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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/06/2016 Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = 3x4−16x3+18x2. Calcule: o dom´ınio, as assintotas e f ′(x) e f ′′(x). Soluc¸a˜o: (0, 2 pelo dom´ınio + 0, 4 pelos limites + 0, 6 pela f ′ + 0, 4 pela f ′′) Como e´ um polinoˆmio o dom´ınio sa˜o todos os valores Reais. So´ podem existir assintotas horizontais, para isto precisamos calcular lim x→±∞ f(x). Mas como e´ um polinoˆmio de grau 4, e o coeficiente que acompanha este termo e´ positivo, ambos estes limites va˜o para +∞. Portanto, esta func¸a˜o na˜o tem nenhuma assintota. f ′(x) = 12x3 − 48x2 + 36x e f ′′(x) = 36x2 − 96x+ 36. Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a a analise do sinal de f ′(x) e f ′′(x) e determine os pontos de ma´ximo e m´ınimo locais. Soluc¸a˜o: (0, 8 pela ana´lise do sinal de f ′ + 0, 7 pela ana´lise do sinal de f ′′) Vamos comec¸ar analisando o sinal de f ′. Antes observe que 12x3 − 48x2 + 36x = 12x(x2 − 4x− 3) Resolvendo para x2 − 4x − 3 = 0 obtemos x = 1 e x = 3. Da´ı, x2 − 4x − 3 = (x − 1)(x − 3). Como e´ uma equac¸a˜o de grau 3, ela vem de menos infinito e segue para mais infinito com as ra´ızes x = 0, 1 e 3. Logo, f ′(x) < 0 se x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, 3) e f ′(x) > 0 no restante dos pontos. Portanto, obtemos como pontos cr´ıticos os pontos x = 0 (m´ınimo local), x = 1 (ma´ximo local) e x = 3 (m´ınimo local). Ja´ para analisar o sinal de f ′′ veja que 36x2−96x+36 = 36(x2−4x+1). Resolvendo x2−4x+1 = 0 obtemos x = 13 ( 4±√7 ) . Como e´ uma equac¸a˜o do 2a grau com o coeficiente positivo que acompanha o termos de grau 2 temos: f ′′(x) < 0 se 13 ( 4−√7 ) < x < 13 ( 4 + √ 7 ) . No restante f ′′(x) e´ positiva. Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e explique o comportamento de f(x). Soluc¸a˜o: Como so´ ha´ mudanc¸a de sinais da f ′ e f ′′ entre 0 e 3 vamos considerar o gra´fico apenas no intervalo x ∈ (−1, 4). Veja que a func¸a˜o vem de mais infinito sempre decrescente ate´ x = 0. Neste momento ela passa a ser crescente e isto continua ate´ x = 1. Recorde que para 1 3 ( 4−√7 ) ∼= 0, 45 < x < 13 (4 +√7) ∼= 2, 22 a boca da func¸a˜o e´ voltada para baixo (por conta do sinal de f ′′). A func¸a˜o e´ decrescente no intervalo x ∈ (1, 3) e depois se torna novamente crescente. Levando em considerac¸a˜o a ana´lise acima temos como fazer o esboc¸o do gra´fico Nome da Disciplina AP3 2 Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de 3x4 − 16x3 + 18x2 Questa˜o 4 [2,0pts] Suponha que o custo e prec¸o, em Reais, e dado por c(x) = 680 + 4x+ 0, 01x2 e p(x) = 12− x/500. Encontre o n´ıvel de produc¸a˜o que maximizara´ o lucro. Soluc¸a˜o: (1, 0 pela func¸a˜o lucro + 1, 0 se alcanc¸ar o resultado) Veja que o lucro L(x) e´ dado por L(x) = xp(x)− c(x) = x(12− x/500)− (680 + 4x+ 0, 01x2) = −3x 2 250 + 8x− 680. Da´ı L′(x) = 8− 3x125 = 0⇒ x = 1000 3 . Portanto, o lucro ma´ximo sera´ alcanc¸ado se produzir 333 unidades. Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a) ∫ (3t− 2)4 dt, b) ∫ x1+x2 dx e c) ∫ 20 t3 + 3t− 1 dt. Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 0, 5pt). a) Para resolver esta integral considere a substituic¸a˜o x = 3t− 2⇒ dx = 3dt⇒ dx3 = dt∫ (3t− 2)4 dt = ∫ x4 dx 3 = 1 3 ∫ x4 = 13 x5 5 +K = (3t− 2)5 15 +K. b) Chame de y = 1 + x2 ⇒ dy = 2xdx ∫ x 1 + x2 dx = 1 2 ∫ 2x 1 + x2 dx = 1 2 ∫ dy y = 12 ln y +K = ln(1 + x2) 2 +K. c) ∫ 2 0 t3 + 3t− 1 dt = [ t4 4 + 3t2 2 − t ]2 0 = 164 + 12 2 − 2 = 8. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Nome da Disciplina AP3 3 Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = 8x e y = x4. Encontre a regia˜o finita determinado pelos gra´ficos e calcule a a´rea. Soluc¸a˜o: Igualando a equac¸a˜o da reta com a qua´rtica temos x4 = 8x ⇒ x(x3 − 8) = 0 ⇒ x = 0 e x = 2. O gra´fico da y = x4 se parece a y = x2, mas com uma inclinac¸a˜o mais acentuada. Logo a a´rea e´ dada por A = ∫ 2 0 8x− x4 dx = [ 8x2 2 − x5 5 ]2 0 = 16− 325 = 80− 32 5 = 48 5 . Questa˜o 7 [1,0pt] a) Calcule a derivada de g(x) = ln ( x+1√ x−2 ) . Soluc¸a˜o: Vamos aplicar uma propriedade do logaritmo antes de calcular a derivada ln ( x+ 1√ x− 2 ) = ln(x+ 1)− ln√x− 2 = ln(x+ 1)− ln(x− 2)2 ⇒ g ′(x) = 1 x+ 1 − 1 2(x− 2) . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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