Ex:
Xavier e Yvette são agentes imobiliários. X representa o
número de casas vendidas por Xavier em um mês, e Y o
número de casas vendidas por Yvette em um mês.
Analisando a performance deles nos meses passadosAnalisando a performance deles nos meses passados
temos a seguinte distribuição de probabilidade:
0 1 2
0 0,12 0,42 0,06
1 0,21 0,06 0,03
2 0,07 0,02 0,01
X
Y
Probabilidade Conjunta
P(X=0, Y=1) = P(0,1) = 0,21
P(1,2) = 0,02
1),(0 ≤≤ ji yxP
∑∑ =1),( ji yxP
i) 
ii)
),( yx∀
x y
Probabilidades Marginais
∑===
j
jiii yxPxXPxp ),()()(
∑=
i
jij yxPyq ),()(
Distribuição de probabilidade marginal de X.
∑
i
Ex:
=)0(p
=)1(p
=)2(p
=++ )2,0()1,0()0,0( PPP
=++ )2,1()1,1()0,1( PPP
=++ )2,2()1,2()0,2( PPP
4,007,021,012,0 =++
5,0
1,0
X p(x)
0 0,4
1 0,5
2 0,1
Distribuição de probabilidade marginal de X.
Probabilidades Marginais
=)0(q
=)1(q
=)2(q
=++ )0,2()0,1()0,0( PPP
=++ )1,2()1,1()1,0( PPP
=++ )2,2()2,1()2,0( PPP
6,006,042,012,0 =++
3,0
1,0=)2(q =++ )2,2()2,1()2,0( PPP 1,0
y q(y)
0 0,6
1 0,3
2 0,1
Distribuição de probabilidade marginal de Y.
Variável aleatória independente
• Seja (X,Y) uma variável aleatória discreta
bidimensional. Diz-se que X e Y são
independentes se, e somente se,
para quaisquer i e j.
)()(),( jiji yqxpyxP =
=)0,0(P 8/1 =)0()0( qp 8/12/14/1 =×
para quaisquer i e j.
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8
1 1/8 2/8 1/8
X
Y
Ex:
)( ixp
)( iyq
1/4 1/2 1/4
1/2
1/2
1
=)0,0(P 8/1 =)0()0( qp 8/12/14/1 =×
=)1,0(P 8/1 =)1()0( qp 8/12/14/1 =×
=)0,1(P 8/2 =)0()1( qp 4/12/12/1 =×
=)1,1(P 8/2 =)1()1( qp 4/12/12/1 =×
=)0,2(P 8/1 =)0()2( qp 8/12/14/1 =×
=)1,2(P 8/1 =)1()2( qp 8/12/14/1 =×
X e Y são independentes.
Valor esperado
• Teorema 1:
• Teorema 2:
)()()( YEXEYXE +=+
• Teorema 2:
Se X e Y são independentes,
)()()( YEXEXYE =
Valor esperado
• Ex:
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8
1 1/8 2/8 1/8
X
Y )( iyq
1/2
1/2
X e Y são independentes.
?)( =XE
?)( =YE
?)( =+YXE
?)( =XYE1 1/8 2/8 1/8
)( ixp 1/4 1/2 1/4
1/2
1
?)( =YE ?)( =XYE
∑ ==
i
ii xpxXE )()( 1
4
1
2
4
2
1
4
1
0 =×+×+×
∑ ==
j
jj yqyYE )()(
2
1
2
1
1
2
1
0 =×+×
=+ )( YXE )()( YEXE +
2
3
2
1
1 =+=
=)(XYE )()( YEXE
2
1
2
1
1 =×=
Valor esperado
• Ex:
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8
1 1/8 2/8 1/8
X
Y )( iyq
1/2
1/21 1/8 2/8 1/8
)( ixp 1/4 1/2 1/4
1/2
1
∑∑ +=+
i j
jiji yxPyxYXE )()()( +×=
8
1
0 +×
8
1
1 +×
8
2
1 +×
8
2
2
+×
8
1
2 =×
8
1
3
2
3
8
12
=
Valor esperado
• Ex:
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8
1 1/8 2/8 1/8
X
Y )( iyq
1/2
1/21 1/8 2/8 1/8
)( ixp 1/4 1/2 1/4
1/2
1
∑∑=
i j
jiji yxPyxXYE )()( +×=
8
1
0 +×
8
1
0 +×
8
2
0 +×
8
2
1
+×
8
1
0 =×
8
1
2
2
1
8
4
=
Covariância
)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov −−=
De uma forma mais simples:
)()()(),( YEXEXYEYXCov −=
Se X e Y são independentes, então:
)()()( YEXEXYE =
0),( =YXCov
Covariância
• Ex: Agentes imobiliários
0 1 2 q(y)
0 0,12 0,42 0,06 0,6
1 0,21 0,06 0,03 0,3
2 0,07 0,02 0,01 0,1
X
Y ?),( =YXCov
2 0,07 0,02 0,01 0,1
p(x) 0,4 0,5 0,1 1
)()()(),( YEXEXYEYXCov −=
7,01,025,014,00)( =×+×+×=XE
5,01,023,016,00)( =×+×+×=YE
)07,0)(2)(0()21,0)(1)(0()12,0)(0)(0( ++=∑∑=
i j
jiji yxPyxXYE )()(
)02,0)(2)(1()06,0)(1)(1()42,0)(0)(1( +++
)01,0)(2)(2()03,0)(1)(2()06,0)(0)(2( +++ 2,0=
15,0)5,0)(7,0(2,0 −=−=
Covariância
• Ex: Agentes imobiliários
0 1 2 q(y)
0 0,12 0,42 0,06 0,6
1 0,21 0,06 0,03 0,3
2 0,07 0,02 0,01 0,1
X
Y
2 0,07 0,02 0,01 0,1
p(x) 0,4 0,5 0,1 1
)07,0)(5,02)(7,00()21,0)(5,01)(7,00()12,0)(5,00)(7,00( −−+−−+−−=
15,0−=
)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov −−= ∑∑ −−=
i j
jiji yxPyyxx ),())((
)02,0)(5,02)(7,01()06,0)(5,01)(7,01()42,0)(5,00)(7,01( −−+−−+−−+
)01,0)(5,02)(7,02()03,0)(5,01)(7,02()06,0)(5,00)(7,02( −−+−−+−−+
Covariância
• Ex2:
1 2 3 q(y)
0 0 1/3 0 1/3
1 1/3 0 1/3 2/3
p(x) 1/3 1/3 1/3 1
X
Y
?),( =YXCov
X e Y são independentes?
p(x) 1/3 1/3 1/3 1
)()(),( iiii yqxpyxP =
=)1,1(P 3/1
=)1()1( qp 9/23/23/1 =×
X e Y não são independentes.
)()()(),( YEXEXYEYXCov −=
3
2
2
3
4
×−= 0=
A independência é condição suficiente, mas não necessária
para a covariância zero.
Variância
),(2)()()( YXCovYVXVYXV ++=+
Para duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer, temos
Se X e Y forem independentes, então:
)()()( YVXVYXV +=+
Questão
• A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y.
1 2 3
0 0,1 0,1 0,1
1 0,2 0 0,3
X
Y
1 0,2 0 0,3
2 0 0,1 0,1
a) Verifique se X e Y são independentes;
b) Calcule E(X+Y) e E(XY);
c) Calcule Cov(X,Y) e 
d) Calcule V(X+Y).
);,( YXρ