Variável Aleatória Bidimensioal
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Variável Aleatória Bidimensioal

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Variável Aleatória

BidimensionalBidimensional

Prof. Carlos Amorim

Variável Aleatória Bidimensional

S X(s)X

s

Y(s)

Y

Variável Aleatória Bidimensional

• Ex:
Xavier e Yvette são agentes imobiliários. X representa o

número de casas vendidas por Xavier em um mês, e Y o

número de casas vendidas por Yvette em um mês.

Analisando a performance deles nos meses passadosAnalisando a performance deles nos meses passados

temos a seguinte distribuição de probabilidade:

0 1 2

0 0,12 0,42 0,06

1 0,21 0,06 0,03

2 0,07 0,02 0,01

X
Y

Probabilidade Conjunta

P(X=0, Y=1) = P(0,1) = 0,21

P(1,2) = 0,02

1),(0 ≤≤ ji yxP

∑∑ =1),( ji yxP
i)

ii)
),( yx∀

x y

Probabilidades Marginais

∑===
j

jiii yxPxXPxp ),()()(

∑=
i

jij yxPyq ),()(
Distribuição de probabilidade marginal de X.

∑
i

Ex:

=)0(p

=)1(p

=)2(p

=++ )2,0()1,0()0,0( PPP

=++ )2,1()1,1()0,1( PPP

=++ )2,2()1,2()0,2( PPP

4,007,021,012,0 =++

5,0

1,0

X p(x)

0 0,4

1 0,5

2 0,1

Distribuição de probabilidade marginal de X.

Probabilidades Marginais

=)0(q

=)1(q

=)2(q

=++ )0,2()0,1()0,0( PPP

=++ )1,2()1,1()1,0( PPP

=++ )2,2()2,1()2,0( PPP

6,006,042,012,0 =++

3,0

1,0=)2(q =++ )2,2()2,1()2,0( PPP 1,0

y q(y)

0 0,6

1 0,3

2 0,1

Distribuição de probabilidade marginal de Y.

Variável aleatória independente

• Seja (X,Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional. Diz-se que X e Y são

independentes se, e somente se,

para quaisquer i e j.

)()(),( jiji yqxpyxP =

=)0,0(P 8/1 =)0()0( qp 8/12/14/1 =×
para quaisquer i e j.

0 1 2

0 1/8 2/8 1/8

1 1/8 2/8 1/8

X
Y

Ex:

)( ixp

)( iyq

1/4 1/2 1/4

1/2

1/2

1

=)0,0(P 8/1 =)0()0( qp 8/12/14/1 =×

=)1,0(P 8/1 =)1()0( qp 8/12/14/1 =×

=)0,1(P 8/2 =)0()1( qp 4/12/12/1 =×

=)1,1(P 8/2 =)1()1( qp 4/12/12/1 =×

=)0,2(P 8/1 =)0()2( qp 8/12/14/1 =×

=)1,2(P 8/1 =)1()2( qp 8/12/14/1 =×

X e Y são independentes.

Valor esperado

• Teorema 1:

• Teorema 2:

)()()( YEXEYXE +=+

• Teorema 2:

Se X e Y são independentes,

)()()( YEXEXYE =

Valor esperado

• Ex:

0 1 2

0 1/8 2/8 1/8

1 1/8 2/8 1/8

X
Y )( iyq

1/2

1/2

X e Y são independentes.

?)( =XE

?)( =YE

?)( =+YXE

?)( =XYE1 1/8 2/8 1/8

)( ixp 1/4 1/2 1/4

1/2

1

?)( =YE ?)( =XYE

∑ ==
i

ii xpxXE )()( 1
4

1
2

4

2
1

4

1
0 =×+×+×

∑ ==
j

jj yqyYE )()(
2

1

2

1
1

2

1
0 =×+×

=+ )( YXE )()( YEXE +

2

3

2

1
1 =+=

=)(XYE )()( YEXE

2

1

2

1
1 =×=

Valor esperado

• Ex:

0 1 2

0 1/8 2/8 1/8

1 1/8 2/8 1/8

X
Y )( iyq

1/2

1/21 1/8 2/8 1/8

)( ixp 1/4 1/2 1/4

1/2

1

∑∑ +=+
i j

jiji yxPyxYXE )()()( +×=
8

1
0 +×

8

1
1 +×

8

2
1 +×

8

2
2

+×
8

1
2 =×

8

1
3

2

3

8

12
=

Valor esperado

• Ex:

0 1 2

0 1/8 2/8 1/8

1 1/8 2/8 1/8

X
Y )( iyq

1/2

1/21 1/8 2/8 1/8

)( ixp 1/4 1/2 1/4

1/2

1

∑∑=
i j

jiji yxPyxXYE )()( +×=
8

1
0 +×

8

1
0 +×

8

2
0 +×

8

2
1

+×
8

1
0 =×

8

1
2

2

1

8

4
=

Covariância

)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov −−=

De uma forma mais simples:

)()()(),( YEXEXYEYXCov −=

Se X e Y são independentes, então:

)()()( YEXEXYE =

0),( =YXCov

Covariância
• Ex: Agentes imobiliários

0 1 2 q(y)

0 0,12 0,42 0,06 0,6

1 0,21 0,06 0,03 0,3

2 0,07 0,02 0,01 0,1

X
Y ?),( =YXCov

2 0,07 0,02 0,01 0,1

p(x) 0,4 0,5 0,1 1

)()()(),( YEXEXYEYXCov −=

7,01,025,014,00)( =×+×+×=XE

5,01,023,016,00)( =×+×+×=YE

)07,0)(2)(0()21,0)(1)(0()12,0)(0)(0( ++=∑∑=
i j

jiji yxPyxXYE )()(

)02,0)(2)(1()06,0)(1)(1()42,0)(0)(1( +++

)01,0)(2)(2()03,0)(1)(2()06,0)(0)(2( +++ 2,0=

15,0)5,0)(7,0(2,0 −=−=

Covariância
• Ex: Agentes imobiliários

0 1 2 q(y)

0 0,12 0,42 0,06 0,6

1 0,21 0,06 0,03 0,3

2 0,07 0,02 0,01 0,1

X
Y

2 0,07 0,02 0,01 0,1

p(x) 0,4 0,5 0,1 1

)07,0)(5,02)(7,00()21,0)(5,01)(7,00()12,0)(5,00)(7,00( −−+−−+−−=

15,0−=

)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov −−= ∑∑ −−=
i j

jiji yxPyyxx ),())((

)02,0)(5,02)(7,01()06,0)(5,01)(7,01()42,0)(5,00)(7,01( −−+−−+−−+

)01,0)(5,02)(7,02()03,0)(5,01)(7,02()06,0)(5,00)(7,02( −−+−−+−−+

Covariância
• Ex2:

1 2 3 q(y)

0 0 1/3 0 1/3

1 1/3 0 1/3 2/3

p(x) 1/3 1/3 1/3 1

X
Y

?),( =YXCov

X e Y são independentes?

p(x) 1/3 1/3 1/3 1

)()(),( iiii yqxpyxP =

=)1,1(P 3/1

=)1()1( qp 9/23/23/1 =×
X e Y não são independentes.

)()()(),( YEXEXYEYXCov −=
3

2
2

3

4
×−= 0=

A independência é condição suficiente, mas não necessária

para a covariância zero.

Variância

),(2)()()( YXCovYVXVYXV ++=+

Para duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer, temos

Se X e Y forem independentes, então:

)()()( YVXVYXV +=+

Questão

• A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y.

1 2 3

0 0,1 0,1 0,1

1 0,2 0 0,3

X
Y

1 0,2 0 0,3

2 0 0,1 0,1

a) Verifique se X e Y são independentes;

b) Calcule E(X+Y) e E(XY);

c) Calcule Cov(X,Y) e

d) Calcule V(X+Y).

);,( YXρ