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Aula 2 
Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais 
Os sistemas mecânicos que serão considerados durante o curso serão sempre constituídos 
pela interligação de 3 tipos de elementos básicos: massas, molas e amortecedores. Começaremos 
relembrando, para cada um deles, a equação envolvendo a força exercida sobre ou pelo elemento.
I. Elementos Mecânicos Básicos
1) Massas
A 2a Lei de Newton diz que a intensidade da resultante de todas as forças (FR) aplicadas 
sobre uma dada massa é igual à variação da quantidade de movimento, que no nosso caso 
representa o produto da massa (m) vezes a aceleração (a).
Então, lembrando que a aceleração de um corpo é igual à taxa de variação (derivada) da velocidade, 
e que a velocidade por sua vez é igual à taxa de variação (derivada) da posição do corpo, temos que
.
2) Molas
Figura 1 - mola e amortecedor
Suponha que a mola mostrada à esquerda na Figura 1 esteja em repouso. Quer dizer, ela não 
está nem comprimida nem esticada. Seja xc o deslocamento (para cima) da extremidade c da mola 
em relação à posição de equilíbrio, e xd o deslocamento (também para cima) da extremidade d da 
mola também em relação à posição de equilíbrio. 
A Lei de Hooke diz que quando a distância entre as extremidades é maior ou menor do que o 
comprimento de repouso da mola, então esta oferecerá uma força de resistência contrária ao 
movimento realizado e cuja intensidade é
,
onde k é a constante elástica da mola.
No caso particular em que uma das extremidades da mola está fixa, por exemplo a extremidade d, a 
força que a mola oferecerá para se opor ao deslocamento da extremidade c é dada simplesmente por
.
3) Amortecedor
O amortecedor, mostrado à direita na Figura 1, é o único elemento que dissipa energia no 
sistema. O amortecedor irá oferecer uma força de resistência cuja intensidade é proporcional à 
diferença entre as velocidades das duas extremidades e e f. Ou seja,
,
onde b é o coeficiente de atrito viscoso.
Na sequência, consideraremos o exemplo de um sistema mecânico bem simples, contendo 
apenas uma massa. A simples aplicação da 2a Lei de Newton levando-se em conta as expressões das 
forças da mola e amortecedor indicadas acima nos fornecerá a equação diferencial regendo a 
dinâmica do sistema em estudo. 
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Exemplo 1
Considere o sistema mecânico representado abaixo. Deseja-se determinar a equação diferencial que 
relaciona o deslocamento y(t) da massa m com o deslocamento u(t) do carrinho e dos parâmetros (as 
constantes) do sistema.
Solução
Aplicando a 2a Lei de Newton à massa m temos:
Substituindo as expressões das forças da mola e amortecedor temos
,
e desenvolvendo,
.
Colocando no membro à esquerda os termos em y (saída) e à direita os termos em u (entrada), 
temos finalmente a equação diferencial procurada:
.
II. Sistemas com Múltiplas Massas
Na análise de sistemas compostos por vários massas, a estratégia usada para resolvermos o 
problema consiste em aplicar a 2a Lei de Newton a cada uma das diferentes massas 
individualmente. Porém, é preciso levar em conta as interações/acoplamentos entre elas, tendo em 
mente que cada ação implica uma reação. Esse princípio da ação e reação é enunciado na 3a Lei de 
Newton: 
Quando um corpo A aplica uma força sobre um outro corpo B, ele recebe deste uma força de 
mesma intensidade, mesma direção e de sentido contrário. 
Vamos tentar entender melhor esses conceitos através dos exemplos abaixo:
Exemplo 2
No sistema mecânico abaixo, x1 e x2 são os deslocamentos das massas 1 e 2, 
respectivamente, e u representa uma força externa aplicada à massa 1. Queremos determinar um 
modelo matemático para esse sistema.
Solução
Inicialmente, precisamos fazer uma hipótese com relação a x1 e x2. Suponha que:
1) ambas as massas se deslocam para a direita (sentido positivo do deslocamento),
2) o deslocamento x1 é maior que x2 ,
3) a velocidade da massa 1 é maior do que a velocidade da massa 2.
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As hipóteses acima são feitas apenas para nos permitir montar as equações de equilíbrio de forças. 
Se a hipótese que fizemos estiver incorreta, o pior que pode acontecer é encontrarmos um sinal 
negativo no final. O importante é a coerência entre a hipótese e os sinais adotados nas expressões 
das forças.
Massa 1
Com as hipóteses acima, a mola 2 e o amortecedor se opõem ao movimento da massa 1, de modo 
que
.
Substituindo as expressões das forças, temos
ou ainda
Colocando os termos em x1 à esquerda e os outros à direita, temos
e finalmente
 (Eq. 1)
Massa 2
Por causa das hipóteses 2 e 3, a mola e o amortecedor realizam uma força que empurra a massa 2 
para à direita, enquanto que a mola 3 se opõe tentando empurrar m2 para à esquerda:
Substituindo as expressões das forças
E finalmente
(Eq. 2)
Nosso modelo matemático é então constituído das duas equações diferenciais que determinamos:
Exemplo 3
Considere o sistema mecânico ilustrado abaixo, que representa a suspensão de um carro.
No diagrama, a massa 2 representa o chassi do carro, enquanto que a massa 1 representa a roda. A 
mola 1 representa o pneu, enquanto que a mola 2 e o amortecedor representam a mola e o 
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amortecedor do sistema de suspensão do carro. No sistema, x e y são os deslocamentos verticais das 
massas 1 e 2, respectivamente, enquanto que u representa o deslocamento vertical imposto ao pneu 
pela estrada. Queremos determinar o modelo matemático para esse sistema.
Solução
Como no exemplo anterior, nossas hipóteses são:
1) ambas as massas se deslocam para cima (sentido positivo do deslocamento)
2) o deslocamento x é maior que y e u.
3) a velocidade da massa 1 é maior do que a velocidade da massa 2.
Massa 1
Por causa das hipóteses 2 e 3, a mola 1 tentará puxar m1 para baixo enquanto que a mola 2 e o 
amortecedor tentarão empurrar m1 para baixo:
Substituindo as expressões das forças:
ou ainda
Reunindo à esquerda os termos em x, e à direita os termos em y e u, temos
Finalmente,
 (Eq. 1)
Massa 2
Como m1 se desloca mais para cima e mais rápido que m2, a mola 2 e o amortecedor tendem a 
empurrar a massa 2 para cima. Assim, 
Substituindo as expressões para as forças
ou ainda
.
Finalmente, chegamos à equação diferencial
(Eq. 2)
Nosso modelo matemático é então constituído das duas equações diferenciais que determinamos:
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